曲线运动一、基础知识1.曲线运动（1）定义：轨迹是一条曲线的运动叫做曲线运动。

曲线运动一般可以看作几个直线运动的合成。

（2）条件：质点所受合外力的方向跟它的速度方向 不在同一直线上 。

也可以理解为加速度方向与速度方向 不在同一直线上 。

（3）特点：轨迹是一条曲线；某点瞬时速度方向就是通过这一点的 切线 的方向；运动方向时刻在改变，所以是变速运动，必具有加速度；合外力始终指向运动轨迹的内侧。

2.运动的合成与分解（1）合运动与分运动的关系：各分运动经历的时间与合运动经历的时间 相同 ；一个物体同时参与几个分运动，各分运动 同时 进行，不受其他分运动的影响；各分运动叠加起来与合运动有 相同 的效果。

（2）运算法则：运动的合成与分解是指描述运动的各物理量如位移、速度、加速度的合成与分解。

由于它们都是矢量，所以合成与分解都遵循 平行四边形法则 。

（3）已知分运动求合运动，叫做运动的合成；已知合运动求分运动，叫做运动的分解。

分运动与合运动是一种 等效代替 的关系。

3.平抛运动（1）定义：水平抛出的物体只在 重力 作用下的运动。

（2）性质：加速度为 重力加速度g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。

（3）研究方法：平抛运动可以分解为水平方向上的 匀速直线 运动和竖直方向上的 自由落体 运动。

（4）运动时间和射程：时间t=2hg仅取决于竖直下落的高度；射程x=v 02hg取决于初速度和高度。

（5）规律；水平分速度 v x =v 0 ；竖直分速度 v y =gt ；合速度大小 v=v 2+g 2t 2；速度与水平方向夹角θ，则tan θ=v y v x ；水平分位移 x′=v 0t ；竖直分位移 y ′=12gt 2 ；合位移 x 合=x ′2+y ′2。

4.斜抛运动（1）定义：将物体以速度v0斜向上或斜向下方抛出，物体只在 重力 作用下的运动。

（2）性质：加速度为 重力加速度g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。

（3）规律：速度与水平方向夹角θ，水平分初速度 v 0x =v 0cos θ；竖直分初速度 v 0y = v 0sin θ。

5.圆周运动（1v 、角速度ω、周期T 、频率f 、转速n 、向心加速度a 、向心力F 。

（2）公式及相互关系：v=Δl Δt =2πr T =2πrf ，ω=ΔθΔt =2πT ，T=2πr v =1f ，a=v 2r =ω2r=ωv=4π2r T 2=4π2f 2r ，F=ma=mv 2r =m ω2r=m ωv，θ2π=tT 。

