一 自然坐标系下的速度和加速度
1、自然坐标系 把坐标建立在运动轨迹上的坐标系统 从原点 O到轨迹曲线上任 意一点P的弧长定义为P点的 自然坐标 S。
s

v s • O
en
P
•
e
L
切向坐标轴沿质点前进方向的切向为正，单位 矢量为 e ，法向坐标轴沿轨迹的法向凹侧为正， 单位矢量为 en
r r r a 14.4 24 e 2.4 2en r r 230.4e 4.8en
t = 2s 时，质点的加速度
例2 设有一个质点作半径为 r 的圆周运动.质点沿圆周 运动所经历的路程与时间的关系为s = bt2/2,并设b 为一 常量,求:（1）此质点在某一时刻的速率;（2）法向加速 度和切向加速度的大小;（3）总加速度. ds d 1 2 ( bt ) bt 解 : （ 1） v dt dt 2 2 2
dv （A） dt
2 d v v （C） dt R
（B）
v2 R
dv 2 v 2 2 （D） ( ) ( ) dt R
二 圆周运动的角量描述
1 圆周运动的角量描述
r C
角坐标 (t ) 角位移
规定逆时针为正
y
B
r
o

A

x
平均角速度 t 角速度 d -1 单位： rad· s lim t 0 t dt 平均角加速度 y B
讨论3 下列说法正确的是（ ）
（1）匀变速运动必定是直线运动 （2）在曲线运动中，速度的法向分量恒为0 （3）在圆周运动中，加速度方向总指向圆心 （4）加速度为负，质点必做减速运动 （5）切向加速度反映速度大小的变化，法向 加速度反映速度方向的变化 答案：（2）（5）
讨 论4 例 质点作半径为R的变速圆周运动的加速度 大小为
2
讨 论2
对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是 正确的：
（A）切向加速度必不为零 （B）法向加速度必不为零（拐点处除外） （C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为 零，因此法向加速度必为零 （D）若物体作
a 为常矢量，它一定作匀
4
t = 2s 时，质点的切向加速度和法向加速度的大小;
an 14.4t 14.4 2 230.4(m/s )
4 4 2
aτ 2.4t 2.4 2 4.8(m/s )
2
(2)任意时刻，质点的加速度 r r
r r r 2 a a e an en r e r en r r r r 2 4 r e r en 14.4t e 2.4ten
1
a a
2
2 n
x
切向加速度(速度大小变化) 法向加速度(速度方向变化)
dv a e dt2 v an en r
利用自然坐标, 一切运动可以 根据切向、法向加速度来分类：
a
an

a n= 0 a n= 0 an 0 an 0
a t= 0 at 0 at = 0 at 0
a dv r dt

v 2 an v r r
2
例1一质点作半径为0.1m 的圆周运动，已知运动学方程为
2 4t (rad)
3
求 (1) t = 2s 时，质点的切向加速度和法向加速度的大小; (2) t = 2s 时，质点的加速度。 解 (1)由运动学方程可得角速度和角加速度
d d 3 2 (2 4t ) 12t dt dt d d 2 (12t ) 24t dt dt
2 2 4
任意时刻，质点的切向加速度和法向加速度的大小
an rω r (12t ) 144rt 14.4t aτ r 24rt 2.4t
方向


d
dv v2 : O P点处轨道的曲率半径 a a e a en en e n dt aτ P v • an 2 2 a aτ an , tanθ an aτ a
① 直线运动

an 0
速度方向不变
2、自然坐标系中的位置的表示 质点的位置： 用坐标 S 表示 运动学方程
s

s s (t )
v s • O s en
P
e
Q
L
3、自然坐标系中的速度的表示
ds v e ve dt
ds v dt
d dv dv de a (ve ) e v dt dt dt dt
匀速直线运动 变速直线运动 匀速曲线运动
a
a与a
的夹角
变速曲线运动
an tan a
讨论1 抛体运动过程中的曲率半径？ 如B 点
y
A
B
aτ 0 , an gj , an g
v0
vB v0 cos e
2

O
x
C
(v0 cos ) vB B an g
dv v2 a , an dt R
②匀速率圆周运动
v a 0, an 恒量 r
2
③一般圆周运动加速度
dv v a a an e en dt r
2
y
a
o
an
v

a
e
A en
大小 a
a n 方向 θ tan a
t
2
角加速度
d d lim 2 t 0 t dt dt
单位：rad· s-2
r
o

e
A

x
角量与线量的关系 速度与角速度的关系
Q
s r
s dθ v lim r rω dt t 0 t
o
r
s
P
x( 极轴)
加速度与角速度和角加速度的关系
2 dv v e + en dt
4、自然坐标系中的加速度的表示
a an n
a e an en

dv 切向加速度 a dt
法向加速度
2
反映速度大小的变化
v
P
Q
v dv
v an n 反映速度方向的变化