第5讲 牛顿定律中的临界问题【例1】如图所示，质量为m 的木块在质量为M 的长木板上向右滑行，木块受到向右的拉力F 的作用，长木板处于静止状态，已知木块与长木板间的动摩擦因数为μ1，长木板与地面间的动摩擦因数为μ2，则( )A ．长木板受到地面的摩擦力的大小一定是μ1mgB ．长木板受到地面的摩擦力的大小一定是μ2(m ＋M )gC ．当F >μ2(m ＋M )g 时，长木板便会开始运动D ．无论怎样改变F 的大小，长木板都不可能运动解析：木块受到的滑动摩擦力大小为μ1mg ，由牛顿第三定律，长木板受到m 对它的摩擦力大小也是μ1mg ，对长木板使用平衡条件得地面对长木板的静摩擦力为μ2mg ，A 正确．改变F 的大小，木块m 受到的滑动摩擦力不会发生变化，长木板受力不变，D 正确．答案：AD【练习1】有一质量M =4kg 的小车置于光滑水平桌面上，在小车上放一质量m =6kg 的物块，动摩擦因素µ=0.2，现对物块施加F =25N 的水平拉力，如图所示，求小车的加速度？（设车与物块之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力且g 取10m/s 2)解析：对M 、m 分析可知，M 有最大加速度20/3s m M mg a ==μ，M 、m 共同运动的最大加速度为20/3s m a =，此时外力()N a M m F 3000=+=，故当F =25N 时，M 、m 相对静止不动，由整体法分析可知2/5.2s m mM F a =+= 答案：2.5m/s 2【练习2】如图所示，在光滑水平面上有一质量为m 1的足够长的木板，其上叠放一质量为m 2的木块．假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等．现给木块施加一随时间t 增大的水平力F ＝kt (k 是常数)，木板和木块加速度的大小分别为a 1和a 2.下列反映a 1和a 2变化的图线中正确的是（ ）解析：本题考察的是整体法隔离法和摩擦力，由上题的分析思路可表达出两者分别的加速度随时间的表达式。

答案：A【例2】如图所示，光滑的水平面上静置质量为M ＝8kg 的平板小车，在小车左端加一个由零逐渐增大的水平推力F ，一个大小不计、质量为m ＝2 kg 的小物块放在小车右端上面，小物块与小车间的动摩擦因数μ＝0.2，小车足够长．重力加速度g 取10 m/s 2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法中正确的是( )A ．当F 增加到4 N 时，m 相对M 开始运动B ．当F 增加到20 N 时，m 相对M 开始运动C ．当F ＝10 N 时，m 对M 有向左的2 N 的摩擦力D ．当F ＝10 N 时，m 对M 有向右的4 N 的摩擦力解析：分别对两物体做受力分析可知，m 有最大加速度，可知整体共同运动的最大加速度就为m 的最大加速度，根据整体法可得当F N 20 时，M 、m 相对静止，可得B 正确；当F ＝10 N 时，由整体法可求得加速度，由此可求得静摩擦力为2N 。

