第八章 多元函数微积分习题一一、填空题1. 设223),(y x yx y x f +-=，则.________)2,1(_______,)1,2(=-=-f f2. 已知12),(22++=y x y x f ，则._________________)2,(=x x f 二、求下列函数的定义域并作出定义域的图形1.x y z -=2. y x z -+-=113. 224y x z --=4. xy z 2log =习题二一、是非题1. 设y x z ln 2+=，则yx x z 12+=∂∂ （ ） 2. 若函数),(y x f z =在),(00y x P 处的两个偏导数),(00y x f x 与),(00y x f y 均存在，则该函数在P 点处一定连续 （ ） 3. 函数),(y x f z =在),(00y x P 处一定有),(00y x f xy ),(00y x f yx = （ ）4. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xy y x f 在点)0,0(处有0)0,0(=x f 及0)0,0(=y f （ ）5. 函数22y x z +=在点)0,0(处连续，但该函数在点)0,0(处的两个偏导数)0,0(x z )0,0(,y z 均不存在。

（ ）二、填空题1. 设2ln y x z =，则_;___________;__________12=∂∂=∂∂==y x yzx z2. 设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数),(b a f x 和),(b a f y 均存在，则._________)2,(),(lim=--+→hh b a f b h a f h三、求下列函数的偏导数：1. ;133+-=x y y x z 2. ;)sin(22yex xy xy z ++=3. ;)1(yxy z += 4. ;tanln yx z = 5. 222zx yz xy u ++=四、求下列函数的,22x z ∂∂22y z∂∂和yx z ∂∂∂2：1. ;23423+++=y y x x z 2. yx z arctan = 五、计算下列各题1. 设),2(),(sin y x ey x f x+=-求);1,0(),1,0(y x f f2. 设)ln(),(y x x y x f +=，求,2122==∂∂y x xz,2122==∂∂y x yz .212==∂∂∂y x yx z六、设)ln(3131y x z +=，证明：.31=∂∂+∂∂y z y x z x习题三一、填空题1．xye y x z +=2在点),(y x 处的._______________=dz 2．22yx x z +=在点)1,0(处的._______________=dz3．设),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量为z ∆，全微分为dz ，则),(y x f 在点),(00y x 处的全增量与全微分的关系式是__________________. 二、选择题1．在点P 处函数),(y x f 的全微分df 存在的充分条件为（ ） A 、f 的全部二阶偏导数均存在 B 、f 连续C 、f 的全部一阶偏导数均连续D 、f 连续且y x f f ,均存在2．使得f df ∆=的函数f 为（ ）A 、),,(为常数c b a c by ax ++B 、)sin(xyC 、yx e e + D 、22y x +三、设y x z 2=，当2.0,1.0=∆=∆y x 时，在)2,1(点处，求z ∆和dz 。

四、求下列函数的全微分1．13222++-=y xy x z 2．;sinxy z = 3．);1,1(),23ln(),(df y x y x f -= 4．)3,1,2(,),,(df x z y x f yz=习题四一、填空题1. ,4,3),(3t y t x y x arc z ==-=则_;__________=dtdz2. ,sin ,cos ,22y x v y x u uv v u z ==-=则_________;_________,=∂∂=∂∂yzx z 3. 设vw u w v u f z +==2),,(，而;__________,,,2===+=dz xy w x v y x u 4. 设),,(22xye y xf z -=，则_________;_________,=∂∂=∂∂yzx z 5. 设_________;_________,,1022===+=x dxdydx dy y x6. 设0sin 2=-+xy e y x，则.__________=dxdy二、设x y z =，则tt e y e x 21,-==，求.dtdz三、设y x v y x u v u z 23,,ln 2-===，求.,yzx z ∂∂∂∂ 四、求方程y z z x ln =确定的隐函数),(y x z z =的偏导数.,yzx z ∂∂∂∂ 五、设),(22y x xy f z =，求.xz∂∂ 六、设)(22z x yf z x -=+，其中f 可微。

