武汉二中广雅中学2019-2020学年九（下）数学质量评估（一）一．选择题（共6小题）1．在反比例函数y＝图象上的点是（）A．（﹣2，6）B．（4，﹣2）C．（4，2）D．（6，2）2．将抛物线y＝3x2向左平移3个单位所得的抛物线的函数关系式为（）A．y＝3x2﹣3B．y＝3（x﹣3）2C．y＝3x2+3D．y＝3（x+3）2 3．在△ABC中，ED∥BC，S四边形BCDE：S△ABC＝21：25，AD＝4，则DC的长为（）A．4B．6C．8D．104．如图，向容器甲中匀速的注水，下面哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系（）A．B．C．D．5．已知点（﹣1，y1），（，y2），（2，y3）在函数y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）的图象上，则将y1、y2、y3按由大到小的顺序排列是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y2＞y16．等宽曲线是这样一种几何图形，它们在任何方向上的直径（或称为宽度）都是相等的．图①是三边等宽曲线，它是由3段相等的弧围成的封闭图形，也称为莱洛三角形；图②是七边等宽曲线，它是由7段相等的弧围成的封闭图形，一般地，（2n+1）边等宽曲线的作法如下：1．先构造正2n+1边形A1A2A3…A2n+1；2．分别以正2n+1边形的顶点A1，A2，A3…A2n+1为圆心，以线段A1A n+1的长为半径作2n+1个圆，这些圆的公共部分，就是（2n+1）边等宽曲线．若线段A1A n+1的长为a，则（2n+1）边等宽曲线的周长为（）A．aπB．aπC．2aπD．aπ二．填空题（共5小题）7．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+3＝0的一个根为1，则m＝．8．反比例函数y＝的图象在其象限内，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是．9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，2AC＝3BC，点D、E、F分别在线段AB、AC、BC上，且BD＝2AD，DE⊥DF，则＝．10．抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）经过（﹣1，2），（5，2）两点，则关于x的不等式a （x﹣h﹣1）2+k≤2的解集为．11．已知：等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，O是AB上一点，以O为圆心的半圆与AC、BC均相切，P为半圆上一动点，连PC、PB，如图，则PC+PB的最小值是．三．解答题（共4小题）12．一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为．（1）求口袋中黄球的个数；（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；（3）现规定：摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得2分（每次摸后放回），乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，若随机再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．（1）求证：DH是⊙O的切线；（2）若EA＝EF＝2，求⊙O的半径；14．某汽车销售公司计划销售A、B两种型号的汽车共80辆，该公司所筹资金不少于660万元，但不超过672万元，且所筹资金全部用于购进新车，设A型汽车购进x辆，该公司销售A、B两种汽车获得利润y（万元），两种汽车的成本和售价如表：A B成本（万元/辆）612售价（万元/辆）916（1）该公司对这两种汽车进货有哪几种方案？（2）列出y关于x的函数关系式，并通过函数的性质判断如何进货该公司获得利润最大？（3）根据市场调查，每辆B型汽车售价不会改变，每辆A型汽车的售价将会提高a万元（a＞0），且所进的两种汽车可全部售出，该公司又将如何进货获得利润最大？（注：利润＝售价﹣成本）15．抛物线y＝（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点．（1）求点B及点D的坐标．（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．①若线段BD上一点P，使∠DCP＝∠BDE，求点P的坐标．