南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数 学 2018.03注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式：样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑nx i ；锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．函数f (x )＝lg(2－x )的定义域为▲________．2．已知复数z 满足z 1＋2i ＝i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ．3．执行如图所示的算法流程图，则输出a 的值为 ▲ ．4．某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为▲________．5．3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往甲地的概率为 ▲ ．6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 15＝30，a 7＝1，则S 9的值为▲________．(第3题)(第4题)7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b sin A sin B ＋a cos 2B ＝2c ，则ac 的值为▲________． 8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2－y 2b2＝1 (b ＞0) 的两条渐近线与圆O ：222x y +=的四个交点依次为A ，B ，C ，D ．若矩形ABCD 的面积为b ，则b 的值为 ▲ ．9．在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形（如图1中阴影部分），折叠成底面边长为2的正四棱锥S -EFGH （如图2），则正四棱锥S －EFGH 的体积为▲________．10．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x ．若f (a )＋f (－a )＜4，则实数a 的取值范围为▲________．11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝mx ＋1(m ＞0)在x ＝1处的切线为l ，则点(2，－1) 到直线l 的距离的最大值为▲________．12．如图，在△ABC 中，边BC 的四等分点依次为D ，E ，F ．若AB →·AC →＝2，AD →·AF →＝5，则AE的长为▲________．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x ＋4)2＋(y －a )2＝16上两个动点，且AB ＝211．若直线l ：y ＝2x 上存在唯一的一个点P ，使得P A →＋PB →＝OC →，则实数a 的值为▲________． 14．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 3＋3x 2＋t ，x ＜0，x ， x ≥0，t ∈R ．若函数g (x )＝f (f (x )－1)恰有4个不同的零点，则t的取值范围为▲________．ADBCEF GH(图1)SEFGH(图2) (第9题)(第12题)B AD二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2 的部分图象如图所示，直线x ＝π12，x ＝7π12是其相邻的两条对称轴．（1）求函数f (x )的解析式；（2）若f (α2)＝－65，且2π3＜α＜7π6，求cos α的值．16.（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 所在平面与三角形ABE 所在平面互相垂直，AE ＝AB ，M ，N ，H 分别为DE ，AB ，BE 的中点． （1）求证：MN ∥平面BEC ； （2）求证：AH ⊥CE ．17．(本小题满分14分)调查某地居民每年到商场购物次数m 与商场面积S 、到商场距离d 的关系，得到关系式m ＝k ×Sd 2(k 为常数)．如图，某投资者计划在与商场A 相距10km 的新区新建商场B ，且商场B 的面积与商场A 的面积之比为λ (0＜λ＜1)．记“每年居民到商场A 购物的次数”、“每年居民到商场B 购物的次数”分别为m 1、m 2，称满足m 1＜m 2的区域叫做商场B 相对于A 的“更强吸引区域”． （1）已知P 与A 相距15km ，且∠P AB ＝60o ．当λ＝12时，居住在P 点处的居民是否在商场B相对于A 的“更强吸引区域”内？请说明理由；（2）若要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”，求λ的取值范围．（第16题） BEDAHCMNy x2 1 -1 -2π12π2 7π12O （第15题）18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为 22，上顶点A 到右焦点的距离为 2 ．过点D (0，m )(m ≠0)作不垂直于x 轴，y 轴的直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，C 为线段PQ 的中点，且AC ⊥OC ． （1）求椭圆E 的方程； （2）求实数m 的取值范围；（3）延长AC 交椭圆E 于点B ，记△AOB 与△AOC 的面积分别为S 1，S 2，若S 1S 2＝83，求直线l 的方程．