2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（三）数学（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1..已知集合{}{}22|,|g 14lo A x x B x x ==<≤，则A B = （ ）A. (),2-∞B. ()0,2C. ()2,0-D. (]2,2-【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合,A B ,再根据交集运算法则求交集即可. 【详解】{}{}2|422A x x x x =≤=-≤≤,{}{}2|log 102B x x x x =<=<<,所以(0,2)A B ⋂=, 故选:B.【点睛】本题考查了交集运算,考查了解不等式,属于简单题. 2.若复数z 满足()1243z i i +=+，则z =（） A .2i +B. 2i -C. 12i +D. 12i -【答案】A 【解析】 【分析】化简得到2z i =-，再计算共轭复数得到答案. 【详解】()1243z i i +=+，则()()()()43124310521212125i i i iz i i i i +-+-====-++-，故2z i =+. 故选：A .【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.3.2019年9月25日.阿里巴巴在杭州云栖大会上正式对外发布了含光800AI 芯片,在业界标准的ResNet -50测试中,含光800推理性能达到78563lPS ,比目前业界最好的AI 芯片性能高4倍;能效比500 IPS /W ,是第二名的3.3倍.在国内集成电路产业发展中,集成电路设计产业始终是国内集成电路产业中最具发展活力的领域,增长也最为迅速.如图是2014-2018年中国集成电路设计产业的销售额(亿元)及其增速(%)的统计图,则下面结论中正确的是( )A. 2014-2018年,中国集成电路设计产业的销售额逐年增加B. 2014-2017年,中国集成电路设计产业的销售额增速逐年下降C. 2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率比2015年的高D. 2018年与2014年相比,中国集成电路设计产业销售额的增长率约为110% 【答案】A 【解析】【分析】根据条形统计图可以判断选项A,D 的正误,根据折线图可以判断选项B,C 的正误.【详解】对于A,由图可得2014-2018年中国集成电路设计产业的销售额逐年增加,所以A 正确; 对于B,2017年中国集成电路设计产业的销售额增速比2016年高,所以B 错误;对于C,2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率(约21.5%)低于2015年的增长率(约26.5%),所以C 错误;对于D,2018年与2014年相比,中国集成电路设计产业销售额的增长率为2519.31047.4100%140.5%1047.4-⨯≈,所以D 错误. 故选:A.【点睛】本题主要考查统计图的实际应用,考查学生的理解分析能力,难度不大. 4.在等差数列{}n a 中，2436a a +=，则数列{}n a 的前5项之和5S 的值为（ ） A. 108 B. 90C. 72D. 24【答案】B 【解析】由于152436a a a a +=+=，所以1555()5369022a a S +⨯===，应选答案A ． 点睛：解答本题的简捷思路是巧妙运用等差数列的性质152436a a a a +=+=，然后整体代换前5项和中的15=36a a +，从而使得问题的解答过程简捷、巧妙．当然也可以直接依据题设条件建立方程组进行求解，但是解答过程稍微繁琐一点． 5.已知0.12(tan ),5a π=b =log 32，c =log 2(cos 3π7)，则（ ） A. a >b >c B. b >a >cC. c >a >bD. a >c >b【答案】A 【解析】 【分析】根据函数单调性进而确定函数值的范围再进行比较即可. 【详解】对于a ，因为tan x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，2452πππ<<即0.10.12(tan)(tan )54ππ>1a ⇒> 对于b ，因为3log x 在定义域内单调递增，即33log 2log 311b b =<=⇒< 对于c ，因为cos x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，3472πππ<<则33coscoscos 0cos 127472ππππ<<⇒<<< 则223log cos log 1007c π⎛⎫<=⇒<⎪⎝⎭综上，a b c >> 故选：A【点睛】本题较易。

只需根据函数单调性进而确定函数值的范围再进行比较即可.注意自变量所在区间. 6.已知向量(3,2)a =-，(,1)b x y =-且a ∥b ，若,x y 均为正数，则32x y+的最小值是 A. 24 B. 8C.83D.53【答案】B 【解析】 试题分析：由a ∥b得3(1)2233y x x y -=-⇒+=，因此3232231491()(12)(128333x y x y x y x y y x ++=+=++≥+=，当且仅当49x y y x =时取等号，所以选B.考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7.已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的两个相邻的对称轴之间的距离为2π，为了得到函数()sin g x x ω=的图象，只需将()y f x =的图象（ ）A. 向左平移6π个单位长度 B. 向右平移6π个单位长度 C. 向左平移12π个单位长度D. 向右平移12π个单位长度【答案】D【解析】 【分析】先由函数()f x 的两个相邻的对称轴之间的距离为2π，得到周期，求出ω，再由平移原则，即可得出结果. 【详解】因为函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的两个相邻的对称轴之间的距离为2π， 所以()f x 的最小正周期为T π=，因此22Tπω==， 所以()sin 2sin 2612f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，为了得到函数()sin 2g x x =的图象，只需将()sin 212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度.