②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN＝∠BDE，求点M的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．在反比例函数y＝图象上的点是（）A．（﹣2，6）B．（4，﹣2）C．（4，2）D．（6，2）【分析】由反比例函数表达式的特点可知，在其图象上的点的横、纵坐标的乘积都等于k，所以判断点是否在反比例函的图象上，只要验证一下横、纵坐标的乘积是否与k相等就可以了．【解答】解：A、﹣2×6＝﹣12≠﹣8；B、4×（﹣2）＝﹣8；C、4×2＝8≠﹣8；D、6×2＝12≠﹣8，故B在反比例函数y＝图象上．故选：B．2．将抛物线y＝3x2向左平移3个单位所得的抛物线的函数关系式为（）A．y＝3x2﹣3B．y＝3（x﹣3）2C．y＝3x2+3D．y＝3（x+3）2【分析】抛物线平移不改变a的值．【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移3个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣3，0）．可设新抛物线的解析式为y＝3（x﹣h）2+k，代入得：y＝3（x+3）2．故选：D．3．在△ABC中，ED∥BC，S四边形BCDE：S△ABC＝21：25，AD＝4，则DC的长为（）A．4B．6C．8D．10【分析】先利用比例的性质得到S△ADE：S△ABC＝4：25，再证明△ADE∽△ABC，则根据相似三角形的性质得＝（）2＝，从而可求出AC，然后计算AC﹣AD即可．【解答】解：∵S四边形BCDE：S△ABC＝21：25，∴S△ADE：S△ABC＝4：25，∵ED∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴＝，∴AC＝×4＝10，∴CD＝AC﹣AD＝10﹣4＝6．故选：B．4．如图，向容器甲中匀速的注水，下面哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系（）A．B．C．D．【分析】由容器的形状可知，注入水的高度随着时间的增长越来越高，但增长的速度越来越慢，即图象开始陡峭，后来趋于平缓，考查选项可得答案．【解答】解：由容器的形状可知：注入水的高度随着时间的增长越来越高，但增长的速度越来越慢，即图象开始陡峭，后来趋于平缓，故选：C．5．已知点（﹣1，y1），（，y2），（2，y3）在函数y＝ax2﹣2ax+a﹣2（a＞0）的图象上，则将y1、y2、y3按由大到小的顺序排列是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y2＞y1＞y3D．y3＞y2＞y1【分析】根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线x＝﹣1，根据各点到对称轴的距离，即可得出答案．【解答】解：∵y＝ax2﹣2ax+a﹣2＝a（x﹣1）2﹣2（a＞0），∴图象的开口向上，对称轴是直线x＝1，∵点（﹣1，y1）到对称轴的距离最大，点（，y2）到对称轴的距离最小，∴y1＞y3＞y2，故选：B．6．等宽曲线是这样一种几何图形，它们在任何方向上的直径（或称为宽度）都是相等的．图①是三边等宽曲线，它是由3段相等的弧围成的封闭图形，也称为莱洛三角形；图②是七边等宽曲线，它是由7段相等的弧围成的封闭图形，一般地，（2n+1）边等宽曲线的作法如下：1．先构造正2n+1边形A1A2A3…A2n+1；2．分别以正2n+1边形的顶点A1，A2，A3…A2n+1为圆心，以线段A1A n+1的长为半径作2n+1个圆，这些圆的公共部分，就是（2n+1）边等宽曲线．若线段A1A n+1的长为a，则（2n+1）边等宽曲线的周长为（）A．aπB．aπC．2aπD．aπ【分析】由题意得到△A1A2A3是等边三角形，求得∠A3＝60°＝，于是得到三边等宽曲线的周长＝3×＝aπ，由题意得到七边形A1A2A3A4A5A6A7是正七边形，求得每个内角＝，连接A1A4，A7A4，得到∠A1A4A7＝，于是得到七边等宽曲线的周长＝7×＝aπ，于是得到结论．【解答】解：∵图①是三边等宽曲线，∴△A1A2A3是等边三角形，∴∠A3＝60°＝，∴三边等宽曲线的周长＝3×＝aπ，∵图②是七边等宽曲线，∴七边形A1A2A3A4A5A6A7是正七边形，∴每个内角＝，连接A1A4，A7A4，∴∠A1A4A7＝，∴七边等宽曲线的周长＝7×＝aπ，…，∴（2n+1）边等宽曲线的周长为aπ，故选：A．二．填空题（共5小题）7．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+3＝0的一个根为1，则m＝2．【分析】把x＝1代入方程计算即可求出m的值．【解答】解：把x＝1代入方程得：1﹣（m+2）+3＝0，去括号得：1﹣m﹣2+3＝0，解得：m＝2，故答案为：28．