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常见的统计学与 概率知识
1.4 常用的统计学与概率知识
1.4.1随机变量
1.随机变量的含义 随机变量是一个随机结果的数值概括,可以分为离散型随机变量 和连续型随机变量。 2.随机变量的概率分布 随机变量所有可能取值为 的概率就是的概率分布。对于离散型 变量，其概率分布为：
P( X xi ) pi (i 1, 2,3, )
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金融数据的主要类型、 特点和来源
1.2.1 金融数据的主要类型 金融问题的分析中，主要有三类数据可供使用，时间序列数据、 截面数据、面板数据。 时间序列数据(time series data)是指一个实体在不同的时期内的 观测数据。如中国各年的通货膨胀率，一家公司当年每个季度的营 业额，每天的股票价格等。 截面数据(cross-sectional data )是指多个实体在一个时期内的 观测数据。例如亚洲各个国家2015年的人均GDP收入，某一时点上 深圳交易所所有股票的收益率，又如中国各个省份2015年一年税收 情况等。 面板数据( panel data) 是指时间序列数据和截面数据相结合的数 据，即多个实体在多个时期内的观测数据。例如中国国内所有银行 过去3年的贷款数据、所有蓝筹股2010年到2015年每日收盘价等。
E(a bx) a bE( x)
2)随机变量的方差和标准差 方差：刻画随机变量的偏离期望的程度 ，即刻画随机变量X的波 动程度
Var ( X ) =
[ xi E ( X )]2 pi i 2 ( X ) [ x E ( X )]2 f ( x)dx X 是离散型随机变量 X 是连续型随机变量
p

1)随机变量的期望
离散型随机变量期望定义为：
n
E ( X ) xi pi
pi 其中，xi 是随机变量 X 所有可能取值，
连续型随机变量期望定义为：
i 1
为 i 发生的概率。
x
E ( X ) xf ( x)dx


其中， f ( x )
为随机变量X的概率密度函数。
数学期望重要的性质：
4
正态分布的K=3，当K>3时，分布呈尖峰状态。当金融时间序列 多是这种分布，具有“尖峰厚尾”的特征；K<3为扁峰分布
1.4.2常用概率分布
1.正态分布（normal distribution）
正态分布也称为高斯（Gauss）分布，其概率密度为
f ( x)
记作:
2 2 1 e ( x ) /(2 ) , 2
定义：随机变量X和Y独立，且 X ~ N 0,1 , Y ~ 2 (n) 的分布为自由度为n的t分布，记为 的
tX Y /n ~ t (n)
，则称
X
Y /n
，又称“学生
t 分布”
不同自由度的t分布密度函数图
相关结论：（1） 分布是一簇曲线，以0为中心，左右对称的单峰分布 （2）自由度n越小，分布曲线越低平;自由度n越大，分布 曲线越接近标准正态分布曲线。 x1 , x2 , , xN （3）设 是来自正态分布 的一 N (, ) 个样本，N个观测值的样本方差为 ，样本均值为 ，则有 s2 x
( B, P )
1.4.3假设检验 1.假设检验的概念 假设检验是先对总体的未知数量特征作出某种假设，然后抽取样本， 利 用样本信息对假设的正确性进行判断的过程。其实质是对可置信性的 评价，是对一个不确定问题的决策过程，其结果在一定概率上正确的，而 不是全部。 2.假设检验的基本原理 假设检验所依据的基本原理是小概率原理，小概率原理就是发生概率很 小的随机事件在一次实验中几乎是不可能发生的。
1.2.2 金融数据的特点 1、金融数据可以是低频的、高频的和超高频的。 2、相比宏观经济数据，金融数据统计错误和数据修正问题会较少。 3、金融数据特别是时间序列数据，一般都是不平稳的，较难区分是随机游走、 趋势或其他特征。 1.2.3 金融数据的来源 • 政府部门和国际组织的出版物及网站 国家统计局网站( www. ) 、世界银行网站( )、 国际货币基金组织网站(www. ) • 专业数据公司和信息公司
计量经济学会（Econometric Society） 证券交易委员会（SEC） 中国金融经济数据库（CCER）
/es
3
收益率的计算
1.3收益率的计算 13.1单期收益率 •简单收益率（simple return）
基于月度数据
100% ln(
Pt 12 Pt 1
) 1200 ln(
Pt Pt 1
)
严格来说是一种近似计算，对于简单收益率而言，上述计算公式分 别是：
100%