故选D【点睛】本题主要考查三角函数的性质，以及三角函数的平移问题，熟记三角函数的平移原则即可，属于常考题型. 8.函数cos 3sin ||2()51x x f x -=-在3π3π(,)22-上的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】易得函数()f x 为偶函数，排除部分选项，再采用特殊值法由(0)f ，(π)f 确定选项. 【详解】因为cos()cos 3sin ||23sin ||2()()5151x x x x f x f x -----===--，所以函数()f x 为偶函数，故排除D ； 因为021(0)512f -==--，故排除B ；因为1025(π)0512f --==>-，故排除C. 故选：A.【点睛】本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性的应用，特殊值法的应用，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题.9.古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体积的23，并且球的表面积也是圆柱表面积的23， 若圆柱的表面积是6π现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（ ）A.π3B.2π3C. πD.4π3【答案】B 【解析】 【分析】设球的半径为r ，则由题意可得球的表面积为224π6π3r =⨯，即可求出r ，从而得到圆柱的底面半径和高，最后由圆柱的体积减去球的体积即可；【详解】解：设球的半径为r ，则由题意可得球的表面积为224π6π3r =⨯，所以1r =，所以圆柱的底面半径为1，高为2，所以最多可以注入的水的体积为2342ππ12π133⨯⨯-⨯=.故选：B【点睛】本题考查圆柱和球的表面积和体积的相关计算，属于基础题.10.已知函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()0f x f x '+>，其中()f x '为()f x 的导数，设()0a f =，()22b f ln =，()1c ef =，则a 、b 、c 的大小关系是( )A. c b a >>B. a b c >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()x g x e f x =，根据()g x 的单调性得出结论． 【详解】解：令()()x g x e f x =，则()[()()]0x g x e f x f x '=+'>，()g x ∴在R 上单调递增，又021ln <<，()()()021g g ln g ∴<<，即()()()0221f f ln ef <<，即c b a >> 故选：A ．【点睛】本题考查了导数与函数的单调性，考查函数单调性的应用，属于中档题． 11.若△ABC 中，2sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】A 【解析】 【分析】已知等式左边第一项利用诱导公式化简，根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=，再利用两角和与差的正弦函数公式化简. 【详解】ABC ∆中，sin()sin A B C +=，∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =， cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去）， 0A π<<90A ∴=︒，则此三角形形状为直角三角形． 故选：A【点睛】此题考查了正弦定理，以及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于中档题．12.椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12, F F ，过点1F 的直线交椭圆于,A B 两点，交y 轴于点C ，若1F ，C 是线段AB 的三等分点，2F AB 的周长为E 的标准方程为（ ）A. 22154x y +=B. 22153x y +=C. 22152x y +=D. 2215x y +=【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义及2F AB 的周长为a =1F ，C 是线段AB 的三等分点，利用中点坐标公式可先求出点A 的横坐标，代入椭圆可求出纵坐标，再由中点坐标公式可求出点B 的坐标，代入椭圆的方程即可求出2b 的值.【详解】由椭圆的定义，得12122AF AF BF BF a +=+=，2F AB 的周长12124AF AF BF BF a +++==a =，所以椭圆222:15x y E b+=.不妨令点C 是1F A 的中点，点A 在第一象限，因为()1, 0F c -， 所以点A 的横坐标为c ，所以22215c y b+=，可得2(A c ，所以2C ，由中点坐标公式可得2(2,B c -，把点B 的坐标代入椭圆E 的方程，得 42242015b c b +=，2241520c b +=，化简得222016b c =-，又225b c =-， 所以2252016c c -=-，得21c =，所以24b =.所以，椭圆的方程为22154x y +=.故选：A.【点睛】本题主要考查椭圆的定义，中点坐标公式，关键是利用中点坐标求相应点的坐标，用点在曲线上求出2b .第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置上.13.若sin cos 4αα+=，则sin 2α的值为___________． 【答案】78- 【解析】 【分析】直接把已知方程两边同时平方即得解. 【详解】由题得171sin 2,sin 2.88αα+=∴=- 故答案为：78-【点睛】本题主要考查二倍角的正弦，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 14.