按角变化，将分解成二个分量：
对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷
所以
。
9.9如图9.5所示，一电荷线密度为的无限长带电直导线垂直纸面通过A点；附近有一电量为的均匀带电球体，其球心位于O点。是边长为的等边三角形。已知处场强方向垂直于，求:和间的关系。
解：如图建立坐标系。根据题意可知
。
9.10如题图9.6所示，一电荷面密度为的“无限大”平面，在距离平面a处的一点的场强大小的一半是由平面上的一个半径为的圆面积范围内的电荷所产生的．试求该圆半径的大小．
(A) A＜0 ,且为有限常量．(B) A＞0 ,且为有限常量．
(C) A＝∞．(D) A＝0．［D，］
9.5静电场中某点电势的数值等于
(A)试验电荷q0置于该点时具有的电势能．
(B)单位试验电荷置于该点时具有的电势能．
(C)单位正电荷置于该点时具有的电势能．
(D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功．［C］
(2)在球体内点处的电场强度。设、、三点在同一直径上，且。
解：挖去电荷体密度为的小球，以形成球腔时的求电场问题，可在不挖时求出电场，而另在挖去处放上电荷体密度为的同样大小的球体，求出电场，并令任意点的场强为此二者的矢量叠加，即：。
在图(a)中，以O点为球心，d为半径作球面为高斯面S，则可求出O与P处场强的大小。
得：
方向分别如图所示。
在图(b)中，以点为小球体的球心，可知在点.又以为心，为半径作球面为高斯面可求得P点场强。
，
(1)求点的场强。由图(a)、(b)可得
，方向如图()、(b)可得
方向如(d)图所示.
9.16如题图9.12所示，两个点电荷＋q和－3q，相距为d.试求：
解：电荷面密度为的无限大均匀带电平面在任意点的场强大小为：。以图中O点为圆心，取半径为的环形面积，其电量为。它在距离平面为a的一点处产生的场强
则半径为的圆面积内的电荷在该点的场强为
由题意，，得到
，
。
9.11如题图9.7所示，一均匀带电直导线长为，电荷线密度为。过导线中点作一半径为[ ]的球面，为带电直导线的延长线与球面的交点。求：
(1)在它们的连线上电场强度的点与电荷为＋q的点电荷相距多远？
(2)若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势的点与电荷为＋q的点电荷相距多远？
解：设点电荷q所在处为坐标原点O，x轴沿两点电荷的连线．
(1)设的点的坐标为，则
解出：
另有一解不符合题意，舍去．
(2)设坐标x处，则
得：
9.17一均匀静电场，电场强度，空间有两点和，（以米计）。求两点之间的电势差。
解：空间某点的位矢表示为，则
9.18题图9.13所示，为一沿x轴放置的长度为l的不均匀带电细棒，其电荷线密度为，为一常量．取无穷远处为电势零点，求坐标原点O处的电势．
习题九
一、选择题
9.1关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：
(A)如果高斯面上处处为零，则该面内必无电荷．
(B)如果高斯面内无电荷，则高斯面上处处为零．
(C)如果高斯面上处处不为零，则高斯面内必有电荷．
(D)如果高斯面内有净电荷，则通过高斯面的电场强度通量必不为零．
［A(本章中不涉及导体)、D］
9.2有一边长为a的正方形平面，在其中垂线上距中心O点a/2处，有一电荷为q的正点电荷，如图所示，则通过该平面的电场强度通量为
(A)．(B) (C)．(D)
［D］
9.3面积为S的空气平行板电容器，极板上分别带电量，若不考虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为
(A) (B) (C) (D)
[B ]
9.4如题图9.2所示，直线长为，弧是以点为中心，为半径的半圆弧，点有正电荷，点有负电荷．今将一试验电荷从点出发沿路径移到无穷远处，设无穷远处电势为零，则电场力作功
9.6已知某电场的电场线分布情况如题图9.3所示．现观察到一负电荷从M点移到N点．有人根据这个图作出下列几点结论，其中哪点是正确的？
(A)电场强度．(B)电势．
(C)电势能．(D)电场力的功A＞0．
［C］
二、计算题
9.7电荷为和的两个点电荷分别置于和处．一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零？x
解：设试验电荷置于x处所受合力为零，根据电力叠加原理可得
即：
。
因点处于q、－2q两点电荷之间，该处场强不可能为零．故舍去．得
9.8一个细玻璃棒被弯成半径为的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷，沿其下半部分均匀分布有电荷，如题图9.4所示．试求圆心处的电场强度．
解：把所有电荷都当作正电荷处理.在处取微小电荷，它在处产生场强
（1）、通过该球面的电场强度通量。
（2）、处电场强度的大小和方向。
解：（1）利用静电场的高斯定理即可得：。
（2）如图建立一维坐标系，坐标原点与圆心重合。在带电导线上坐标为处取长度为的带电元，其所带电荷量为，在点产生的电场强度为
点的电场强度为
9.12题图9.8中，虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为：，,。高斯面边长a＝0.1 m，常量b＝1000 N/(C•m)．试求该闭合面中包含的净电荷．(真空介电常数＝8.85×10-12 C2•N-1•m-2 )
解：设闭合面内包含净电荷为Q．因场强只有x分量不为零，故只是二个垂直于x轴的平面上电场强度通量不为零．由高斯定理得：
则
9.13体图9.9所示，有一带电球壳，内、外半径分别为、，电荷体密度为，在球心处有一点电荷。证明：当时，球壳区域内电场强度的大小与半径无关。
证：用高斯定理求球壳内场强：,
而
要使的大小与无关，则应有：
，即。
9.14如题图9.10所示，一厚为的“无限大”带电平板，其电荷体密度分布为( )，式中为一正的常量．求：
(1)平板外两侧任一点和处的电场强度大小；
(2)平板内任一点处的电场强度；
(3)场强为零的点在何处？
解：(1)由对称分析知，平板外两侧场强大小处处相等、方向垂直于平面且背离平面．设场强大小为．作一柱形高斯面垂直于平面．其底面大小为S，如图所示．
按高斯定理，即：
得到：
，(板外两侧)
(2)过点垂直平板作一柱形高斯面，底面为S．设该处场强为，如图所示．按高斯定理有：
得到：( )
(3)，必须是，可得。
9.15一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷，若保持电荷分布不变，在该球体挖去半径为的一个小球体，球心为，两球心间距离，如题图9.11所示。求：
(1)在球形空腔内，球心处的电场强度；