Pt 4 Pt 1
1
100% 、

Pt 12 Pt 1
1
独立同分布于标准正态分布 N 0,1 ，则
定义： 随机变量 X , X , , X 1 2 n
2 2 2 X12 X 2 X n 的分布称为自由度为 n 的
2
分布，记为
2 ~ 2 (n)
。
2 分布的密度函数图
3.
t分布（t distribution）
分布密度函数图
5.二项分布（binomial distribution） 在金融计量领域中，有一些随机事件是只具有两种互斥结果的离 散型随机事件，称为二项分类变量（dichotomous variable。二项分 布就是对这类只具有两种互斥结果的离散型随机事件的规律性进行描述 的一种概率分布。 X是一个离散型随机变量，其取值得概率分布为二项式分布， 记为： X
2
( x ) / ( / N ) ( N 1) s 2 / 2 ( N 1)

，
N (x ) ~ t ( N 1) s
4. F 分布
定义：设X与Y是相互独立的随机变量，且 X ~ 2 (m), Y ~ 2 (n)
F X /m Y /n
，则称
的分布是自由度为
2.假设检验的基本原理
H 0 ：原假设或零假设，为检验对象的待检验假设 H1
：备择假设或备选假设，原假设的对立假设
在规定了检验的显著性水平 后，根据容量为N的样本，按照统计量的理论 概率分布规律，可以确定据以判断拒绝和接受原假设的检验统计量的临界值。
临界值将统计量的所有可能取值区间分为两个互不相交的部分，即原 假设的拒绝域和接受域。样本落在拒绝域就拒绝原假设，落在接受域，就接 受原假设。
Pt rt ( k ) ln( ) Pt k Pt ( k 1) Pt Pt 1 ln[( )( ) ( )] Pt 1 Pt 2 Pt k rt rt 1 rt k 1
•年化收益率
基于季度数据
Pt 4 t 100% ln( PP ) 400 ln( Pt 1 ) t 1
标准差：
2(X )
方差重要性质：
2 (a bX ) b2 2 ( X )
3)随机变量的偏度和峰度
偏度：衡量分布的不对称程度或偏斜程度的指标，用 E[( X E ( X ))3 ] 来表示，
也称“三阶矩”。 实际中通常用偏度系数S表示对称性程度
S
E[( X E ( X ))3 ]

1.1.2 金融计量建模步骤 （一）、问题的概述 主要涉及金融或经济理论的形成，一般来自某种理论的认识或对某 种理论的假设，根据理论建立模型用数学公式表示出来。具体包括，选 择变量、确定变景之间的数学关系、拟定模型估计参数的数值范围。 （二）、收集样本数据 建立金融计量学模型过程中最基础的工作，也是对模型质量影响极 大的一项工作。 （三）、选择合适的估计方法 根据模型提出的假设，建立的数学表达式，数据的类型选择一元回 归还是多元回归，选择单一方程还是联立方程。
对于连续型变量，概率密度函数（pdf）定义为 且满足：
P(a x b) f ( x)dx
a
b
f ( x) 0



f ( x)dx 1
3.随机变量的累积分布函数 累积分布函数 ：
F ( x ) P( X x )
离散随机变量X的累积分布函数：
F ( x) pi
m和 n 的
F 分布，记为 F ~ F (m, n)
则 n ，其中 m 称为分子自由度也是第一自由度，
称为分母自由度也
称为第二自由度。 相关结论： （1）若随机变量 F ~ F (m, n) ，则 （2）若 t ~ t (n) ，则 t 2 ~ F (1, n)
1 F
Pt Pt 1 Rt 100% Pt
•连续复合收益率（continuous compounding return）又称“对 数收益率”
Pt rt ln( ) 100% Pt 1
1.3.2多期收益率
• 简单收益率
Pt Pt k Rt (k ) 100% Pt
• 复合收益率
福州大学经济与管理学院 唐勇教授
本章主要内容
1.1金融计量学的含义以及建模步骤 1.2金融数据的主要类型、特点和来源 1.3收益率的计算 1.4常见的统计学与概率知识 1.5常用金融计量软件介绍
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金融计量学的含 义以及建模步骤

1.1.1 金融计量学含义 什么是计量经济学？ 起源于经济学，是经济学的一个分支学科，是以 揭示经济活动中客观存在的数量关系为内容的分支 学科 什么是金融计量学？ 在西方经济中，一般认为金融计量学是指金融市场 的计量分析，特别是统计技术在处理金融问题中的 应用。
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当S=0时，分布对称；当S>0时，为正偏斜，有个较长的右尾部， 均值大于中位数；当S<0时，为负偏斜，有个较长的左尾部，均