试根据这些数据进行合金钢的强度y(单位：107Pa)
9.2.1 一元线性回归分析 为了研究这些数据中所蕴含的规律性，首先在
Excel中由12对数据作出散点图，如图9.7所示．
从图看到，数据点大致落在一条直线附近，这告诉我
们变量x和y之间大致可看作线性关系．从图中还看 到，这些点又不完全在一条直线上，这表明x和y的 关系并没有确切到给定x就可以唯一确定y的程度．
经验回归方程也简称yˆ0为回ˆ0归ˆ方1x0程，其图形称为回 归直线．
当给定x = x0时，称
为拟合值（预
9.2.1 一元线性回归分析
那么，如何利用n组独立观察数据来估计0和1呢？
一般常用最小二乘估计法和最大似然估计法
下面只介绍0和1的最小二乘估计法．
9.2.1 一元线性回归分析
1．参数0和1的最小二乘估计
9.2.1 一元线性回归分析
事实上，还有许多其它随机因素对y产生影响．
如果只研究x和y的关系，可以考虑建立一元线性
回归模型：
y01x, ~N（0，2）
(9.1)
其中ε是除含碳量x外其它诸多随机因素对合金钢强
度y的综合影响，假定它是零均值的正态随机变量．
9.2.1 一元线性回归分析
y01x, ~N（0，2）
和 ˆ1 为0和1的最小二乘估计．
9.2.1 一元线性回归分析
1．参数0和1的最小二乘估计
通常可采用微积分中求极值的办法，求出使
n
Q (0,1) [yi(01xi)2] i1
达到最小的 ˆ 0 和ˆ1 ．即解方程：
Q Q
( 0 ,
0 ( 0 ,
1) 1)
0 , 0
1
n
回归分析；f是线性函数时，称线性回归分析，所建 回归模型称为线性回归模型；f是非线性函数时，称
非线性回归分析，所建回归模型称为非线性回归模 型．
9.2 回归分析
线性回归模型的一般形式为：
y 0 1 x 1 2 x 2 . .. k x k
其中，0和i（i = 1，2，…，k）是未知常数，称 为回归系数，实际中常假定 ～N(0，2)．
设对模型(9.1)中的变量x，y进行了n次独立观察， 得样本(xi，yi) (i = 1，2，…，n)．由(9.3)式知随 机误差i = yi – (0 + 1xi)．
最小二乘法的思想是：由xi，yi估计0，1时，使
误差平方和
n
Q (0,1) [yi(01xi)2] i1
达到最小的 ˆ 0 和ˆ1 ，分别作为0，1的估计，并称ˆ 0
第9章 相关分析与一元回归分析
9.2 回归分析
回归分析是针对两个或两个以上具有相关关系 的变量，研究它们的数量伴随关系，并通过一定的数 学表达式将这种关系描述出来，建立回归模型．
回归分析中总假设因变量是随机变量，自变量可 以是随机变量也可以是一般变量（可以控制或精确测 量的变量）
我们只讨论自变量为一般变量的情况． 为简单起见，以后的所有随机变量及其观测值均 用小写字母表示．
9.2 回归分析
如果设随机变量y是因变量，x1，x2，…，xn是 影响y的自变量，回归模型的一般形式为：
y ε 其中ε为均值为 0的正态随机变量，它表示除x1， x2，…，xn之外的随机因素对y的影响．
在回归分析中，当只有一个自变量时，称为一元 回归分析；当自变量有两个或两个以上时，称为多元
9.2.1 一元线性回归分析
要建立一元线性回归模型，首先利用n组独立观
测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)来估计0
和1，以估ˆ 0 计值ˆ1 和 分别代替(9.2)式中的0和1，
得到
yˆˆ0ˆ1x
(9.5)
由于此方程的建立有赖于通过观察或试验积累的数据， 所以称其为经验回归方程（或经验公式）
一元线性回归模型的一般形式为：
y01x, ~N（0，2）
由 ～N(0，2)的假定，容易推出y ～N(0 + 1x,
2)
9.2 回归分析
本章主要讨论一元线性回归分析和可化为线性回 归的一元非线性回归分析．
它们是反映两个变量之间关系的简单模型，但从 中可以了解到回归分析的基本思想、方法和应用．
9.2 回归分析
9.2.1 一元线性回归分析
我们用一个例子来说明如何进行一元线性回归分 析
为了研究合金钢的强度和合金中含碳量的关系， 序号专业1人员2收集3 了142组5数据6 如表7 9.18 所示9 ． 10 11 12
含 碳 量 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.20 0.21 0.23 x(%) 合 金 钢 42.0 43.0 45.0 45.0 45.0 47.5 49.0 53.0 50.0 55.0 55.0 60.0 的强度 y(107Pa)
由(9.1)式，不难算得y的数学期望:
(9.1)
E(y)01x
(9.2)
该式表示当x已知时，可以精确地算出E(y)．称方程 (9.2)为y关于x的回归方程．
现对变量x, y进行了n次独立观察，得样本(xi，yi) (i = 1，2，…，ny)i．据0(91.x 1i)式i，此样本可由方程
(9.3)
9.2.1 一元线性回归分析
由于各次观测独立，εi看作是相互独立与ε同分布的
随机变量．即有
yi = 0 + 1xi + i，i相互独立，且
i ～N(0，2)， i = 1，2，…，n
(9.4)
(9.4)给出了样本(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)
的概率性质．它是对理论模型进行统计推断的依据，
也常称(9.4)式为一元线性回归模型．
称(9.6)或(9.7)为正则方程．
(9.6) (9.7)
9.2.1 一元线性回归分析
1．参数0和1的最小二乘估计
解正则方程得 (9.8)
ˆ0
y
n
ˆ1 x
ˆ1
( xi x)( yi
i 1
n
( xi x)2
i 1 n
yi
0 1xi
0
或
i1
yi
0
1 xi
xi
0
(9.6)
9.2.1 一元线性回归分析
1．参数0和1的最小二乘估计
即解方程：
n
i 1 n
yi
0 1xi
0
i1
yi
0 1xi
xi 0
或
n
n
n0 1 xi yi
i1
i1
n
n
n
0 i1 xi 1 i1 xi2 i1 yi xi