《大学物理学》机械振动自主学习材料一、选择题9-1．一个质点作简谐运动，振幅为A ，在起始时质点的位移为2A -，且向x 轴正方向运动，代表此简谐运动的旋转矢量为（ ）【旋转矢量转法判断初相位的方法必须掌握】9-2．已知某简谐运动的振动曲线如图所示，则此简谐运动的运动方程（x 的单位为cm ，t 的单位为s ）为（ ）（A ）222cos()33x t ππ=-；（B ）222cos()33x t ππ=+；（C ）422cos()33x t ππ=-；（D ）422cos()33x t ππ=+。

【考虑在1秒时间内旋转矢量转过3ππ+，有43πω=】9-3．两个同周期简谐运动的振动曲线如图所示，1x 的相位比2x 的相位（ ）（A ）落后2π； （B ）超前2π； （C ）落后π； （D ）超前π。

【显然1x 的振动曲线在2x 曲线的前面，超前了1/4周期，即超前/2π】9-4．当质点以频率ν作简谐运动时，它的动能变化的频率为（ ） （A ）2ν； （B ）ν； （C ）2ν； （D ）4ν。

【考虑到动能的表达式为22211sin ()22kE mv kA t ωϕ==+，出现平方项】9-5．图中是两个简谐振动的曲线，若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为（ ）（A ）32π； （B ）2π； （C ）π； （D ）0。

【由图可见，两个简谐振动同频率，相位相差π，所以，则合成的余弦振动的振幅应该是大减小，初相位是大的那一个】9--1．一物体悬挂在一质量可忽略的弹簧下端，使物体略有位移， 测得其振动周期为T ，然后将弹簧分割为两半，并联地悬挂同 一物体，再使物体略有位移，测得其振动周期为'T ，则()A ()B()C()D )s--'/T T 为（ ）（A ）2； （B ）1； （C； （D ）12。

【弹簧串联的弹性系数公式为12111k k k =+串，弹簧对半分割后，其中一根的弹性系数为2k ，两弹簧并联后形成新的弹簧整体，弹性系数为4k ，公式为12k k k =+并，利用ω=2T πω=，所以，'22T T π==】9--2．一弹簧振子作简谐运动，当位移为振幅的一半时，其动能为总能量的（ ） （A ）12；（B；（C）2；（D ）34。

【考虑到动能的表达式为22211sin ()22k E mv kA t ωϕ==+，位移为振幅的一半时，有2,33t ππωϕ+=±±，那么，2212k E kA =⋅】9--3．两个同方向，同频率的简谐运动，振幅均为A ，若合成振幅也为A ，则两分振动的初相位差为（ ） （A ）6π； （B ）3π； （C ）23π； （D ）2π。

【可用旋转矢量考虑，两矢量的夹角应为23πω=】9-10．如图所示，两个轻弹簧的劲度系数分别为1k 和2k ，物体在光滑平面上作简谐振动，则振动频率为：（ ）（A（B（C）2π（D）2【提示：弹簧串联的弹性系数公式为12111k k k =+串，而简谐振动的频率为ν= 9-15．一个质点作简谐振动，周期为T ，当质点由平衡位置向x 轴正方向运动时，由平衡位置到二分之一最大位移这段路程所需要的最短时间为：（ ） （A ）/4T ； （B ）/6T ； （C ）/8T ； （D ）/12T 。

【提示：由旋转矢量考察，平衡位置时旋转矢量在2π-处，最短时间到12最大位移处为3π-，那么，旋转矢量转过6π的角度，由比例式：:2:6t T ππ=，有12T t =】9-17．两质点作同频率同振幅的简谐运动，M 质点的运动方程为1cos()x A t ωϕ=+，当M 质点自振动正方向回到平衡位置时， N 质点恰在振动正方向的端点。

则N 质点的运动方程为：（ ） （A ）2cos()2x A t πωϕ=++；（B ）2cos()2x A t πω=-；（C ）2cos()2x A t πωϕ=+-；（D ）2cos()2x A t πω=+。

M【提示：由旋转矢量知N 落后M 质点2π相位】9-28．分振动方程分别为13cos(500.25)x t ππ=+和24cos(500.75)x t ππ=+（SI 制）则它们的合振动表达式为：（ ）（A ）2cos(500.25)x t ππ=+； （B ）5cos(50)x t π=；（C ）145cos(50tan )43x t ππ-=++； （D ）7=x 。

【提示：见图，由于x 1和x 2相位相差/2π合振动的相位为/4πθ+，而4arctan 3θ=】13．一弹簧振子，当把它竖直放置时，作振动周期为T 0的简谐振动。

若把它放置在与竖直方向成θ角的光滑斜面上时，试判断下列情况正确的是：（ ） （A ）在光滑斜面上不作简谐振动；（B ）在光滑斜面上作简谐振动，振动周期仍为T 0；（C ）在光滑斜面上作简谐振动，振动周期为0/cos T θ； （D ）在光滑斜面上作简谐振动，振动周期为0T【提示：由题意弹簧振子竖直放置时的周期为02T =2所以弹簧振子的0T 是固有周期】14．两个质量相同的物体分别挂在两个不同的弹簧下端，弹簧的伸长分别为1l ∆和2l ∆，且1l ∆=22l ∆，两弹簧振子的周期之比T 1：T 2为： （ ）（A ）2； （B ）2； （C ）21； （D ）2/1。