反比例函数y＝的图象在其象限内，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是k＜3．【分析】根据反比例函数的性质可知，图象在每个象限内y随x的增大而增大，则比例系数小于0，据此列出不等式解答即可．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在其象限内y的值随x值的增大而增大，∴k﹣3＜0，k＜3．故答案为k＜39．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，2AC＝3BC，点D、E、F分别在线段AB、AC、BC上，且BD＝2AD，DE⊥DF，则＝．【分析】如图，过点D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，可证四边形DGCH是矩形，DH∥CG，DG∥CH，∠HDG＝90°，设AC＝3a，BC＝2a，由平行线分线段成比例可得DH＝a，DG＝2a，通过证明△DEH∽△DFG，可得，即可求解．【解答】解：如图，过点D作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G，∵2AC＝3BC，∴设AC＝3a，BC＝2a，∵DH⊥AC，DG⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形DGCH是矩形，∴DH∥CG，DG∥CH，∠HDG＝90°，∴，，且BD＝2AD，∴，，∴DH＝a，DG＝2a，∵DE⊥DF，∴∠EDF＝∠HDG＝90°，∴∠HDE＝∠GDF，且∠DHE＝∠DGF＝90°，∴△DEH∽△DFG，∴，∴＝，故答案为：．10．抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）经过（﹣1，2），（5，2）两点，则关于x的不等式a （x﹣h﹣1）2+k≤2的解集为0≤x≤6．【分析】直接利用二次函数大致图象结合不等式与函数关系得出答案．【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）经过（﹣1，2），（5，2）两点，∴大致图象如图所示：∴y＝a（x﹣h﹣1）2+k（a＞0）经过（0，2），（6，2）两点则关于x的不等式a（x﹣h﹣1）2+k≤2的解集为：0≤x≤6．故答案为：0≤x≤6．11．已知：等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，O是AB上一点，以O为圆心的半圆与AC、BC均相切，P为半圆上一动点，连PC、PB，如图，则PC+PB的最小值是4+2．【分析】可以设半圆与AC、BC的切点为Q，P′，连接OQ，OP′，得正方形CQOP′，以P′为圆心，P′D为半径画弧交P′B于点E，当点P运动到点P′时，PC+PB ＝P′C+P′D＝P′C+P′E＝CE，最小，进而求解．【解答】解：如图，设半圆与AC、BC的切点为Q、P′，连接OQ、OP′，得正方形CQOP′，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，CP′＝OP′＝P′B＝4，作P′D⊥OB于点D，∴P′D＝P′B＝×4＝2，以P′为圆心，P′D为半径画弧交P′B于点E，当点P运动到点P′时，PC+PB＝P′C+P′D＝P′C+P′E＝CE，最小，∴PC+PB的最小值为4+2．故答案为4+2．三．解答题（共4小题）12．一不透明的布袋里，装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中有红球2个，蓝球1个，黄球若干个，现从中任意摸出一个球是红球的概率为．（1）求口袋中黄球的个数；（2）甲同学先随机摸出一个小球（不放回），再随机摸出一个小球，请用“树状图法”或“列表法”，求两次摸出都是红球的概率；（3）现规定：摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得2分（每次摸后放回），乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，若随机再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率．