第七章 多元函数微分学一、内容分析与教学建议（一） 本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方 面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。

在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。

（二） 多元函数、极限、连续先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并引入多元函数极限，讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点0P P →方式的异同，可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则，运用连续性等。

在理解极限概念之基础上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。

（三） 偏导数与全微分1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的计算中，注意讲清分段函数分界点处的偏导数。

2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，并指出用定义判断),(y x f z =可微，即求极限[]ρyy x z x y x z z y x y x ∆+∆-∆→∆→∆),(),(lim 0是否为0。

3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。

（四） 复合函数求偏导1、可先证明简单情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形),(v u f z =，)(x u ϕ=，)(x v ϕ=从中让学生理解口诀的含义。

2、通过例题说明各种公式，具体方法及符号正确运用；3、通过教材中典型例题，细致讲解复合函数高阶偏导数的求法，这是个难点，并注意① 求导时，注意分析函数的各种关系；② 讲透符号1f '，12f ''等之涵义。

（五） 隐函数求偏导1、结合简单例子，讲解方程与函数之关系；2、对于0),(=y x F 确定的隐函数存在定理，讲清三个条件和三个结论，再拓广介绍其它两种常见情形，其偏导数公式的证明，可只证部分结论；3、用例题说明隐函数求偏导数之三种方法，公式法、复合函数法（直接法）、微分法，要让学生理解三种方法中各种变量之相互关系。

（六） 方向导数与梯度从偏导数的概念拓广到方向导数概念，并指出与偏导数之关系，其次可通过具体应用实例引入梯度之概念，可画图指出梯度与方向导数之关系，此外，顺便介绍等高线、梯度场、势场等知识加深对梯度概论的理解。

（七） 多元函数微分学应用 1、几何应用：（a ） 通过割线及到切线概念，从而得到切线方程；（b ） 曲面∑上任一点M 处的任何曲线，若M 处切线均在一个平面上，从而引入切平面与法线概念，并导出切平面与法线方程，举例说明它们的应用；（c ） 可让学生复习有关空间解析几何直线与平面有关内容。