（3）竖直平面内的圆周运动： 轻绳模型 轻杆模型 常见类型轻绳、圆轨道轻杆、光滑管道过最高点的临界条件 有mg=m v 临2r得，v 临=gr由小球恰能运动即可得v 临=0讨论分析（1） 过最高点时，v ≥gr ， F N +mg= m v2r ，绳、轨道对球产生弹力F N（2）不能过最高点，v ＜gr ，在达到最高点前小球已经脱离了圆轨道（1）当v=0 时，F N =mg ，F N 为支持力，沿杆半径背离圆心（2）当0＜v ＜gr 时，mg-F N = m v2r ，F N 背离圆心，随v 的增大而减小（3）当v=gr 时，F N =0 （4）当v ＞gr 时，F N +mg= m v2r ，F N 指向圆心并随v 的增大而增大二、常规题型例1.下列关于曲线运动的说法中正确的是（ B ）A. 速度大小不变的曲线运动是匀速运动B. 曲线运动一定是变速运动C. 变速运动一定是曲线运动D. 曲线运动不可能是匀变速运动练习1.如图所示的曲线是某个质点在恒力作用下的一段运动轨迹．质点从M 点出发经P 点到达N 点，已知弧长MP 大于弧长PN ，质点由M 点运动到P 点与从P 点运动到N 点的时间相等．下列说法中正确的是（ B ） A. 质点从M 到N 过程中速度大小保持不变B. 质点在这两段时间内的速度变化量大小相等，方向相同C. 质点在这两段时间内的速度变化量大小不相等，但方向相同D. 质点在MN间的运动不是匀变速运动练习2.关于物体所受合外力的方向，下列说法正确的是（AD）A. 物体做速率逐渐增加的直线运动时，其所受合外力的方向一定与速度方向相同B. 物体做变速率曲线运动时，其所受合外力的方向一定改变C. 物体做变速率圆周运动时，其所受合外力的方向一定指向圆心D. 物体做匀速率曲线运动时，其所受合外力的方向总是与速度方向垂直练习3.某物体在三个力作用下做匀速直线运动，若其中某个力突然消失，而其余两个力不变，则该物体的运动可能变为（B）A. 匀速直线运动B. 匀变速曲线运动C. 匀速圆周运动D. 机械振动小结：物体受力不变→加速度不变→匀变速运动例2.船在静水中的航速为v1，水流的速度为v2．为使船行驶到河正对岸的码头，则v1、v2的方向应为（C）A. B. C. D.练习1.水平面上有一个直尺，某时刻起从静止开始向右做匀加速直线运动，同时用笔尖靠在直尺上端匀速向下滑动，则笔尖画出的图形是（ D）A. B. C. D.练习2.甲、乙两球位于同一竖直直线上的不同位置，甲比乙高出h，如图所示，将甲、乙两球分别以v1、v2的速度沿同一水平方向抛出，不计空气阻力，下列条件中有可能使乙球击中甲球的是（D）A. 同时抛出，且v1＜v2B. 甲迟抛出，且v1＞v2C. 甲早抛出，且v1＞v2D. 甲早抛出，且v1＜v2练习3.如图所示．AB 杆和墙的夹角为α时，杆的A 端沿墙下滑的速度大小为v 1，B 端沿地面的速度大小为v 2，则下列关系正确的是（ C ） A. v=v 2 B. v 1=v 2cos α C. v=v 2tan α D. v 1=v 2sin α将A 点的速度分解为沿杆子方向和垂直于杆子方向，在沿杆子方向上的分速度为v1∥=v1cos α，将B 点的速度分解为沿杆子方向和垂直于杆子方向，在沿杆子方向上的分速度v2∥=v2sin α．由于v1∥=v2∥，所以v1=v2tan α例3.物体做平抛运动，下列说法正确的是（ C ）A. 加速度的方向时刻改变B. 速度的变化率不断增大C. 任意一段时间内速度变化量的方向均竖直向下D. 第1秒内、第2秒内、第3秒内的位移之比为1：3：5练习1.如图，x 轴在水平地面内，y 轴沿竖直方向．图中画出了从y 轴上沿x 轴正向抛出的三个小球a 、b 和c 的运动轨迹，其中b 和c 是从同一点抛出的，不计空气阻力，则（ BD ） A. a 的飞行时间比b 的长 B. b 和c 的飞行时间相同 C. a 的水平速度比b 的小 D. b 的初速度比c 的大练习2.如图所示，斜面上A 、B 、C 三点等距，小球从A 点正上方D 点以初速度v 0水平抛出，忽略空气阻力， 恰好落在C 点．若小球落点位于B ，则其初速度应满足（ B ） A. v=12v 0 B. v ＜12v 0 C. v0＞v ＞12v 0 D. v ＞v0过C 作水平辅助线，练习3同练习3.斜面上有P 、R 、S 、T 四个点，如图所示，PR=RS=ST ，从P 点正上方的点以速度v 水平抛出一个物体，物体落于R 点，若从Q 点以速度2v 水平 抛出一个物体，不计空气阻力，则物体落在斜面上的（ B ） A. S 点 B. R 与S 间的某一点 C. S 与T 间某一点 D. T 点例4.如图所示，某同学斜向上抛出一小石块，忽略空气阻力．下列关于小石块在空中运动的过程中，加速度a随时间t变化的图象中，正确的是（B）A. B. C. D.练习1.关于斜抛运动，下列说法中正确的是（AD）A. 斜抛运动是曲线运动B. 斜抛运动是直线运动C. 斜抛运动的初速度是水平的D. 斜抛运动的加速度是恒定的练习2.