【分析】（1）首先设口袋中黄球的个数为x个，根据题意得：＝，解此方程即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出都是红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；（3）由若随机，再摸一次，求乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的有3种情况，且共有4种等可能的结果；直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）设口袋中黄球的个数为x个，根据题意得：＝，解得：x＝1，经检验：x＝1是原分式方程的解；∴口袋中黄球的个数为1个；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出都是红球的有2种情况，∴两次摸出都是红球的概率为：＝；（3）∵摸到红球得5分，摸到蓝球得2分，摸到黄球得3分，而乙同学在一次摸球游戏中，第一次随机摸到一个红球第二次又随机摸到一个蓝球，∴乙同学已经得了7分，∴若随机再摸一次，乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的有3种情况，且共有4种等可能的结果；∴若随机再摸一次，乙同学三次摸球所得分数之和不低于10分的概率为：．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．（1）求证：DH是⊙O的切线；（2）若EA＝EF＝2，求⊙O的半径；【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，由DH⊥AC，可得DH⊥OD，则结论得证；（2）设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，证明DF＝OD＝r，则DE＝DF+EF＝r+2，BD ＝CD＝DE＝r+2，证明△BFD∽△EF A，列比例式为：，则列方程可求出r的值．【解答】解：（1）连接OD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∴∠ODB＝∠ACB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，即OD＝OB＝r，∵EF＝EA，∴∠EF A＝∠EAF，∵OD∥EC，∴∠FOD＝∠EAF，则∠FOD＝∠EAF＝∠EF A＝∠OFD，∴DF＝OD＝r，∴DE＝DF+EF＝r+2，∴BD＝CD＝DE＝r+2，在⊙O中，∵∠BDE＝∠EAB，∴∠BFD＝∠EF A＝∠EAB＝∠BDE，∴BF＝BD，△BDF是等腰三角形，∴BF＝BD＝r+2，∴AF＝AB﹣BF＝2OB﹣BF＝2r﹣（2+r）＝r﹣2，∵∠BFD＝∠EF A，∠B＝∠E，∴△BFD∽△EF A，∴，即＝解得：r1＝1+，r2＝1﹣（舍），综上所述，⊙O的半径为1+．14．某汽车销售公司计划销售A、B两种型号的汽车共80辆，该公司所筹资金不少于660万元，但不超过672万元，且所筹资金全部用于购进新车，设A型汽车购进x辆，该公司销售A、B两种汽车获得利润y（万元），两种汽车的成本和售价如表：A B成本（万元/辆）612售价（万元/辆）916（1）该公司对这两种汽车进货有哪几种方案？（2）列出y关于x的函数关系式，并通过函数的性质判断如何进货该公司获得利润最大？（3）根据市场调查，每辆B型汽车售价不会改变，每辆A型汽车的售价将会提高a万元（a＞0），且所进的两种汽车可全部售出，该公司又将如何进货获得利润最大？（注：利润＝售价﹣成本）【分析】（1）设购A种汽车x件，则B种汽车为80﹣x件，根据题意，可得，660≤6x+12（80﹣x）≤672，解出x的值，即可得到进货方案；（2）根据题意，可得到，利润与购A种汽车的一次函数，即可解答哪种利润最大；（3）根据题意，可得到，利润与购A种汽车的一次函数，根据a的取值，分类讨论解答；【解答】解：（1）设购A种汽车x件，则B种汽车为80﹣x件，根据题意得，660≤6x+12（80﹣x）≤672，解得48≤x≤50；有3种方案：①购A种汽车48件、B种汽车为32件；②购A种汽车49件、B种汽车为31件；③购A种汽车50件、B种汽车为30件．（2）由题意得，利润y＝3x+4（80﹣x）＝﹣x+320，因为，函数y随x的增大而减小，所以，当x＝48时，即，当购A种汽车48件、B种汽车为32件时，最大利润y＝﹣1×48+320＝272（万元）；（3）由题意得，利润y＝（3+a）x+4（80﹣x）＝（a﹣1）x+320，∴当a＞1时，购A种汽车50件、B种汽车为30件时，利润最大；当a＝1时，均可采用；当0＜a＜1时，购A种汽车48件、B种汽车为32件时，利润最大．15．抛物线y＝（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，点D为顶点．（1）求点B及点D的坐标．（2）连结BD，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E．①若线段BD上一点P，使∠DCP＝∠BDE，求点P的坐标．②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN＝∠BDE，求点M的坐标．