第十七章 反比例函数
第1节 反比例函数 本节内容：
1、 反比例函数定义 反比例函数定义的应用（重点）
函数：在某变化过程中有两个变量x ，y.若给定其中一个变量x 的值，y 都有唯一确定的值与它对应,则称y 是x 的函数. 1、反比例函数的定义
一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成x
k
y =
k (为常数，)0≠k 的形式，那么称y 是x 的反比例函数。

其中x 是自变量，y 是函数.自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数。

注：
（1）x k
y =
也可以写成1-=kx y 或k xy =的形式； （2）x
k
y =若是反比例函数，则x 、y 、k 均不为零；
（3）k xy =)0(>k 通常表示以原点及点()y x ,为对角线顶点的矩形的面积； （4）因变量y 的取值范围是y≠0的一切实数。

■例1：下列函数中是反比例关系的有 （填序号）。

①3x y -= ②131+=x y ③x y 2-= ④2211x y -= ⑤x y 23
-=
⑥21=xy ⑦28x y = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x k
y =k (为常数，)0≠k
■例2：当m 取什么值时，函数是反比例函数？
2、 反比例函数定义的应用（重点）
确定解析式的方法仍是 待定系数法 ，由于在反比例函数x
k
y =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值，即可求出k 的值，从而确定其解析式。

■例3由欧姆定律可知，电压不变时，电流强度I 与电阻R 成反比例，已知电压不变，电阻R=12.5欧姆，电流强度I=0.2安培。

（1） 求I 与R 的函数关系式； （2） 当R=5欧姆时，求电流强度。

■例4：已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时，y ＝4；当x ＝2时，y ＝5
（3） 求y 与x 的函数关系式 （4） 当x ＝－2时，求函数y 的值
第2节 反比例函数的图象与性质
本节内容：
反比例函数的图象及其画法 反比例函数的性质（重点）
反比例函数x
k
y =
)0(≠k 中的比例系数k 的几何意义
（难点） 反比例函数与正比例函数图象的交点 1、 反比例函数的图象及其画法 反比例函数图象的画法——描点法：
（1） 列表——自变量取值应以0（但(x≠0)为中心，向两边取三对（或三对以上）互为相反数的数，
再求出对应的y 的值；
（2） 描点——先描出一侧，另一侧可根据中心对称点的性质去找；
（3） 连线——按照从左到右的顺序连接各点并延伸，注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有
逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交。

注：(1)画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是x≠0，因此不能把两个分支连接起来；
(2) 由于在反比例函数中，x 和y 的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x 轴和y 轴的变化趋势。

反比例函数x
k
y =的图象是由两支曲线组成的。

当0>k 时，x 、y 同号，两支曲线分别位于第一、
三象限内，当0<k 时，x 、y 异号，两支曲线分别位于第二、四象限内。

注：（1）这两支曲线通常称为双曲线。

（2）这两支曲线关于原点对称。

（3）反比例函数的图象与x 轴、y 轴没有公共点。

■例1：画出反比例函数x
y 6
=与x y 6-=的图象。

解：（1）列表：
（2）描点： （3）连线。

2、 反比例函数的图像与性质 反比例函数 x
k
y =
)0(≠k k 的符号
k >0
k<0
图象 （双曲线）
x 、y 取值范围 x 的取值范围x≠0 y 的取值范围y≠0 x 的取值范围x ≠0 y 的取值范围y ≠0 位置
第一,三象限内
第二,四象限内
增减性 每一象限内，y 随x 的增大而减小 每一象限内，y 随x 的增大而增大
渐近性
反比例函数的图象无限接近于x 、y 轴，但永远达不到x 、y 轴，画图象时,，要体现出这个特点.
对称性
若点(m,n)在反比例函数
x k
y =
的图象上，则点（-m,-n ）也在此图象上反比例函数的图
象是关于原点成中心对称的图形； 反比例函数的图象也是轴对称图形.
■例2 ：已知 2(1)m y m x -=+是反比例函数，则函数的图象在 （ ） A 、一、三象限 B 、二、四象限 C 、一、四象限 D 、三、四象限
■例3 ：函数2y kx =-与k
y x
=（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
■例4 已知反比例函数x
k
y =
的图象经过点P(-l ，2)，则这个函数的图象位于 A ．第二、三象限 B ．第一、三象限 C ．第三、四象限 D ．第二、四象限
3、反比例函数x
k
y =)0(≠k 中的比例系数k 的几何意义（难点）
k 的几何含义：
反比例函数y ＝k
x
(k≠0)中比例系数k 的几何意义，即过双曲线y ＝k
x
(k≠0)上任意一点P 作x 轴、y 轴垂线，设垂足分别为A 、B ，则所
得矩形OAPB 的面积为 .
■例5：A 、B 是函数2
y x
=的图象上关于原点对称的任意
两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S ，则（ ） A ． 2S = B ． 4S = C ．24S << D ．4S >
■例6如图A 在反比例函数(0)k
y k x
=≠的图象上，
AM x ⊥轴于点M ，AMO △的面积为3，则k =
4反比例函数与正比例函数图象的交点——凡是交点问题就联立方程
■例7：如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m
y x
=的图象交于
(21)(1)A B n -，，，两点．
（1）试确定上述反比例函数和一次函数的表达式； （2）求AOB △的面积．
O
y
x
B
A
O
B
x
y
C A 图1
第3节 反比例函数的应用
本节内容：运用函数的图象和性质解答实际问题
注：列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围
■例1 ：面积一定的梯形，其上底长是下底长的2
1
，设下底长x =10 cm 时，高y =6 cm
(1)求y 与x 的函数关系式； (2)求当y =5 cm 时，下底长多少？
■例2：一定质量的二氧化碳，当它的体积V=6 m 3时，它的密度ρ=1.65 kg/m 3.
(1)求ρ与V 的函数关系式.
(2)当气体体积是1 m 3时，密度是多少？ (3)当密度为1.98 kg/m 3时，气体的体积是多少？
■例3：如图，Rt△AOB 的顶点A 是一次函数y =－x +m +3的图象与反比例函
数y =x
m
的图象在第二象限的交点，且S △AOB =1，求点A 的坐标.
■例4：某厂要制造能装250mL(1mL=1 cm 3)饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部厚度都是0.02 cm ，顶部厚度是底部厚度的3倍，这是为了防止“砰”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来，设一个底面半径是x cm 的易拉罐用铝量是y cm 3.
用铝量=底面积×底部厚度+顶部面积×顶部厚度+侧面积×侧壁厚度，求y 与x 间的函数关系式.。