第9章 振动学基础答案9.4 一个运动质点的位置与时间的关系为 m t x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=325cos 1.0ππ , 其中x 的单位是m , t 的单位是s .试求：（1）周期、角频率、频率、振幅和初相位； （2）t =2s 时质点的位移、速度和加速度.解：（1）由题中质点位置与时间的关系便知，振幅A =0.1m ，初相位3πϕ=，角频率s rad /25πω=，频率Hz 45=ν，周期s f T 8.0541===（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==325sin 41πππυt dt dx ；⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==325cos 85222πππt dt x d a 则当t=2s 时，质点的位移，速度和加速度分别为m x 05.03cos 1.03225cos 1.0-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=πππ；s m /68.0833sin 413225sin 41===⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-=ππππππυ222/1.33cos 853225cos 85s m a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-=πππππ9.5 一个质量为2.5kg 的物体，系于水平放置的轻弹簧的一端，弹簧的另一端被固定.若弹簧受10N 的拉力,其伸长量为5.0cm,求物体的振动周期.解：由kx f =可得弹簧的经度系数为 m N x f k /1021051022⨯=⨯==- 弹簧振子的周期 s k m T 70.01025.2222=⨯==ππ9.6 如图9.27图所示 ,求振动装置的振动频率,已知物体的质量为m ,两个轻弹簧的劲度系数为1k 和2k 。
解：设物体离开平衡位置的位移是x ，此时物体所受合力x k k f )(21+-=作为线性回复力，则有021=++x m k k x故m k k 21+=ω mk k 2121+=πν9.7 如图9.28所示 , 求振动装置的振动频率,已知物体的质量为m ,两个轻弹簧的径度系数为1k 和2k 。
解：设物体m 离开平衡位置的位移为x ，所受线性回复力为f 则有）（12211x k x k f -=-= )2(21xx x =+（1）、（2）联立解之得 212121/1/11k k k k x k k f +-=+-=所以有振动方程0)(12121=++x k k k k m x，则 )(21,)(21212121k k m k k k k m k k +=+=πνω9.8 仿照式（9.15）的推导过程,导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式.解：对于单摆系统中的物体m ，其振动动能 2222121θυ ml m E k == 系统的势能（重力势能）221)cos 1(θθmgl mgl mgh E p ≈-== 而系统的总能量 201θm gl E E E p k =+= 所以20212212221θθθmglmglml =+ 由此得：)()(22022202θθωθθθ-=-=lg )220θθωθ-±= 9.9 与轻弹簧的一端相接的小球沿x 轴作简谐振动,振幅为A ,位移与时间的关系可以用余弦函数表示.若在t =0时,小球的运动状态分别为（1）x = - A ；（2）过平衡位置,向x 轴正向运动；（3）过x =A /2处,向x 轴负向运动；（4）过2/A x =处,向x 轴正向运动.试确定上述状态的初相位. 解：位移x 与时间t 的一般关系可表为 )cos(ϕω+=t A x（1）t =0时，A x -=， 则有ϕcos A A =-， 即1cos -=ϕ。
则初相πϕ=（2）t =0时，过平衡位置，向x 轴正向运动，即 0cos ==ϕA x ，0sin >-=ϕωA dtdx由此可知初相2/πϕ-=.图9.27 题9.6示图 图9.28 题9.7示图（3）过2/A x =处，向x 轴负向运动，即t =0时2A x =，0<dtdx ∴有21cos 2cos =→=ϕϕA A 及 0s i n <-ϕωA 由此得初相3πϕ=（4）过2/A x =处，向x 轴正向运动，即t =0，2A x =，0>dt dx∴有 22c o s 2c o s =→=ϕϕA A 及0sin >-ϕωA .由此得初相4πϕ-=. 9.10 长度为l 的弹簧,上端被固定,下端挂一重物后长度变为l +s ,并仍在弹簧限度之内.若将重物向上托起,使弹簧缩回到原来的长度,然后放手,重物将做上下运动.（1）证明重物的运动是简谐振动；（2）求简谐振动的振幅、角频率和频率； （3）若从放手时开始计时,求此振动的位移与时间的关系（向下为正）. 解：（1）以平衡位置为坐标原点，向下为x 轴正向，则在位移为x 处，重物所受之力为)(s x k mg F +-= 在平衡位置x =0，F =0。
则mg=ks 。
所以kx F -=，即合力为线性回复力，则重物的运动是简谐振动。
（2）简谐振动的振幅A =s.角频率 m k =ω 频率mk ππων212/==（3）设)cos(ϕω+=t A x t =0时，s x -= 则得πϕ=∴振动的位移与时间的关系为)cos(π+=t mk s x9.11 一个物体放在一块水平木板上,此板在水平方向上以频率v 作简谐振动.若物体与木板之间的静摩擦系数为0μ ,试求使物体随木板一起振动的最大振幅.解：设简谐运动的位移与时间的关系为 )c o s (ϕω+=t A x则加速度)cos(2ϕωω+-==t A x a ，那么物体所受的最大力为m A mA F m 2224νπω== 而这力要靠静摩擦力来充当。
故有mg A m 0224μνπ≤ 由此得物体随木版一起振动的最大振幅为220max 4νπμgA =9.12 一个物体放在一块水平木板上,此板在竖直方向上以频率v 作简谐振动.试求使物体随木板一起振动的最大振幅.解：同题9.11，这里物体要做简谐振动，重力和支持力之和充当回复力，所以有：N mg A m +<224νπ.当N 刚要为0时，振幅达到最大。