证明：.x yz y x z z=∂∂+∂∂ 习题五一、是非题1. 由极值的定义知函数224y x z +=在点)0,0(M 处取得极小值； （ ） 2. 函数y x z 2=在点)0,0(处取得极小值零； （ ） 3. 二元函数的驻点必为极值点；（ ） 4. 二元函数的最大值不一定是该函数的极大值。

（ ）二、填空题1. 设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-取得极值，则常数_____;=a 2. 函数1),(22+-+++=y x y xy x y x f 在________点取得极____值为________。

三、求)2(),(22y y x e y x f x++=的极值。

四、已知,),(xy y x f =1. 求),(y x f 在适合附加条件1=+y x 下的极值；2. 求),(y x f 在闭区域1,0,0≤+≥≥y x y x 上的最大值和最小值。

五、要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小。

六*、设商品A 的需求量为1x ，价格为1P ，需求函数为115120P x -=；商品B 的需求量为2x ，价格为2P ，需求函数为 223120P x -=，生产A 、B 两种商品的总成本函数2221214x x x x C ++=，问两种商品各生产多少时，才能获得最大利润？最大利润是多少？答案习题一 一、1. 1,57-; 2.y x xy 22-+. 二、1.}),{(x y y x ≥ 2.}1,1),{(≤≤y x y x 3.}4),{(22≤+y x y x 4.}0),{(>xy y x 习题二一、1.非； 2. 非； 3. 非； 4.是； 5.是。

二、1.21,2ln 2;xy- 2.(,)2(,)x y f a b f a b +。

三、1. 23323,3x y z x y y z x y x =-=-;2. 222()[2cos()]2[2sin()],()y x y x e y y xy x xy xy z x e ++-+=+ 222()[2cos()][2sin()];()y yy y x e x x xy xy xy e z x e ++-+=+3. 21(1),(1)[ln(1)];1y y x y xyz y xy z xy xy xy-=+=++++ 4. 22222csc ,csc ;x y x x x z z y y y y==-5. 2222,2,2x y z u y xz u xy z u yz x =+=+=+.四、1.2266,z x y x ∂=+∂ 22212,z y y ∂=∂26;z x x y ∂=∂∂ 2. 222222,()z xy x x y ∂=∂+222222,()z xy y x y ∂=-∂+222222()z y x x y x y ∂-=∂∂+. 五、1. 1-,2; 2. 512,,999-。

习题三一、1.2(2)();xyxyxy ye dx x xe dy +++ 2.;dx3.(),z dz ορρ∆=+= 二、1. C 2. A 。

三、0.662;0.6f df ∆==。

四、1. (43)(32);dz x y dx x y dy =-+-+ 2. 11cos ();y dz dx dy x x x=--+ 3. 32;dx dy - 4. 1224ln 28ln 2dx dy dz ++。

习题四一、1. 23(14)/t - 2.23sin cos (cos sin ),zx y y y y x∂=-∂ 33332sin cos (sin cos )(sin cos );zx y y y y x y y y∂=-+++∂ 3. 12122,2;xy xy xf ye f yf xe f ''''+-+ 4. 23[2()3][2()];dz x y x y dx x y x dy =+++++5. ,0;xy- 6. 2cos 2x y e y xy --.二、tte e ---。

三、22223ln(32),(32)z x x x y x y y x y ∂=-+∂-2222(1)(32)z x xy y x y y∂=-+∂-。

四、,z zx x z∂=∂+2.()z z y y x z ∂=∂+ 五、212,2zy f xyf x∂''=+∂。

习题五一、1.是； 2. 非； 3. 非； 4.是。

二、1. 5;- 2. (1,1),0-小,. 三、极小值1(,1)22e f -=-。

四、1.极大值111(,);224f = 2.最大值111(,),224f =最小值(0,0),(0,1),(1,0)0f f f =。

时，表面积最小。

六、A 为7，B 为4时，可获最大利润470。