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝x (e x －2)，g (x )＝x －ln x ＋k ，k ∈R ，e 为自然对数的底．记函数F (x )＝f (x )＋g (x )．（1）求函数y ＝f (x )＋2x 的极小值；（2）若F (x )＞0的解集为(0，+∞)，求k 的取值范围；（3）记F (x )的极值点为m ．求证：函数G (x )＝|F (x )|＋ln x 在区间(0，m )上单调递增．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)20．(本小题满分16分)对于数列{a n }，定义b n (k )＝a n ＋a n ＋k ，其中n ，k ∈N*． （1）若b n (2)－b n (1)＝1，n ∈N*，求b n (4)－b n (1)的值；（2）若a 1＝2，且对任意的n ，k ∈N*，都有b n ＋1(k )＝2b n (k )．（i ）求数列{a n }的通项公式；（ii ）设k 为给定的正整数，记集合A ＝{b n (k )|n ∈N*}，B ＝{5b n (k ＋2)|n ∈N*}，求证：A ∩B ＝ ．(第18题)南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学附加题 2018.03注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交圆O 于点D ，DE ⊥AC 且交AC 的延长线于点E ，求证：DE 是圆O 的切线．B ．选修4—2：矩阵与变换已知α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 a －12属于实数λ的一个特征向量，求λ和A 2．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a＞0，θ为参数)，点P 是圆C 上的任意一点．若点P 到直线l 距离的最大值为3，求a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲对任意x ，y ∈R ，求|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）甲，乙两人站在P 点处分别向A ，B ，C 三个目标进行射击，每人向三个目标各射击一次．每人每次射击每个目标均相互独立，且两人各自击中A ，B ，C 的概率分别都为12，13，14．（1）设X 表示甲击中目标的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）求甲乙两人共击中目标数为2个的概率．23．（本小题满分10分）已知n ∈N *，且n ≥4，数列T ：a 1，a 2，…，a n 中的每一项均在集合M ＝{1，2，…，n }中， 且任意两项不相等．（1）若n ＝7，且a 2＜a 3＜a 4＜a 5＜a 6，求数列T 的个数；（2）若数列T 中存在唯一的a k （k ∈N *，且k ＜n ），满足a k ＞a k ＋1，求所有符合条件的数列T的个数．南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试数学参考答案说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．(－∞，2) 2． 5 3．3 4．16 5．38 6．－9 7． 2 8．79．4310．(－1，1) 11． 2 12． 6 13．2或-18 14．[－4，0) 二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)解：（1）设f (x )的周期为T ，则T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π．又T ＝2πω，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)． …………………………………3分因为点(π12，2)在函数图象上，所以2sin(2×π12＋φ)＝2，即sin(π6＋φ)＝1．因为－π2＜φ＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin(2x ＋π3)． (7)分（2）由f (α2)＝－65，得sin(α＋π3)＝－35．因为2π3＜α＜7π6，所以π＜α＋π3＜3π2，所以cos(α＋π3)＝－1－sin 2(α＋π3)＝－45． ………………………………10分所以cos α＝cos[(α＋π3)－π3]＝cos(α＋π3)cos π3＋sin(α＋π3) sin π3＝－45×12＋(－35)×32＝－33＋410． ………………………………14分16．(本小题满分14分)（1）解法一：取CE 中点F ，连接FB ，MF .因为M 为DE 的中点，F 为CE 的中点，所以MF ∥CD 且MF ＝12CD ． ……………………………………2分又因为在矩形ABCD 中，N 为AB 的中点， 所以BN ∥CD 且BN ＝12CD ，所以MF ∥BN 且MF ＝BN ，所以四边形BNMF 为平行四边形， 所以MN ∥BF ． ……………………………………4分 又MN ⊄平面BEC ，BF ⊂平面BEC ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 解法二：取AE 中点G ，连接MG ，GN .