13.
用三进位无限小数表示康托集 P 中的数时，完全可以 用不着数字 1，试用此事实证明 P 的基数为 c. （提示：把 P 中的点与二进位无限小数作对应）
先用三进位有限小数来表示集 P 的余区间的端点（都属于 P） 则有
证明
1 2 ( , ) (0.1,0.2), 3 3 1 2 ( , ) (0.01,0.02), 9 9 7 8 ( , ) (0.1,0.2), 9 9
n 1

11.
证明： f ( x )为a, b 上连续函数的充要条件是对任意实数 c ， 集 E x f ( x ) c 和E1 x f ( x) c 都是闭集.




证明 若： f ( x )为a, b 上连续函数，用第八题同样的方法得
E 和E1 是闭集. E 若E 和E1 是闭集，若有 x0 a, b ，不是f (x) 的连续点，
n
9. 证明：每个闭集必是可数个开集的交集； 每个开集可以表示成可数个开集的合集.
证明 设 F 是闭集，令 Gn x d ( x, F )

1 ，Gn 是开集 n
1 1 ，所以存在 y 0 F ，使 d ( x 0 , y 0 ) . n n 1 1 （否则，任意 y F ， d ( x 0 , y ) ，则 d ( x 0 , F ) inf d ( x 0 , y ) , yF n n 1 与 d ( x0 , F ) 矛盾） 。 n
其中 ai (i 1,2, , n 1) 为 0 到 9 除 7 外的一切自然数，

a1 ,, an1 是取遍满足上述条件的各种可能的n 1 个数
记这些全体开区间为
因此 0,1 上可不用 7 表示的小数是
A
n 1
n
C ( An (,0) (1, ))
显然 An , (,0), (1, ) 是互不相交且无公共端点的开区间， 所以 0,1 上可不用 7 表示的小数是完备集。
E1 ( x,0) 0 x 1, E1 ,
0
解
E1 E1 .
6. 证明 ：点集 F 为闭集的充要条件是 F F
证明 若 F 为闭集，则F F ，因此 F F F F . 若 F F ，则 F F F F F ,因此 F 是闭集。证毕。
E x f ( x) a 是一开集，而 E x f ( x) a 是一闭集.
证明 若 x0 E ，则 f ( x0 ) a ，因为f (x) 是连续的，所以存在 0 ，
使任意 x (, ) ， x x 0 ，就有 f ( x) a ，即任意
由 A P ，得 P C ，又 P C ，所以 P C 。证毕。
任意 x0 Gn ， d ( x0 , F )
1 0 ，任意 x U ( x0 , ), d ( x0 , x) n 1 1 d ( x, y 0 ) d ( x 0 , x ) d ( x 0 , y 0 ) n n 1 于是 d ( x, F ) inf d ( x, y ) d ( x, y 0 ) , 得x Gn ， yF n 这样 U ( x0 , ) Gn ，故Gn 是开集。
I kn (0.a1 a 2 a n 11,0.a1 a 2 a n 1 2).
x
an a1 a 2 2 n , 其中 a n 为 0 或 2. 3 3 3
记这种小数全体为 A，则 A P ，事实上，由于 A 0,1 ，而0,1 P 中
10. 证明：用十进位小数表示0,1 中数时，其用不着数字 7 的一切数成一完备集.
பைடு நூலகம்证明
0,1 中第一位小数必须用到 7 的小数是
(0.07,0.08)
…
(0.17,0.18) …(0.97,0.98)
0,1 中第n 位小数必须用到 7 的小数是
(0.a1 a 2 a n 1 7,0.a1 a 2 a n 1 8),
x U ( x0 , ) ，就有 x E ，所以U ( x0 , ) E ，E 是开集。
f 若 x n E ，且 x n x 0 ( n ) ，则 f ( x n ) a ，由于 (x)
连续， f ( x0 ) lim f ( x n ) a ，即x 0 E ，因此 E 是闭集。
因此 A P ,