如图甲喷出的水做斜抛运动，图乙为斜抛物体的轨迹，对轨迹上的两点A、B下列说法正确的是（不计空气阻力）（BC）A. A点的速度方向沿切线向下，合力方向竖直向下B. A点的速度方向沿切线向上，合力方向竖直向下C. B点的速度方向沿切线向下，合力方向竖直向下D. B点的速度方向沿切线向下，合力方向竖直向上例5.某物体做匀速圆周运动，以下说法正确的是（D）A. 该物体必须受到恒力的作用B. 该物体所受合力必须等于零C. 匀速圆周运动是一种匀变速运动D. 匀速圆周运动是一种速度和加速度都不断变化的运动练习1.关于匀速圆周运动，下列说法正确的是（ B）A. 匀速圆周运动是匀速运动B. 匀速圆周运动是变速运动C. 匀速圆周运动是角速度变化的运动D. 匀速圆周运动是周期变大的运动练习2.如图所示，竖直固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A 和B ，在各自不同的水平面内做匀速圆周运动．以下关于A 、B 两球作圆周运动时的速度（V A 、V B ）、角速度（ωA 、ωB ）、加速度（a A 、a B ）和对锥壁的压力（N A 、N B ）的说法正确的是（ A ） A. V A ＞V B B. ωA ＞ωB C. a A ＞a B D. N A ＞N B 两个小球的质量相同,所以两个小球的受力相同， 它们的向心力的大小和受到的支持力的大小都相同， 所以有 NA=NB ，aA=aB ，故C 、D 错误，由于它们的受力相同， 向心力的大小也相同，由向心力的公式 Fn=m v2r可知，半径大的，线速度大，所以V A ＞V B ，故A 正确，由向心力的公式 Fn ═m ω2r 可知，半径大的，角速度小，所以ωA ＜ωB ，故B 错误．练习3.绳子的一端拴一个重物，用手握住另一端，使重物在光滑的水平面内做匀速圆周运动，下列判断正确的是（ B ）A. 半径相同时，角速度越小绳越易断Fn=mω2r B. 周期相同时，半径越大绳越易断Fn=m 4π2T 2rC. 线速度相等时，周期越大绳越易断Fn=mvω=mv 2πTD. 角速度相等时，线速度越小绳越易断Fn=mvω三、重点难点例1.（2010•江苏）如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O 点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度（ A ） A. 大小和方向均不变 B. 大小不变，方向改变 C. 大小改变，方向不变 D. 大小和方向均改变橡皮参加了两个分运动，水平向右匀速移动，竖直向上匀速运动，根据平行四边形法则，两个速度的合速度也是匀速直线运动练习1.（2011•上海）如图，人沿平直的河岸以速度v 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行．当绳与河岸的夹角为α，船的速率为（ C ） A. vsinα B. v sinα C. vcosα D. v cosα练习2.（2013,上海）图为在平静海面上，两艘拖船A 、B 拖着驳船C 运动的示意图．A 、B 的速度分别沿着缆绳CA 、CB 方向，A 、B 、C 不在一条直线上．由于缆绳不可伸长，因此C 的速度在CA 、CB 方向的投影分别与A 、B 的速度相等，由此可知C 的（ BC ） A. 速度大小可以介于A 、B 的速度大小之间 B. 速度大小一定不小于A 、B 的速度大小 C. 速度方向可能在CA 和CB 的夹角范围外 D. 速度方向一定在CA 和CB 的夹角范围内船C 沿着绳子靠向A 船的同时还要绕A 船转动；船C 沿着绳子靠向B 船的同时还要绕B 船转动，先将船C 的速度先沿着平行AC 绳子和垂直AC 绳子方向正交分解；再将船C 的速度先沿着平行BC 绳子和垂直BC 绳子方向正交分解；由于绳子不可伸长，故每条船沿着绳子方向的分速度是相等的；由于船C 的速度方向未知，可能在AC 与BC 绳子之间，也可能不在在AC 与BC 绳子之间，故两船速度大小无法比较，但两拖船速度一定小于C 船速度；故A 错误，B 正确；C 、D 、由于船C 的合速度方向未知，可以在AC 与BC 绳子之间，也可能不在在AC 与BC 绳子之间，故C 正确，D 错误；练习3.（2011•江苏）如图所示，甲、乙两同学从河中O 点出发，分别沿直线游到A 点和B 点后，立即沿原路线返回到O 点，OA 、OB 分别与水流方向平行和垂直，且OA=OB ．若水流速度不变，两人在靜水中游速相等，则他们所用时间t 甲、t 乙的大小关系为（ C ） A. t 甲＜t 乙 B. t 甲=t 乙 C. t 甲＞t 乙 D. 无法确定设游速为v ，水速为v0，OA=OB=x ，则甲整个过程所用时间：t 甲= x v+v 0+x v-v 0=2x vv 2-v 02 ，乙为了沿OB 运动，速度合成如图：则乙整个过程所用时间：t 乙=x 2v 2-v 02=2x v 2-v 02v 2-v 02 ，∵v ＞v 2-v 02，∴t 甲＞t 乙例2.（2012·上海）如图，斜面上a 、b 、c 三点等距，小球从a 点正上方O 点抛出，做初速为v 0的平抛运动，恰落在b 点。