因为G 为AE 的中点，M 为DE 的中点，所以MG ∥AD ． 又因为在矩形ABCD 中，BC ∥AD ，所以MG ∥BC ． 又因为MG ⊄平面BEC ，BC ⊂平面BEC ，所以MG ∥平面BEC ． ……………………………………2分 因为G 为AE 的中点，N 为AB 的中点，所以GN ∥BE ．又因为GN ⊄平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，所以GN ∥平面BEC ． 又因为MG ∩GN ＝G ，MG ，GN ⊂平面GMN ，所以平面GMN ∥平面BEC ． ……………………………………4分又因为MN ⊂平面GMN ，所以MN ∥平面BEC ． ……………………………………6分 （2）因为四边形ABCD 为矩形，所以BC ⊥AB ．因为平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，BC ⊂平面ABCD ，且BC ⊥AB ，所以BC ⊥平面ABE ． ……………………………………8分 因为AH ⊂平面ABE ，所以BC ⊥AH ．因为AB ＝AE ，H 为BE 的中点，所以BE ⊥AH ． ……………………………………10分 因为BC ∩BE ＝B ，BC ⊂平面BEC ，BE ⊂平面BEC ，所以AH ⊥平面BEC ． ……………………………………12分又因为CE ⊂平面BEC ，所以AH ⊥CE ． ……………………………………14分 17．(本小题满分14分)解：设商场A 、B 的面积分别为S 1、S 2，点P 到A 、B 的距离分别为d 1、d 2，则S 2＝λS 1，m 1＝k S 1 d 12，m 2＝k S 2d 22，k 为常数，k ＞0．（1）在△P AB 中，AB ＝10，P A ＝15，∠P AB ＝60o ，由余弦定理，得d 22＝PB 2＝AB 2＋P A 2－2AB ·P A cos60°＝102＋152－2×10×15×12＝175． …………………………2分又d 12＝P A 2＝225，此时，m 1－m 2＝k S 1 d 12－k S 2 d 22＝k S 1 d 12－k λS 1 d 22＝kS 1(1 d 12－λd 22)， …………………………4分将λ＝12，d 12＝225，d 22＝175代入，得m 1－m 2＝kS 1(1225－1350)．因为kS 1＞0，所以m 1＞m 2，即居住在P 点处的居民不在商场B 相对于A 的“更强吸引区域”内． …………………6分 （2）解法一：以AB 所在直线为x 轴，A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则A (0，0)，B (10，0)，设P (x ，y )，由m 1＜m 2得，k S 1 d 12＜k S 2d 22，将S 2＝λS 1代入，得d 22＜λd 12．……8分代入坐标，得(x －10)2＋y 2＜λ(x 2＋y 2)，化简得(1－λ) x 2＋(1－λ) y 2－20x ＋100＜0． ……………………10分 因为0＜λ＜1，配方得 (x －101－λ)2＋y 2＜(10λ1－λ)2， 所以商场B 相对于A 的“更强吸引区域”是：圆心为C (101－λ，0)，半径为r 1＝10λ1－λ的圆的内部．与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)是：圆心为B (10，0)，半径为r 2＝2的圆的内部及圆周．由题设，圆B 内含于圆C ，即BC ＜| r 1－r 2|． …………………………12分 因为0＜λ＜1，所以101－λ－10＜10λ1－λ－2，整理得4λ－5λ＋1＜0，解得116＜λ＜1．所以，所求λ的取值范围是(116，1)． …………………………14分解法二：要使与商场B 相距2 km 以内的区域(含边界)均为商场B 相对于A 的“更强吸引区域”， 则当d 2≤2时，不等式m 1＜m 2恒成立．由m 1＜m 2，得k S 1 d 12＜k S 2 d 22＝k λS 1 d 22，化简得d 12＞d 22λ． …………………………8分设∠PBA ＝θ，则d 12＝P A 2＝AB 2＋PB 2－2AB .PB cos θ＝100＋d 22－20d 2cos θ， (10)分(第17题)所以100＋d 22－20d 2cos θ＞d 22λ，即100＋d 22－d 22λ20d 2＞cos θ．上式对于任意的θ∈[0，π]恒成立，则有100＋d 22－d 22λ20d 2＞1， (12)分即1－1λ＞20·1d 2－100·(1d 2)2＝－100(1d 2－110)2＋1 (*)．由于d 2≤2，所以1d 2≥12．当1d 2＝12时，不等式(*)右端的最大值为－15， 所以1－1λ＞－15，解得λ＞116．又0＜λ＜1，所以λ的取值范围是(116，1)． ………………………14分18．(本小题满分16分)解：（1）因为⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a ＝2，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝1，所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1． …………………………2分解法一：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)，其中x 0，y 0均不为0，且x 1≠x 2． 