由此得22max 4νπgA =9.13 一个系统作简谐振动,周期为T ,初相位为零.问在哪些时刻物体的动能与势能相等？ 解：由初相为零则简谐振动可表为 )cos(t A x ω= 简谐振动的动能 t A m m E k ωωυ2222s i n 2121==，势能 t A m kx E p ωω2222cos 2121== 动能与势能相等，即p k E E = t t ωω22cos sin =∴有，那么24ππωnt +±= ),2,1,0( =n ，由此得在下式表示的时刻动能和势能相等： 8/)12(4/2/T n n t +=±=ωππ9.14 质量为10g 的物体作简谐振动,其振幅为24cm,周期为1.0s,当t =0时,位移为+24cm,求：（1） t =1/ 8 s 时物体的位置以及所受力的大小和方向；（2）由起始位置运动到x =12cm 处所需要的最少时间；（3）在x =12cm 处物体的速度、动能、势能和总能量。
解：A =24cm=0.24m ，s rad T /2/22πππνω===由t =0时x =0.24m 得初相0=ϕ. 所以简谐振动为 t x π2c o s 24.0=（1）s t 8/1=时，位移为 m x 17.02/224.08/12cos 24.0=⨯=⨯=π所受力N x m f 22107.68/2cos 24.0)2(01.0-⨯-=⨯⨯-==ππ . 负号代表方向与位移的方向相反。
（2）由t π2cos 24.012.0= 得最少时间s 61=t （3）在)s 6/112==t cm x 处（即物体的速度 m /s 31.13/sin 24.022sin 24.02-=⨯-=⨯-==ππππυt x动能 J m E k 322106.8)31.1(01.02121-⨯=-⨯⨯==υ势能 J A m kx E p 3222222108.241)24.0()2(01.0213cos 2121-⨯=⨯⨯⨯⨯===ππω 则总能量 J E E E p k 231014.110)8.26.8(--⨯=⨯+=+=9.15 质量为0.10kg 的物体以m 2100.2-⨯ 的振幅作简谐振动，其最大加速度为20.4-ms ,求：(1) 振动周期；(2) 通过平衡位置的动能；(3) 总能量.解：由题知，最大的加速度 22m a x 0.4-==ms A a ω 由此得角频率为 r a d /s 14.14100.20.42max =⨯==-A a ω（1）振动周期 s 45.014.14221====πωπνT （2）通过平衡位置的动能J A m m E k 322222max 100.4)100.2(2001.0212121--⨯=⨯⨯⨯⨯===ωυ（3）总能量 J A m E 322100.421-⨯==ω 9.16一个质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动：()3/2cos 05.01π+=t x 和 ()3/22cos 06.02π-=t x （式中x 的单位是m ，t 的单位是s ）,求合振动的振幅和初相位.解：πππφφφ-=--=-=∆3/3/212 1c o s -=∆φ则由合振动的振幅和初相公式得：m A A A A A A A 01.006.005.0cos 221212221=-=-=∆++=ϕ323arctan )3/2cos(06.03/cos 05.0)3/2sin(06.03/sin 05.0arctan cos cos sin sin arctan22112211πππππφφφφφ-==-+-+=++=A A A A9.17 有两个在同一直线上的简谐振动：()m t x 4/310cos 05.01π+=和()m t x 4/10cos 06.02π-=,试问：（1）它们合振动的振幅和初相位各为多大？（2）若另有一简谐振动 ()m t x φ+=10cos 07.03 ,分别与上两个振动叠加,φ为何值时, 31x x + 的振幅最大？φ为何值时, 32x x +的振幅最小？解（1） m A A A A A A A A A A A 01.02)cos(22121222112212221=-=-+=-++=ϕϕ4/2πϕϕ-==（2）若31x x +振幅最大，则),2,1,(24/31 o k k =±=-=-ππφϕφ ，),2,1,0(24/3 =±=k k ππφ若32x x +振幅最小，则ππφϕφ)12(4/2+±=+=-k ，),2,1,0(4/324/)12( =+±=-+±=k k k ππππφ9.18 在同一直线上的两个同频率的简谐振动的振幅分别为0.04m 和0.03m,当它们的合振动振幅为0.06m 时,两个分振动的相位差为多大？解：φ∆++=cos 22122212A A A A A24/1103.004.0203.004.006.02cos 2222122212=⨯⨯--=--=∆A A A A A φ，相位差 '42627.6200==∆φ.9.19 一个质量为5.00kg 的物体悬挂在弹簧下端让它在竖直方向上自由振动.在无阻尼的情况下,其振动周期为s 3/1π=T ；在阻尼振动的情况下,其振动周期为s 2/2π=T .求阻力系数.解：当无阻尼时 3201πωπ==T 由此得rad/s 60=ω阻尼振动的周期为 222202πβωπ=-=T ，由此可求得阻尼常量1s rad 47.420-⋅==β阻力系数 kg/s 7.4447.400.522=⨯⨯==βγm9.20 试证明受迫振动的共振频率和共振时振幅的峰值分别为2202βωω-=r 和)2/(220βωβ-=h A r ,式中ω0是振动系统的固有角频率,β是阻尼常量.证明：受迫振动的振幅 )1('4)'(22222ωβωω+-=hA其中m F h /=，'ω是策动力的角频率，0ω是固有频率，共振频率就是使振幅A 取极大值的策动力频率，由0'=ωd dA得 [][]0'4)'('8'2)'(2212/32222202220=+-+---ωβωωωβωωωh 由此可求得 2202'βωω-= ，即共振角频率 2202βωω-=r （2）共振时对应的振幅值为2202202222020222222)2(4)2(4)(βωββωββωωωβωω-=-++-=+-=h hhA rr9.21 容量为10微法的电容器充电至100伏，再通过100欧的电阻和0.4亨的电感串联放电。