2、极值① 与一元函数类比，讲述二元函数极值的必要和充分条件； ② 求极值问题一般分为两种情况：a 无条件条件; b 条件极值。

从无条件极值到条件极值，自然地引入到“拉格朗日乘数法”，讲解时注意此方法的基本思想、方法及步骤，另外还可优化结合起来讲解。

二、补充例题例1.设),(y x f u =，()0,,2=z e x yϕ，x y sin =，其中ϕ都具有一阶连续偏导数，且0≠∂∂z ϕ，求dxdu. 解： 分别求偏导数得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==⋅'+⋅'+⋅'++=)3(cos )2(02)1(321x dx dydx dz dx dy e x dx dz f dx dy f f dx dyy z y x ϕϕϕ (3)代入（2）3231cos 2ϕϕϕϕ''⋅-''-=y e x x dx dy(3)代入（1）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''⋅-''-++=3231cos 2cos ϕϕϕϕy y y x e x x f x f f dx dy ()2sin 13cos 2cos ϕϕϕ'+''-+=x e x f x f f x zy x 例2.设),(y x z 是由方程0),(=-yz x y f ，确定的隐函数，其中f 有二阶连续偏导数，求22xz∂∂. 解： 方程两边对x 求偏导0)1(21=∂∂⋅'+-'xzyf f ，21f y f x z ''=∂∂ ()22222112121122)1()1(f y x z y f y f y f f y x z y f f x z '⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅''+-''⋅'-'⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅''+-''=∂∂代入上式并整理得：()()()3222213211122222f y f f f f f f f x z ''''-'''+'''-=∂∂ 例3.设直线L ： ⎩⎨⎧=--+=++030y ay x b y x 在平面π上，而平面π与曲面22y x z +=相切于点)5.2,1(-，求a ，b 的值.解： 在点)5.2,1(-处曲面法向量]1.4,2[--=，于是切平面方程为： 0)5()2(4)1(2=--+--z y x即 0542=---z y x由L ： ⎩⎨⎧--+-=--=⇒⎩⎨⎧=--+=++)(3030b x a x z bx y y ay x b y x 053442≡-+++-++∴ab ax x b x x 因而有： 05=+a 024=-+ab b 5-=a 2-=b例4.已知椭球面2222a yz xy z y x =++++，)0(>a ，①求椭球面上z 坐标为最大与最小点；②求椭球面的xOy 面上投影区域的边界曲线.解： 由于椭球面是一封闭曲面，因此椭球面上z 坐标最大与最小点一定存在，且此二点处z 值就是椭球面方程所确定隐函数),(y x z z =的最大值与最小值. 椭球面方程两边分别对x 及y 求偏导：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+∂∂++∂∂+=∂∂++∂∂+022022z y z y x y z z y x z y y x z z x 令0=∂∂xz，0=∂∂y z ， ⎩⎨⎧=++=+0202z x y y x 解得：x y 2-=，x z 3=，代入椭球的方程得到ba x ±=故得两点 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-b a b a b a P 3,2,1，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--b a b a b a P 3,2,2由于椭球面确定存在z 坐标最大与最小的点，因此点1P 与2P 为所求.② 设S 是椭球面对于xOy 面投影柱面S 与椭球面切于曲线C ，则C 在上，两曲面的法向量相同都为[]y z z x y y x n ++++=2,2,2由⊥，0=⋅，即 02=+y z因此曲线C 满足 ⎩⎨⎧=+=++++02222y yz a yz xy z y x消去z 即S 的方程 22243a xy y x =++故投影区域的边界曲线为：⎪⎩⎪⎨⎧==++043222z axy y x 例5.设生产某种产品必须投入两种要素1x 和2x 分别为两要素的投入量，Q 为产出量，若生产函数为βα212x x Q =，其中α，β为正常数1=+βα，假设两种要素的价格分别为1p ，2p ，试问：当产出量为12时，两要素各投入多少要可以使得投入总费用最小？解： 需要在产出量12221=βαx x 的条件下，求总费用2211x p x p +的最小值，为此作拉格朗日函数 )212()(21221121βαλx x x p x p x x F -++=，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-='=-='--)3(122)2(02)1(02212122111121βββαααλβλαx x x x p F x x p F x x 由（1），（2）得：2121x x p p αβ=故2121x p p x βα=，代入（3），ααβ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2126p p x 因此 ββα⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1216p p x由于此实际问题存在最小值，且驻点唯一，故当ββα⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1216p p x ，ααβ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2126p p x 时，投入总费用最少.例6.设⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y xy f x z ,3，其中f 具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2，22y z ∂∂.解：2214f x f x yz'+'=∂∂ 22y z ∂∂⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+''+⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+''=222121211411f x f x x f x f x x 221231152f x f x f x ''+''+''=yx z∂∂∂22124f x f x '+'=22114f y f x ''-''+ 例7.设)(x y y =，)(x z z =是由方程)(y x xf z +=和0),,(=z y x F 所确定的函数，其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求dxdz . 解： 分别在方程的两边对x 求导得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧='+'+''⎪⎭⎫ ⎝⎛++=01dx dz F dx dy F F f dx dy x f dx dz y y x 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-='+''+=+'-x y y F dx dz F dxdy F f x f dxdzdx dy f ，zy x y F f x F F f x F f x f dx dz ''+'''-''+=)( 例8 求下列极限① 221)ln(limyx e x y y x ++→→ ② 11lim0-+++→→y x y x y x③ yx x y x x +→∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+211lim 0 ④ 222lim x y x y x xy ⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+∞→ 解： ① 原式2ln lim )ln(lim 220101=++=→→→→yx e x y x y y x②令t y x =+，当0→x ，00→⇒→t y 原式()211lim 11lim=++=-+=→→t t t t t③原式e x yx x x y x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+→∞→211lim 0④+∞→x ，+∞→y ，不妨设0>x ，0>y ，则21022≤+<yx xy 得：2221022x x yx xy⎪⎭⎫⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+<，由于+∞→x lim0212=⎪⎭⎫⎝⎛x所以原式0=例9 设ϕ，ψ都是有连续的二阶偏导数[]⎰+-+-++=axy axy dt t a ax y ax y z )(21)()(21ψϕϕ试求：22222yz a x z ∂∂-∂∂. 解：[][])()(21)()(2ax y ax y ax y ax y a x z -+++-'-+'=∂∂ψψϕϕ =∂∂22xz [][])()(2)()(22ax y ax y a ax y ax y a -'-+'+-''++''ψψϕϕ[][])()(21)()(21ax y ax y aax y ax y y z --++-'+'=∂∂ψψϕϕ =∂∂22yz [][])()(21)()(21ax y ax y a ax y ax y -'-+'+-''++''ψψϕϕ 022222=∂∂-∂∂yz a x z 例10 设函数),(y x f z =在点)1,1(处可微，且1)1,1(=f ，2)1,1(=∂∂xf，3)1,1(=∂∂yf ，)),(,()(x x f x f x =ϕ，求13)(=x x dxd ϕ.解： 1)1,1())1,1(,1()1(===f f f ϕ1213)()(3)(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x x dx x d x x dxd ϕϕϕ[]121212)),(),())(,(,()),(,()(3='+''+'=x x x f x x f x x f x f x x f x f x ϕ++⋅⋅=3=1)]32(32[51三、补充练习1、证明2222200)(lim y x y x y x y x -+→→不存在.2、设vue z =而22y x u +=，xy y x v 22+=求x z ∂∂，yz∂∂及dz .⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=+-=∂∂+-=∂∂++dyy z dx x z dz e xy xy x y yz e yx y x y x x z xyy x xyyx 22222244224422 3、设⎪⎭⎫⎝⎛⋅=xy x y f x z 2，其中f 是具有二阶连续偏导数，求y x z ∂∂∂2.⎪⎭⎫ ⎝⎛''+''-'+'223112213f y x f x y f x f 4、设()22y x f z -=，其中f 是具有二阶连续偏导数，求22xz∂∂.()()()2222242y x f x y xf -''+-'5、设0=-xyz e z，求yx z∂∂∂2.()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--31z xy z 6、设v e x ucos =，v e y u sin =，uv z =求x z ∂∂和yz∂∂. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂-=∂∂--)cos sin (),sin cos (v u v v e y z v u v v e x z u u 7、求曲面932222=++z y x 上平行于平面01232=++-z y x 的切平面方程.)09232(=++-z y x8、考察函数xy y x f =),(在点)0,0(处是否连续？偏导数是否存在？是否可微？（连续，0)0,0(=x f ，0)0,0(=y f ，不可微）9、求函数22324y xy x x z -+-=的极值.()0,0(极大值点0)0,0(=f )10、求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛===高宽长32a。