因为P ，Q 两点都在椭圆E 上，所以x 12＋2y 12＝2 且x 22＋2y 22＝2，两式相减得y 2－y 1x 2－x 1×y 0x 0＝－12． …………………………4分又y 2－y 1x 2－x 1＝y 0－m x 0 ，所以y 0－m x 0×y 0x 0＝－12， …………………………6分即x 02＝2y 0(m －y 0)． ①又AC ⊥OC ，所以y 0－1x 0×y 0x 0＝－1， …………………………8分即x 02＝y 0(1－y 0)． ②由①②得y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)∈(0，2)，所以12＜m ＜1． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，点B 在椭圆E 上，所以x 32＋2y 32＝2．又AC ⊥OC ，所以y 3－1x 3×y 0x 0＝－1，即y 3＝－x0y 0x 3＋1，代入上式消去y 3，得x 3＝4x 0y 0y 20＋2x 20， …………………………12分 所以S 1S 2＝12AO ×|x 3| 12AO ×|x 0|＝|x 3x 0|＝|4y 0y 20＋2x 20|．由（2）知y 0＝2m －1，x 02＝(1－2m ) (2m －2)，12＜m ＜1，所以S 1S 2＝|4(2m －1)(2m －1)2＋2(1－2m )(2m －2) |＝|43－2m |＝43－2m． …………………………14分因为S 1S 2＝83，所以43－2m ＝83，解得m ＝34，此时y 0＝2m －1＝12，x 02＝(1－2m ) (2m －2)＝14，所以x 0＝±12，所以C 点坐标为(±12，12)，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分解法二：（2）由（1）得A (0，1)．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)．设直线l 方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，将其与椭圆E 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0 (*)，所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2， …………………………4分所以x 0＝x 1＋x 22＝－2km 1＋2k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m 1＋2k 2，即C (－2km 1＋2k 2，m1＋2k 2)， 所以k AC ＝y 0－1x 0＝m1＋2k 2－1－2km 1＋2k 2＝2k 2＋1－m2km ． …………………………6分又因为k OC ＝y 0x 0＝m 1＋2k 2－2km 1＋2k 2＝－12k，且AC ⊥OC ，所以k AC ×k OC ＝2k 2＋1－m 2km ×(－12k)＝－1，整理得m ＝2k 2＋14k 2＋1． …………………………8分因为k ≠0，则m ＝2k 2＋14k 2＋1＝4k 2＋1－2k 24k 2＋1＝1－2k 24k 2＋1＝1－12＋12k2 ∈(12，1)，此时△＝8(2k 2＋1－m )＞0，所以实数m 的取值范围为(12，1)． …………………………10分（3）设B (x 3，y 3)，k AB ＝－1k OC＝2k ，所以直线AB 的方程为y ＝2kx ＋1，与椭圆E 方程联立解得x ＝－8k 1＋8k 2或0（舍），即x 3＝－8k1＋8k 2． …………………12分又因为x 0＝－2km 1＋2k 2＝－2k 1＋2k 2×2k 2＋14k 2＋1＝－2k1＋4k 2，所以S 1S 2＝12AO ×|x 3| 12AO ×|x 0|＝|－8k 1＋8k 2－2k 1＋4k 2|＝4＋16k 21＋8k 2． …………………………14分因为S 1S 2＝83，所以4＋16k 21＋8k 2＝83，解得k ＝±12，此时m ＝2k 2＋14k 2＋1＝34，D 点坐标为(0，34)，所以直线l 的方程为y ＝±12x ＋34． …………………………16分19．(本小题满分16分)（1）解：y ＝f (x )＋2x ＝x e x ，由y ′＝(1+ x )e x ＝0，解得x ＝－1.所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值－1e ． ………………………2分（2）解：F (x )＝f (x )＋g (x )＝x e x －x －ln x ＋k ，F ′(x )＝(x ＋1)(e x －1x)，设h (x )＝e x －1x (x ＞0)，则h ′(x )＝e x ＋1x 2＞0恒成立，所以函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增．又h (12)＝e －2＜0，h (1)＝e －1＞0，且h (x )的图像在(0，＋∞)上不间断，因此h (x )在(0，＋∞)上存在唯一的零点x 0∈(12，1)，且e x＝1x 0．……………………4分当x ∈(0，x 0)时，h (x )＜0，即F ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，h (x )＞0，即F ′(x )＞0， 所以F (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，于是x ＝x 0时，函数F (x )取极(最)小值为F (x 0)＝x 0e x 0－x 0－ln x 0＋k ……………………6分＝1－x 0－ln 1ex 0＋k ＝1＋k ．