答案：BC【练习3】如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m 和2m 的四个木块，其中两个质量为m 的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是μmg .现用水平拉力F 拉其中一个质量为2m 的木块，使四个木块以同一加速度运动，则轻绳对m 的最大拉力为( )A ．53μmgB ．43μmgC ．23μmg D ．3μmg 解析：经过受力分析，A 、B 之间的静摩擦力给B 、C 、D 组成的系统提供加速度，加速度达到最大值的临界条件为A 、B 间达到最大静摩擦力，即a m1＝414=m mg μμg .C 、D 间的静摩擦力给D 提供加速度，同理D 的加速度最大值为a m2＝212=m mgμμg >a m1；因此，C 、D 系统的最大加速度为41μg ，而绳子拉力F T 给C 、D 组成的系统提供加速度，最大拉力为F T m ＝3ma m1＝41μmg ，B 选项正确. 答案：B【例3】如图所示，物体A 与斜面B 保持相对静止并一起沿水平面向右做匀加速运动，当加速度a 增大时，下列说法可能正确的是( )A ．B 对A 的弹力不变，B 对A 的摩擦力可能减小B ．B 对A 的弹力增大，B 对A 的摩擦力大小可能不变C ．B 对A 的弹力增大，B 对A 的摩擦力一定增大D ．B 对A 的弹力增大，B 对A 的摩擦力可能减小解析：本题考查牛顿第二定律的应用．物体和斜面保持相对静止，沿水平方向加速运动，则合力沿水平方向，竖直方向的合力为零，设斜面的倾角为θ，若开始静摩擦力的方向沿斜面向下，则F N sin θ＋F f cos θ＝ma ，F N cos θ＝F f sin θ＋mg .若N 增大，则F f 增大，因此此时，a 增大，F N 、F f 都在增大．同理，若开始时静摩擦力方向沿斜面向上，则F N sin θ－F f cos θ＝ma ，F N cos θ＋F f sin θ＝mg ，若F N 逐渐增大，则Ff 沿斜面向上先逐渐减小到零，再沿斜面向下逐渐增大，此时B 对A 的弹力增大，B 对A 的摩擦力大小可能减小，可能为零，可能不变，可能增大，因此B 、D 项正确．答案：BD【练习4】如图所示，质量为m ＝1 kg 的物块放在倾角为θ的斜面上，斜面体质量为M ＝2 kg ，斜面与物块间的动摩擦因数μ＝0.2，地面光滑，θ＝37°.现对斜面体施一水平推力F ，要使物块m 相对斜面静止，力F应为多大？(设物块与斜面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g 取10 m/s 2)解析：(1)设物块处于相对斜面向下滑的临界状态时，推力为F1，此时物块受力如图所示，取加速度a的方向为x轴正方向.对x轴方向：F N sin θ－μF N cos θ＝ma1对y轴方向：F N cos θ＋μF N sin θ－mg＝0对整体：F1＝(M＋m)a1把已知条件代入，解得a1＝4.78 m/s2，F1＝14.3 N(2)设物块处于相对斜面有向上滑的临界状态时，推力为F2，此时物块受力如右图所示.对x轴方向：F N sin θ＋μF N cos θ＝ma2对y轴方向：F N cos θ－μF N sin θ－mg＝0对整体：F2＝(M＋m)a2把已知条件代入，解得a2＝11.2 m/s2，F2＝33.6 N则力F范围：14.3 N≤F≤33.6 N【例4】如图所示，在光滑的水平面上放着紧靠在一起的A、B两物体，B的质量是A的2倍，B受到向右的恒力F B＝2 N，A受到的水平力F A＝(9－2t) N(t的单位是s)．从t＝0开始计时，则()A．A物体在3 s末时刻的加速度是初始时刻的511倍B．t＞4 s后，B物体做匀加速直线运动C．t＝4.5 s时，A物体的速度为零D．t＞4.5 s后，A、B的加速度方向相反解析：对于A 、B 整体根据牛顿第二定律有F A ＋F B ＝(m A ＋m B )a ，开始时合力为11 N,3秒末合力为5 N ，故A 正确．设A 、B 间的作用力为F N ，则对B 进行分析，由牛顿第二定律可得：F N ＋F B ＝m B a ，解得F N ＝m B F A ＋F B m A ＋m B－F B ＝16－4t 3 N ．当t ＝4 s 时，F N ＝0，A 、B 两物体开始分离，此后B 做匀加速直线运动，故B 正确；而A 做加速度逐渐减小的加速运动，当t ＝4.5 s 时，A 物体的加速度为零而速度不为零，故C 错误．t ＞4.5 s 后，A 所受合外力反向，即A 、B 的加速度方向相反，故D 正确．当t ＜4 s 时，A 、B 的加速度均为a ＝F A ＋F B m A ＋m B.综上所述，选项A 、B 、D 正确． 答案：ABD【练习5】一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都可以不计，盘内放一个物体P 处于静止。