已知4a =，||1b =，2a b ⋅=，则向量2a b -在b 方向上的投影为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】 先求出()2a bb -⋅的值，再由()2a b b b-⋅可得结果.【详解】因为4a =，1b =，2a b ⋅=， 所以()221413a b b a b -⋅=⋅-=-=,向量2a b -在b方向上的投影为()2331a b b b-⋅==,故答案为3. 【点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积的运算，属于中档题.平面向量数量积主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a ba bθ=（此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a bb⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.15.已知F 是椭圆22:132x y C +=的右焦点，P 为椭圆C 上一点，(A，则PA PF +的最大值为______ 【答案】【解析】【分析】由椭圆的标准方程可表示焦点，以及由定义转化PF ，再由三角形成形原则构建不等式关系求最大值.【详解】根据题意，设椭圆的左焦点为F '，椭圆的方程为22132x y +=，其中a P 为椭圆C 上一点，则2PF PF a '+==1c ==，则()()1,0,1,0F F '-，则2PF a PF PF ''=-=，且显然点A 在椭圆内，则PA PF PA PF PA PF ''+=+=-，分析可得：PA PF AF ''-≤=(三角形成形原则)当P A F '、、三点共线时，等号成立，则PA PF +的最大值为故答案：【点睛】本题考查求椭圆中求距离的最值以及由椭圆的定义转化距离表达式，属于简单题.16.已知四面体ABCD 内接于球O ，且2AB BC AC ===，若四面体ABCD ，球心O 恰好在棱DA 上，则球O 的表面积是_____． 【答案】16π 【解析】 【分析】根据2AB BC AC ===,可知△ABC 为直角三角形,其外接圆的圆心为AC 的中点1O ,连1OO ,可知1OO ⊥平面ABC ,根据1,O O 为,AD AC 的中点可知DC ⊥ 平面ABC ,所以DC 为四面体ABCD 的高,根据四面体ABCD 的体积可求得DC ,在直角三角形DCA 中由勾股定理可求得外接球的直径AD ,从而可得球的半径,再由球的表面积公式可求得球的表面积.【详解】如图:在三角形ABC 中,因为222AB BC AC +=,所以△ABC 为直角三角形,所以三角形ABC 的外接圆的圆心为AC 的中点1O ,连1OO ,根据垂径定理,可得1OO ⊥平面ABC ,因为1,O O 为,AD AC 的中点可知DC ⊥平面ABC ,所以DC 为四面体ABCD 的高.所以11323DC ⨯=,解得DC =所以4AD ==. 所以四面体ABCD 的外接球的半径为2,表面积为24R π=24216ππ⨯=.【点睛】本题考查了球与四面体的组合体,三棱锥的体积,球的表面积公式,利用垂径定理和中位线平行得到DC ⊥ 平面ABC 是解题关键.属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.22题10分，17题-21题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2b A a B c -=. （1）证明：tan 3tan B A =-；（2）若2223b c a bc +=，且ABC ∆3a . 【答案】（1）见解析（2）2 【解析】试题分析：（1）由cos cos 2b A a B c -=，根据正弦定理可得sin cos cos sin B A B A - ()2sin 2sin C A B ==+，利用两角和的正弦公式展开化简后可得sin cos 3cos sin B A B A =-，所以，tan 3tan B A =-；（2）由2223b c a bc +=，根据余弦定理可得3cos A =，结合（1）的结论可得三角形为等腰三角形，于是可得a c =，由12sin 23S ac π=21332==2a =. 试题解析：（1）根据正弦定理，由已知得：sin cos cos sin B A B A - ()2sin 2sin C A B ==+， 展开得：sin cos cos sin B A B A - ()2sin cos cos sin B A B A =+， 整理得：sin cos 3cos sin B A B A =-，所以，tan 3tan B A =-.（2）由已知得：2223b c a bc +-=，∴222cos 2b c a A bc +-= 3322bc bc ==， 由0A π<<，得：6A π=，3tan 3A =，∴tan 3B =-， 由0B π<<，得：23B π=，所以6C π=，a c =， 由12sin 23S ac π=213322a =⨯=，得：2a =.18.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额（单位：千元），网购次数和支付方式等进行了问卷调查．经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0,30]内，按[0,5),[5,10),[10,15),[15,20],[20,25),[25,30]分成6组，其频率分布直方图如图所示．（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的22⨯列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”． 男 女 合计 网购迷 20 非网购迷 45 合计100附：观测值公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．临界值表：【答案】（1）17.5千元．（2）见解析，有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关”． 【解析】 【分析】（1）计算面积确定中位数位于区间(15,20]内，设中位数为x ，则0.06(15)0.50.350.15x -=-=，解方程即得解；（2）根据已知补全22⨯列联表，再利用独立性检验判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”． 