【提示：可由弹簧的伸长量求出相应的劲度系数k ，再利用ω=二、填空题9--4．一质点在Ox 轴上的A 、B 之间作简谐运动， O 为平衡位置，质点每秒往返三次，若分别以 x 1、x 2为起始位置，则它们的振动方程为：（1） ；（2） 。

【提示：O 为平衡位置，A 、B 之间振动，振幅为2cm ；每秒往返三次，说明3ν=，有6ωπ=，x 1为起始位置时，初相位的旋转矢量在第三象限与水平轴成60的位置，所以43πϕ=，则140.02cos(6)3x t ππ=+；同理，x 2为起始位置时，初相位的旋转矢量在第4象限与水平轴成60角的位置，所以3πϕ=-，则20.02cos(6)3x t ππ=-】9--5．由图示写出质点作简谐运动的振动方程： 。

【提示：图中可见振幅为0.1，周期为8秒，旋转矢量初相位在1秒后（即/8T 后）达最大，则初相位在第4象限与水平轴成45角的位置，所以4πϕ=-，则0.1cos ()44x t ππ=-】9--6．有两个简谐运动，其振动曲线如图所示，从图中可知 A 的相位比振动B 的相位 ，A B ϕϕ-= 。

【提示：图中可见A 落后 B ，A B ϕϕ-应为负值，=2π-】9-20．如果地球上的秒摆在月球上的周期为4.9秒，地球表面的重力加速度取9.8m/s 2，月球上的重力加速度为 。

【秒摆在地球上的周期为2秒，由单摆的周期公式：2T=知224l g T π=，可见g =月21.63/m s 】5．一单摆的悬线长l ，在顶端固定点的铅直下方l /2处有一小钉， 如图所示。

则单摆的左右两方振动周期之比T 1/T 2为 。

【由单摆的周期公式：2T=知左边12T =T 1/T 2=】 6．有两个相同的弹簧，其倔强系数均为k ，（1）把它们串联起来，下面挂一个质量为m 的重物，此系统作简谐振动的周期为 ；（2）把它们并联起来，下面挂一质量为m 的重物，此系统作简谐振动的周期为 。

【提示：（1）弹簧串联公式为12111k k k =+串，得2k k =串，而周期公式为2T =有T =串2π（2）并联公式为12k k k =+并，可得2k k =并，有T =并2 7．一弹簧振子作简谐振动，其振动曲线如图所示。

则它的周期T = ，其余弦函数描述时初相位ϕ= 。

【提示：由旋转矢量图，考虑在2秒时间内旋转矢量转过332ππ+，有1112πω=，可算出周期T =2411s ，图中可见初相位ϕ=23π】8．两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为0.2 m ，合振动的位相与第一个简谐振动的位相差为π/6，若第一个简谐振动的振幅为m ，则第二个简谐振动的振幅x)s -为 ，第一、二两个简谐振动的位相差为 。

【提示：∵合振动的振幅与第一个简谐振动的振幅恰满足cos θ=相差为π/3，由勾股定理知第二个简谐振动的振幅为0.1m ；第一、二两个简谐振动的位相差为/2π】9．若两个同方向不同频率的谐振动的表达式分别为1cos10x A t π=和2cos12x A t π=，则它们的合振动频率为 ，每秒的拍数为 。

【提示：由和差化积公式，有12101210122coscos 22x x A t t ππππ+-+=()()2cos 11cos A t t ππ=，所以，合振动频率为5.5Hz ，合振动变化频率（即拍频）为1Hz ，即1/拍秒】10．质量为m 的物体和一轻弹簧组成弹簧振子其固有振动周期为T ，当它作振幅为A 的自由简谐振动时，其振动能量E = 。

【提示：振动能量的公式为2221122Em A k A ω==，而2Tπω=，有E =2222mT A π-】11．李萨如图形常用来对于未知频率和相位的测定，如图所示的两个 不同频率、相互垂直的简谐振动合成图像，选水平方向为x 振动， 竖直方向为y 振动，则该李萨如图形表明:x y T T = 。

【提示：李萨如图形与x 的水平方向有2个切点，与y 的竖直方向有3个切点，表明:xy T T =2:3】三、计算题9-14．某振动质点的x-t 曲线如图所示，试求：（1）运动方程；（2）点P 对应的相位；（3）到达P 点相应位置所需的时间。

9-18．如图为一简谐运动质点的速度与时间的 关系图，振幅为2cm ，求 （1）振动周期；（2）加速度的最大值；（3）运动方程。

9-23．一质量为M弹簧的劲度系数为k 。

现有一质量为m h的瞬时作为计时起点，求盘子的振动表达式。

9-25．质量m =0.10kg 的物体以A =0.01m 的振幅作简谐振动，其最大加速度为4.0m ·s -2，求：（1）振动周期；（2）物体通过平衡位置时的总能量与动能；（3）当动能和势能相等时，物体的位移是多少？（4）当物体的位移为振幅的一半时，动能、势能各占总能量的多少？s P 1-9-27．质量m =10g 的小球与轻弹簧组成的振动系统运动方程为0.5cos(8)3x t ππ=+cm ，求（1）振动的角频率、周期、振幅和初相位；（2）振动的能量；（3）一个周期内的平均动能和平均势能。

9-28．有两个同方向、同频率的简谐振动，它们的振动表式为：130.05cos 104x t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，210.06cos 104x t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（SI 制）（1）求它们合成振动的振幅和初相位。