【分析】（1）解方程（x﹣3）（x+1）＝0，求出x＝3或﹣1，根据抛物线y＝（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），确定点B的坐标为（3，0）；将y＝（x﹣3）（x+1）配方，写成顶点式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，即可确定顶点D的坐标；（2）①根据抛物线y＝（x﹣3）（x+1），得到点C、点E的坐标．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，由勾股定理得出CD＝，CB＝3，证明△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．根据两角对应相等的两三角形相似证明△BCD∽△QOC，则＝＝，得出Q的坐标（﹣9，0），运用待定系数法求出直线CQ的解析式为y＝﹣x﹣3，直线BD的解析式为y＝2x﹣6，解方程组，即可求出点P的坐标；②分两种情况进行讨论：（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G，先证明△MCN∽△DBE，由相似三角形对应边成比例得出MN＝2CN．设CN＝a，再证明△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，然后用含a的代数式表示点M的坐标，将其代入抛物线y＝（x﹣3）（x+1），求出a的值，得到点M的坐标；若点N在射线DC上，同理可求出点M的坐标；（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．由于∠BDE＜45°，得到∠CMN＜45°，根据直角三角形两锐角互余得出∠MCN＞45°，而抛物线左侧任意一点M，都有∠MCN＜45°，所以点M不存在．【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x﹣3）（x+1）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），∴当y＝0时，（x﹣3）（x+1）＝0，解得x＝3或﹣1，∴点B的坐标为（3，0）．∵y＝（x﹣3）（x+1）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点D的坐标为（1，﹣4）；（2）①如右图．∵抛物线y＝（x﹣3）（x+1）＝x2﹣2x﹣3与与y轴交于点C，∴C点坐标为（0，﹣3）．∵对称轴为直线x＝1，∴点E的坐标为（1，0）．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，则H点坐标为（1，﹣3），∴CH＝DH＝1，∴∠CDH＝∠BCO＝∠BCH＝45°，∴CD＝，CB＝3，△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R．∵∠BDE＝∠DCP＝∠QCR，∠CDB＝∠CDE+∠BDE＝45°+∠DCP，∠QCO＝∠RCO+∠QCR＝45°+∠DCP，∴∠CDB＝∠QCO，∴△BCD∽△QOC，∴＝＝，∴OQ＝3OC＝9，即Q（﹣9，0）．∴直线CQ的解析式为y＝﹣x﹣3，直线BD的解析式为y＝2x﹣6．由方程组，解得．∴点P的坐标为（，﹣）；②（Ⅰ）当点M在对称轴右侧时．若点N在射线CD上，如备用图1，延长MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．∵∠CMN＝∠BDE，∠CNM＝∠BED＝90°，∴△MCN∽△DBE，∴＝＝，∴MN＝2CN．设CN＝a，则MN＝2a．∵∠CDE＝∠DCF＝45°，∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，∴NF＝CN＝a，CF＝a，∴MF＝MN+NF＝3a，∴MG＝FG＝a，∴CG＝FG﹣FC＝a，∴M（a，﹣3+a）．代入抛物线y＝（x﹣3）（x+1），解得a＝，∴M（，﹣）；若点N在射线DC上，如备用图2，MN交y轴于点F，过点M作MG⊥y轴于点G．∵∠CMN＝∠BDE，∠CNM＝∠BED＝90°，∴△MCN∽△DBE，∴＝＝，∴MN＝2CN．设CN＝a，则MN＝2a．∵∠CDE＝45°，∴△CNF，△MGF均为等腰直角三角形，∴NF＝CN＝a，CF＝a，∴MF＝MN﹣NF＝a，∴MG＝FG＝a，∴CG＝FG+FC＝a，∴M（a，﹣3+a）．代入抛物线y＝（x﹣3）（x+1），解得a＝5，∴M（5，12）；（Ⅱ）当点M在对称轴左侧时．∵∠CMN＝∠BDE＜45°，∴∠MCN＞45°，而抛物线左侧任意一点M，都有∠MCN＜45°，∴点M不存在．综上可知，点M坐标为（，﹣）或（5，12）．。