如何确定全等三角形的对应关系
一、字母顺序确定法
由于在表示两个全等三角形时，通常是把表示对应顶点的字母写在对应的位置上（在证明三角形全等时也要注意应这样写），所以可以利用字母的顺序确定对应元素.
例1已知△ABC≌△ADE，指出△ABC和△ADE的对应边、对应角.
分析：先把两个三角形顶点的字母按照同样的顺序排成一排：A→B→C，A→D→E，然后按同样的顺序找出对应元素：（1）点A、A；B、D；C、E分别是对应点；（2）线段AB、AD；BC、DE；AC、AE分别是对应线段；（3）∠ABC、∠ADE；∠ACB、∠AED；∠CAB、∠EAD分别是对应角.
二、图形特征确定法
（1）有公共边的，公共部分一定是对应边.
如图1，△ADB和△ADC全等，则AD一定是两个三角形的对应边.
（2）有公共角的，公共角一定是对应角.
如图2中，△ABD和△ACE全等，∠DAB和∠EAC是对应角.
（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角.
如图3中，∠1和∠2是对应角.
（4）两个全等三角形的最大边（角）是对应边（角）；最小的边（角）是对应边（角）.
（5）对应边（角）所夹（对）的角（边）是对应角（边）
三、图形分解法
从复杂的图形中，找出全等三角形的对应部分比较困难，这时可把要证全等的两个三角形从复杂图形中分离出来，用不同颜色标出或另画，图形简单了就容易找出对应元素.
如图4，点C是线段AB上一点，AC=MC=AM，BC=NC=BN，请说明：BM=AN.
此题若作如图5的分离，则容易找出对应部分：AC，MC；NC，BC；∠CAN，∠MCB分别是△ACN
和△MCB中的对应边和对应角.
“三步曲”证全等
牢记判定定理：SSS SAS ASA AAS HL
一看图形：全等三角形的基本图形大致有以下几种①平移型；②对称型；③旋转型（复杂图形可分离
出基本图形）
二看条件：
（一）应先看有无隐含条件（如对顶角、公共边、公共角、某些角的和差，某些线段的和差。

）
1、利用公共边（或公共角）相等
如图1，AB DC =，AC DB =，△ABC ≌△DCB 全等吗？为什么？
2、利用对顶角相等
如图2，已知AC 与BD 交于点O ，∠A=∠C ，且AD ＝CB ，你能说明BO=DO 吗？
3、利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或差）仍相等
如图3，AB=DC ，BF=CE ，AE=DF ，你能找到一对全等的三角形吗？说明你的理由．
4、利用平行线的性质得出同位角、内错角相等
如图4，AB ∥CD ，∠A ＝∠D ，BF ＝CE ，∠AEB ＝110°，求∠DFC 的度数． （二）再分析显性条件，如果条件不够，应确定还需什么条件，然后证明该条件。

基本思路：1.已知两角――任一边；2.已知两边――找夹角或第三边；3.已知一角与邻边――找另一角或另一邻边；4.已知一角与对边――找另一角。

1.如图，已知点E C ，在线段BF 上，BE=CF ，AB ∥DE ，∠ACB=∠F ．
求证：ABC DEF △≌△．
2.如图所示，把一个直角三角尺ACB 绕着30°角的顶点B 顺时针旋转，使得点A 落在CB 的延长线上的
点E 处，则∠BDC 的度数为 ．
3.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B C E ，，在
同一条直线上，连接DC ．
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）证明：DC BE ．
三创条件：条件与结论联系不明显，直接证明难度大，考虑添加辅助线，构造全等三角形。

图1
图2
（例题3）
C E
B
F
D
A
D
C B A
B
A
C A
常见辅助线的作法有以下几种：
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．
2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
1、倍长中线（线段）造全等 （“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.
2、截长补短
如图，已知在△ABC 内，0
60BAC ∠=，0
40C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别
是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BP
如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC
F
E D C B A 3、借助角平分线造全等
如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. （1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长.
4、借助平移或旋转构造全等
如图，正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.
全等三角形知识的应用
一、证明线段（或角）相等
（另：线段等――等角对等边；中点定义；中垂线定理；角平分线定理；借用第三边。

角等――对顶角等；同角或等角的余角或补角等；平行线中的相关角等；角平分线定义；等式的性质。

）
如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC
分析：由已知条件可证出ΔACD ≌ΔABE ，而BF 和FC 分别位于ΔDBF 和ΔEFC 中，因此先证明ΔACD ≌ΔABE ，再证明ΔDBF ≌ΔECF ，既可以得到
BF=FC.
E
D
G
F
C B A
和CE. 求证：ΔCEB≌ΔCFB.
四、证明线段相互垂直
已知：如图，ΔADC、ΔBDO为等腰直角三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你
（1）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；
（2）判定：到角的两边距离相等的点，一定在这个角的平分线上；
三、三角形的角平分线的性质
三角形的三条角平分线交于一点，且交点到三边的距离相等。

四、活用角平分线的性质
1、巧代换
．如图，已知长方形ABCD，过点C引∠A的平分线AM的垂线，垂足为M，AM交BC于E，连接MB，MD．（1）求证：BE=DC；（2）求证：∠MBE=∠MDC
，
2、巧构造
（1）作角平分线
如图是三条两两相交的笔直公路，现要修建一个加油站，使它到三条公路的距
离相等，这个加油站的位置共有（）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
（2）作垂线段
作如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8 cm，BD=5 cm，那么D点到直线AB的距离是cm.
（3）延长垂线段
如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ABE-=∠EBC，CE⊥BD的延长线于E，求证：BD=2CE．
五、巧用角平分线的判定
利用角平分线的判定可以用来证明一条射线是不是一个角的平分线，进而获得角相等的结论，特别是可以借助它证明角相等的问题。

例1：如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，并交于点P，PD⊥BM于点D，PF ⊥BN于点F，求证：BP是∠MBN的平分线．
例2：已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC.
（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请你证明你的结论；
（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？请说明理由．
例3:如图，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE＝90°，AD＝AB，AC＝AE．试猜想：∠AFD和∠AFE 的大小关系，说明理由．。