因为F (x )＞0的解集为(0，＋∞)，所以1＋k ＞0，即k ＞－1． ……………………8分 （3）证明：由（2）知m ＝x 0，①当1＋k ≥0，即k ≥－1时，F (x )≥0恒成立，于是G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1．因为x ∈(0，m )，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立， 所以函数G (x )在(0，m )上单调递增． ……………………10分 ②当1＋k ＜0，即k ＜－1时，0＜e k ＜12＜x 0＝m ，F (e k )＝e k ( e e k－1)＞0，F (m )＝F (x 0)＝1＋k ＜0， 又F (x )在(0，m )上单调递减且图像不间断，所以F (x )在(0，m )上存在唯一的零点x 1． ……………………12分 当0＜x ≤x 1时，F (x )≥0，G (x )＝F (x )＋ln x ＝x e x －x ＋k ，G ′(x )＝(x ＋1)e x －1， 因为0＜x ≤x 1，所以x ＋1＞1，e x ＞1，于是G ′(x )＞0恒成立，所以函数G (x )在(0，x 1]上单调递增； ① ……………………14分 当x 1≤x ＜m 时，F (x )≤0，G (x )＝－F (x )＋ln x ，G ′(x )＝－F ′(x )＋1x ，由（2）知，当x 1≤x ＜m 时，F ′(x )＜0，于是G ′(x )＞0恒成立， 所以函数G (x )在[x 1，m )上单调递增； ② 设任意s ，t ∈(0，m )，且s ＜t ， 若t ≤x 1，则由①知G (s )＜G (t ),若s ＜x 1＜t ，则由①知G (s )＜G (x 1)，由②知G (x 1)＜G (t )，于是G (s )＜G (t ), 若x 1≤s ，由②知G (s )＜G (t ), 因此总有G (s )＜G (t ),所以G (x )在(0，m )上单调递增．综上，函数G (x )在(0，m )上单调递增． ………………………16分20．(本小题满分16分)（1）解：因为b n (2)－b n (1)＝1，所以(a n ＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝1，即a n ＋2－a n ＋1＝1， 因此数列{a n ＋1}是公差为1的等差数列，所以b n (4)－b n (1)＝(a n ＋a n ＋4)－(a n ＋a n ＋1) ＝a n ＋4－a n ＋1＝3． ……………………2分 （2）（i ）解：因为b n ＋1(k )＝2b n (k )，所以a n ＋1＋a n ＋1＋k ＝2(a n ＋a n ＋k )，分别令k ＝1及k ＝2，得⎩⎨⎧a n ＋1＋a n ＋2＝2(a n ＋a n ＋1)， ①a n ＋1＋a n ＋3＝2(a n ＋a n ＋2)， ②……………………4分由①得a n ＋2＋a n ＋3＝2(a n ＋1＋a n ＋2)， ③ …………………………6分③－②得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ④ …………………………8分 ①－④得2a n ＋1＝4a n ，即a n ＋1＝2a n ，又a 1＝2，所以a n ＝2n ． …………………………10分（ii ）证明：假设集合A 与集合B 中含有相同的元素，不妨设b n (k )＝5b m (k ＋2)，n ，m ∈N*，即a n ＋a n ＋k ＝5(a m ＋a m ＋k ＋2)， 于是2n ＋2n ＋k ＝5(2m ＋2m＋k ＋2)，整理得2n －m＝5(1＋2k ＋2)1＋2k. …………………………12分因为5(1＋2k ＋2)1＋2k ＝5(4－31＋2k )∈[15，20)，即2n －m∈[15，20)， 因为n ，m ∈N*，从而n －m ＝4， …………………………14分 所以5(1＋2k ＋2)1＋2k ＝16，即4×2k ＝11．由于k 为正整数，所以上式不成立，因此集合A 与集合B 中不含有相同的元素，即A ∩B ＝ ．…………………………16分南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 2018.03说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指．．．定区域内．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连结OD ，因为OD ＝OA ，所以∠OAD ＝∠ODA ．因为AD 平分∠BAE ，所以∠OAD ＝∠EAD ， ………………3分 所以∠EAD ＝∠ODA ，所以OD ∥AE . ………………5分 又因为AE ⊥DE ，所以DE ⊥OD ． ………………8分 又因为OD 为半径，所以DE 是圆O 的切线． ………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ，所以⎩⎨⎧1＋a ＝λ，－1＋2＝λ，解方程组得⎩⎨⎧a ＝0，λ＝1．