【详解】解：（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为(0.010.020.04)50.35++⨯=，后2个小矩形的面积之和为(0.040.03)50.35+⨯=， 所以中位数位于区间(15,20]内． 设中位数x ，则0.06(15)0.50.350.15x -=-=，得17.5x =，所以该社区居民网购消费金额中位数估计为17.5千元．（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为0.3510035⨯=，所以“网购迷”共有35人．由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人，所以补全的列联表如下：因为22100(45201520)6006.593 5.0246040356591K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，查表得2( 5.024)0.025P K ≥=，所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关”．【点睛】本题主要考查频率分布直方图求中位数，考查独立性检验的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.如图，四边形ABCD 为矩形，且2,1,AD AB PA ==⊥平面,1,ABCD PA E =为BC 的中点.（1）求证:PE DE ⊥；（2）若F 为PD 的中点，求三棱锥P AFE -的体积. 【答案】（1）见解析（2）16【解析】 【分析】（1）转化成证明DE ⊥平面PAE 即可得到PE DE ⊥（2）取PE 的中点G ，连接FG .可得 13P AFE F APE APE V V S FG --∆==⋅【详解】（1）连结AE ，∵E 为BC 的中点， 1EC CD ==，又四边形ABCD 是矩形， ∴DCE ∆为等腰直角三角形， 则45DEC ∠=，同理可得45AEB ∠=，∴90AED ∠=，∴DE AE ⊥， 又PA ⊥平面ABCD ，且DE ⊂平面ABCD ， ∴PA DE ⊥， 又∵AEPA A =，∴DE ⊥平面PAE ，又PE ⊂平面PAE ，∴DE PE ⊥（2）取PE 的中点G ，连接FG .又F 为PD 的中点，1CD =，∴//FG DE 且122FG DE =∵PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ∴PA AE ⊥∴12122APE S ∆== 由（1）得DE ⊥平面PAE ，∴FG 是三棱锥F APE -的高，∴11223163P AFE F APE APE V V S FG --∆==⋅==. ∴三棱锥P AFE -的体积为16【点睛】本题主要考查了线线垂直的证明以及三棱锥的体积公式，属于中等题.20.已知点O 为坐标原点，椭圆C ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为22，点I ，J 分别是椭圆C 的右顶点、上顶点，△IOJ 的边IJ 3（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点H （－2，0）的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若AF 1⊥BF 1，求直线AB 的方程．【答案】（1）2212x y +=（2）x －2y ＋2＝0或x ＋2y ＋2＝0【解析】 【分析】(1)由直角三角形中线性质得到3IJ =2222223,,c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨=+⎪⎪⎩求解即可；（2）设出直线AB ，联立直线和椭圆得到二次方程，由AF 1⊥BF 1，得到110AF BF ⋅=，整理得（1＋2k 2）（x 1＋x 2）＋（1＋k 2）x 1x 2＋1＋4k 2＝0，代入韦达定理即可.【详解】（1）由题意得△IOJ 为直角三角形，且其斜边上的中线长为3，所以3IJ =设椭圆C 的半焦距为c，则222,c aa b c ⎧=⎪==+⎪⎪⎩解得 1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）由题知，点F 1的坐标为（－1，0），显然直线AB 的斜率存在， 设直线AB 的方程为y ＝k （x ＋2）（k≠0），点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．联立()221,22,x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，得（1＋2k 2）x 2＋8k 2x ＋8k 2－2＝0，所以Δ＝（8k 2）2－4（1＋2k 2）（8k 2－2）＝8（1－2k 2）＞0，所以2102k <<．（*） 且2122812k x x k +=-+，21228212k x x k-=+． 因为AF 1⊥BF 1，所以110AF BF ⋅=， 则（－1－x 1，－y 1）·（－1－x 2，－y 2）＝0， 1＋x 1＋x 2＋x 1x 2＋y 1y 2＝0，1＋x 1＋x 2＋x 1x 2＋k （x 1＋2）·k （x 2＋2）＝0，整理，得（1＋2k 2）（x 1＋x 2）＋（1＋k 2）x 1x 2＋1＋4k 2＝0． 即()()()22222221828121401212k k k k k k k +-⎛⎫+⋅-+++= ⎪++⎝⎭． 化简得4k 2－1＝0，解得12k =±． 因为12k =±都满足（*）式，所以直线AB 的方程为()122y x =+或()122y x =-+． 即直线AB 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＋2y ＋2＝0．【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21.已知函数()()e ln ,e xf x a x x x=+-为自然对数的底数.