展成三进位小数时， a i 中至少有一位是 1， 0,1 P 中没有 A 中的数， 诸 所以 作 A 到二进位小数全体 B 的映射 :
an 1 a :x n n n 2 n 1 3 n 1 2 其中 a n 0或 2 ，则 是 A 到 B 上的一一映射，所以 A 的基数为 c。
0
E1 0,1
3 . 设 E 2 ( x, y ) x y 1 ，求E 2 在R 内的E 2 , E 2 , E 2 .
2 2

解
E 2 ( x, y ) x 2 y 2 1
0
E2
E2
x, y ) x ( x, y ) x (

2

0
2
2
y2
令
设 x
G
n 1

n
， 对 任意n ， x Gn ， d ( x, F )
1 n ，令 n
，得
d ( x, F ) 0 ，
x 由于 F 是闭集， 必有 x F （否则， F ， 存在 y n F ， d ( x, y n ) 0 ， 使
得
x F F ， 矛 盾 ） 即 G n F ， 又 G F , n 1,2, ， 所 以 ， n
P 证明 若 P0 E ，则对任一含有 0 的邻域U ( P, ) ，
必有以 P0 为心的邻域U ( P0 ) U ( x, ) ，所以存在
P1 E U ( P0 ) E U ( x, ) ，且 P1 P0 即任意 P 含有 P0 的邻域U ( P, ) 中，恒有异于 0 的点P1 属于 E。 P 反之，若任一含有P0 的邻域有异于 0 的点P1 属于 E，
1.
U P P0 证明： P0 E 的充要条件是对任意含有 0 的邻域 ( P, ) （不一定以
为心）中，
0
恒有异于P0 的点P 属于 E（事实上这样的P 还有无穷多个） P0 E 的 。而 1 1 P P 充要条件则是有含有 0 的邻域U ( P, ) （同样不一定以0 为心）存在， 使U ( P, ) E 。
7，证明：开集减闭集后的差集仍是开集； 闭集减开集后的差集仍是闭集.
证明 设 G 是开集，F 是闭集，则 CG 是闭集，CF 是开集， 所以 G-F= G CF 是开集， F G F CG 是闭集。证毕。
8.
设 f (x) 是 (, ) 上的实值连续函数，则对于任意常熟 a ，
n 1

G
n 1

n
F ，因而 G n F ，F 是可数个开集的交集。
n 1

若 G 是开集，则 CG 是闭集，所以开集Gn ，使 CG 所以
G
n 1

n
G C (CG) C ( Gn ) Gn
n 1 n 1


而 CGn 是闭集，因而 G 是可数个闭集的和集，证毕。
y2
1 1
4, 设 E3 是函数
1 sin , y x 0,

当x 0, 当x 0
2
E 的图形上的点所成的集合，在R 内讨论3
0
的E3 与 E3 。

0
解
2
E 3 E 3 (0, y ) 1 y 1, E 3 .
0 E E 5. 在 R 中看第二题之 E1 ， 1 ，1 . 各是由那些点构成的.
所以 P0 E 。 若 P0 E ，则有U ( P0 , ) E 。 反之，若 P0 U ( P, ) E ，则P0 E ，证毕。
0 0
0 2.设E1是0， 1中的全部有理点，求E1在R 内的E1 ， 1 ，1 . E E
1
解
E1 0,1,

E1 ,
n 一般地，第 次挖掉的2
n 1
n n 1 个区间 I k , k 1,2, ,2 中
其中 a1 a 2 a n 1 都是 0 或 2，因此在 0,1 P 中的数展成三进位小时 时，其中至少有一位是 1，于是把 P 中的数展成三进位无线小数时可以 x 用不到数字 1，即若x P ，则 可表示成
则存在 0 0, x n x0 ， f ( x n ) f ( x0 ) 0 或f ( x n ) f ( x0 ) 0 ， 不妨设出现第一种情况，令c f ( x0 ) 0 ，则 x n E x f ( x ) c ，而 x n E （因为 f ( x0 ) f ( x0 ) 0 ） ，此与 E 是闭集矛盾。 所以 f ( x )为a, b 上是连续函数。证毕。