…………………………5分所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－1 2 ，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 0－3 4． …………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：因为直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝3t ＋2(t 为参数)，所以直线l 的普通方程为y ＝3x ＋2． ……………………………3分又因为圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝a sin θ(a ＞0，θ为参数)，所以圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝a 2． ……………………………6分 因为圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝1， ……………………………8分 所以1＋a ＝3，解得a ＝2． ……………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲解：方法一：|x －1|＋|x |≥|x －1－x |＝1，当且仅当x (x －1)≤0，即0≤x ≤1时取等号． ……………………………4分 |y －1|＋|y ＋1|≥|y －1－y －1|＝2，当且仅当(y －1)(y ＋1)≤0，即－1≤y ≤1时取等号． ……………………………8分 所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3， 当且仅当0≤x ≤1，－1≤y ≤1时取等号，所以|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分 方法二：因为f (x )＝|x －1|＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥1，1，0≤x ＜1，1－2x ，x ＜0，所以f (x )min ＝1． …………………………4分 因为g (y )＝|y －1|＋|y ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2y ，y ≥1，2，－1≤y ＜1，－2y ，y ＜－1，所以g (y )min ＝2． …………………………8分综上，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3． …………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝(1－12)×(1－13)×(1－14)＝14，P (X ＝1)＝12×(1－13)×(1－14)＋(1－12)×13×(1－14)＋(1－12)×(1－13)×14＝1124，P (X ＝2)＝(1－12)×13×14＋12×(1－13)×14＋12×13×(1－14)＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124．所以，随机变量X 的分布列为X 的数学期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312． …………………………5分（2）设Y 表示乙击中目标的个数，由（1）亦可知，P (Y ＝0)＝14，P (Y ＝1)＝1124，P (Y ＝2)＝14．则P (X ＝0，Y ＝2)＝14×14＝116，P (X ＝1，Y ＝1)＝1124×1124＝121576，P (X ＝2，Y ＝0)＝14×14＝116， …………………………8分所以P (X ＋Y ＝2)＝P (X ＝0，Y ＝2)＋P (X ＝1，Y ＝1)＋P (X ＝2，Y ＝0)＝193576．所以，甲乙两人共击中目标数为2个的概率为193576． …………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）当n ＝7时，M ＝{1，2，…，7 }，数列T 的个数为C 27×A 22＝42． ………………………………2分（2）当k ＝1时，则a 1＞a 2，a 2＜a 3＜…＜a n ，此时a 2为1，a 1共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C 1n －1个． (3)分当2≤k ≤n －2时，则a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＞a k ＋1，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n ，从集合M 中任取k 个数，按从小到大的顺序排列， 再将余下的n －k 个数，按从小到大的顺序排列，即得满足条件a 1＜a 2＜…＜a k ，a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的数列的个数为C k n C n －k n －k ，这里包含了a k ＜a k ＋1即a 1＜a 2＜…＜a k ＜a k ＋1＜a k ＋2＜…＜a n 的情形，因此符合条件的数列T 的个数为C k n C n －k n －k －1＝C k n －1． ………………………………7分当k ＝n －1时，则a 1＜a 2＜…＜a n －1，a n －1＞a n此时a n －1为n ，a n 共有n －1种选法，余下的n －2个数，按从小到大依次排列，共有1种，因此k ＝n －1时，符合条件的数列T 共有n －1＝C n －1n －1个．…………………………8分于是所有符合条件的数列T的个数为：C1n－1＋C2n－1＋…＋C n－1n－1＝C1n＋C2n＋…＋C n－1n－n＋1＝2n－C0n－C n n－n＋1＝2n－n－1．………………………………10分。