(1)当0a >时,试求()f x 的单调区间;(2)若函数()f x 在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有三个不同的极值点,求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调增区间为()1,∞+,单调减区间为()0,1；（2）()e -- 【解析】试题分析：（1）借助题设条件运用导数的知识求解；（2）依据题设运用导数的有关知识进行分析探求. 试题解析：（1）函数的定义域为()0,x ∈+∞,()()()()()()22211111'1x x xe ax x e x e x ax xf x a x x x x +---+-⎛⎫=+-== ⎪⎝⎭.当0a >时，对于 ()0,,0x x e ax ∀∈+∞+>恒成立，所以，若()1,'0x f x >>，若()01,'0x f x <<<，所以()f x 的单调增区间为1,，单调减区间为0,1.（2）由条件可知()'0f x =，在1,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭上有三个不同的根，即0x e ax +=在1,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有两个不同的根，且a e ≠-，令()xe g x a x==-，则()()1'xe x g x x-=-，当1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，()1,2x ∈单调递减，()g x ∴的最大值为()()2111,222g e g g e ⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭，而22110,22e e a e ⎛⎫--=->∴-<- ⎪⎝⎭.考点：导数与函数的单调性的关系等有关知识的综合运用.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以函数解析式()()ln xe f x a x x x =+-为背景,精心设置了两个问题,旨在考查导数知识与函数单调性和极值的关系等方面的综合运用以及分析问题解决问题的能力.本题的第一问是求函数()()ln xe f x a x x x=+-的单调区间,求解时运用求导法则借助的范围及导数与函数的单调性的关系,分别求出求出其单调区间；第二问则通过构造函数()xe g x a x==-,运用求导法则及转化化归思想,分析推证建立不等式,从而求出,使得问题获解.22.在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为824πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点(1,0)P 作倾斜角为45︒的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，试求11PA PB+的值． 【答案】（1）22880x y x y +--=；（2314【解析】 【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求出直线l 的参数方程，代入圆的方程可得：27270t t --=，利用根与系数的关系可得结果. 【详解】（1）将曲线C 的极坐标方程，化为直角坐标方程为22880x y x y +--=；（2）直线l 的参数方程为：21222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将其带入上述方程中得：27270t t --=， 则1212727t t t t ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩所以12121211113147t t PA PB t t t t -+=+==. 【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程及其应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数()()230f x x m x m m =--+>. （1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）{}31x x -≤≤- (2) 605m << 【解析】 【分析】(1)先由1m =，将原函数变为()123f x x x =--+，将函数写出分段函数的形式，解不等式即可； (2)先由题意可知，对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，等价于()()max min 21f x t t <++-，进而可求出结果.【详解】（1）当1m =时，()34,2312332,124,1x x f x x x x x x x ⎧+<-⎪⎪⎪=--+=---≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩因为()1f x ≥，所以3241x x ⎧<-⎪⎨⎪+≥⎩或者312321x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--≥⎩或者141x x >⎧⎨--≥⎩ 解得：332x -≤<-或者312x -≤≤-， 所以不等式()1f x ≥的解集为{}31x x -≤≤-.（2）对于任意实数x ，t ，不等式()21f x t t <++-恒成立，等价于()()max min21f x t t <++-因为()()21213t t t t ++-≥+--=，当且仅当()()210t t +-≤时等号成立， 所以()min213t t ++-=因为0m >时，()23f x x m x m =--+= 34,2332,24,m x m x m x m x m x m x m ⎧+<-⎪⎪⎪---≤≤⎨⎪-->⎪⎪⎩函数()f x 单增区间为3,2m ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭，单间区减为3,2m ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭， 所以当32m x =-时，()max 3522m mf x f ⎛⎫=-=⎪⎝⎭所以532m<， 所以实数m 的取值范围605m <<. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式解法，以及不等式恒成立问题，属于中档试题.。