P 的质量为12kg ，弹簧的劲度系数k =800N/m 。

现给P 施加一个竖直向上的力F ，使P 从静止开始向上做匀加速运动。

已知在前0.2s 内F 是变化的，在0.2s 以后F 是恒力，则F 的最小值是多少，最大值是多少？解析：根据题意，F 是变力的时间t ＝0.2s ，这段时间内的位移就是弹簧最初的压缩量s ，由此可以确定上升的加速度a ，ks mg = 121000.15800mg s m k ⨯=== 由 212s at = 求得加速度 222220.157.5/0.2s a m s t ⨯=== 根据牛顿第二定律，有：F mg kx ma -+=得：()F m g a kx =+-当x s =时，F 最小min ()()127.590F m g a ks m g a mg ma N =+-=+-==⨯=当0x =时，F 最大，max ()0()12(107.5)210F m g a k m g a N =+-⋅=+=⨯+=所以，拉力的最小值为90N ，最大值为210N 。

答案：拉力的最小值为90N ，最大值为210N 。

【例5】如图所示，一质量为0.2kg 的小球系着静止在光滑的倾角为53°的斜面上，斜面静止时，球紧靠在斜面上，绳与斜面平行，当斜面以10m/s 2加速度水平向右作匀加速直线运动时，求线对小球的拉力和斜面对小球的弹力。

（g=10m/s 2）解：设小球刚刚脱离斜面时，斜面向右的加速度为a 0，此时斜面对小球的支持力恰好为零，小球只受重力和细绳的拉力，且细绳仍然与斜面平行，小球受力如图所示，由牛顿第二定律得：mgcotθ=ma 0，解得临界加速度：a 0=gcotθ=7.5m/s 2．加速度a =10 m/s 2＞a 0，则小球已离开斜面，斜面的支持力F 1=0，此时小球受力如图所示：水平方向，由牛顿第二定律得：Tcosα=ma ，竖直方向，由平衡条件得：Tsinα=mg ，解得：T=22N=2.83 N ，方向沿着细绳向上，细绳与水平方向夹角α=45°，细绳的拉力方向为与水平方向成45°角向右上方．答：细绳的拉力大小为2.83N ，斜面对小球的弹力为零．【练习6】如图所示，矩形盒内用两根细线固定一个质量为m =1.0kg 的均匀小球，a 线与水平方向成53°角，b 线水平。

两根细线所能承受的最大拉力都是F m =15N 。

当该系统沿竖直方向匀加速上升时，为保证细线不被拉断，加速度可取的最大值是_____m/s 2；当该系统沿水平方向向右匀加速运动时，为保证细线不被拉断，加速度可取的最大值是_____m/s 2。

（取g =10m/s 2）解析：当该系统沿竖直方向匀加速上升时，a b T T ，a 线先达到最大拉力，a 线拉力的竖直分力为sin 53am T ，在竖直方向应用牛顿第二定律 1sin 53am m T mg ma -= 15am T N =解得 212/m a m s =当系统沿水平方向向右匀加速运动时，b 线先达到最大拉力，在水平方向应用牛顿第二定律 2mb ax m T T ma -= 其中 tan 53ax mg T =解得 227.5/m a m s = 答案：22/m s 27.5/m s课后作业1．如图所示，质量为m 1的足够长的木板静止在光滑水平面上，其上放一质量为m 2的木块．t ＝0时刻起，给木块施加一水平恒力F .分别用a 1、a 2和v 1、v 2表示木板、木块的加速度和速度大小，图中可能符合运动情况的是( )答案：AC解析：根据题意可知，有可能F 很大，也可能很小；有可能两者共同加速，也可能m 2在m 1上滑动，故答案AC2．如图所示，质量为4 kg 的物体A 静止在竖直的轻弹簧上面。