Pi 定理，由这 3 个基本解可
以得到 3 个无量纲量，选取 υ ,d, ρ 为三个基本物理量， 由上面的 1,2,4 列知这三个物理量在量纲上式独立的，这样 有：
π1 = υdμ-1ρ
-2 -1
υdρ = , μ
ΔP = υ2ρ ,
6
7
π2 = υ ρ ΔP
最后通过 MATLAB 化成：
1 0 2 0 2 0 0 1 -3 0 0 1 0 0 0 1 1 0
得到三个基本解： υ
d μ ρ ΔP l
1,
T 1, -1, 1, 0 0
0, 0, -1, 1 0 T
T
-2,
0,
1, 0, 0, 0
1
根据量纲分析的 Buckingham
通过水在实验管， 不锈管管管的直径为 0.0027m,管的长度为 1.0m。 水的密度 ρ 为 998.41kg/m ,。 粘度为 0.001047Pa.S。 模拟实验得到层流时的数据： （水温为 21.5℃） 序号 1 2 3 4 5 6 压降 ΔP/Pa 1490 2240 2640 2910 3150 3770
2.743579 2.979224 3.290612
d=0.0205; l=1.5; p=998.6; u=0.001104; P=data(:,1); V=data(:,2); Re=p*d/u.*V Rx=2*d/(l*p)./(V.^2) .*P; Y=log(Rx); X=log(Re); A=polyfit(X,Y,2); YX=poly2str(A,'X') X1=9:0.1:12; Y1=polyval(A,X1); plot(X,Y,'bp',X1,Y1,'r'); hold on; legend('数据点','二次拟合曲线');
- 8 -
mesh(d,V,Re); title('Re与d、V的图');
3、绘制阻力系数 λ（Rx）与压差 P,流速 v 的曲面图 clc clf clear d=0.0205; l=1.5; p=998.6; u=0.001104; x=[ 1000 :10: 2000 ]; y=[0.5:0.1:5]; [V,P]=meshgrid(y,x); Rx=2*d/(l*p)./(V.^2) .*P; mesh(V,P,Rx); title('阻力系数Rx与V、P的图');
B= rref(A)
2、绘制雷诺数 Re 与管径 d,流速 v，密度 ρ 等的曲面图 clc clear clf x=[ 0.1 :0.01: 2 ]; y=[0.5:0.1:5]; [d,V]=meshgrid(x,y); l=1.5; p=998.6; u=0.001104; Re=p*d./u.*V;
π3 = ld
-1
=
l , d
8
且存在某个函数 F 使得
F π1, π2, π3 =0
与(2)等价
9
- 6 -
υdρ π1 = , μ
ΔP π2 = υ2ρ ,
6
7
l Π3= d
,
8
11
10
1 2 l υdρ Δp = ρ υ ψ , 2 d μ
1 2l Δp = ρυ ψ Re , 2 d
l υ2 Δp = λ ρ , d 2
12
13
- 7 -
三、MATLAB 数字计算 1、量纲分析中的矩阵运算 clc clear A=[1 0 -1 1 0 0 -1 -3 0 -2 1 0 -1 1 -2 1 0 0];
3 -4 2
序号 1 2 3
压降 ΔP/pa 370 780 1190
- 3 -
流速 υ/(m/s) 0.605944 0.883668 1.110897
4 5 6 7 8 9 10
1840 2580 3500 4590 6010 6990 8400
1.422285 1.708425 2.028229 2.356448 2.743579 2.979224 3.290612
- 1 -
一、题目 1、背景 背景一：冶金现象是错综复杂的，许多实际问题单靠数 学分析很难解决，绝大部分难以列出微分方程，有的即使列 出微分方程也难以求解。因此，以相似原理为基础的模型研 究方法得到了日益广泛的应用，取得了许多重要成果。相似 原理提供了模拟研究的理论基础。但在实际模型研究中，由 于一些物理量相互制约，保证模型与实物完全相似是很难实 现的。为使模型研究得以进行，就必须采用近似模型研究的 方法。近似模化法，就是尽量保证模型研究中的主要物理量 相似，次要物理量只做近似保证，甚至忽略不计。例如，管 道内流体流动是有压流动，决定流动状态的是 Re，而不是 Fr。因而模型研究时只需考虑 Re，Fr 可以忽略。又如，熔池 中钢液流动的情况，由于熔池内温度很高，温度场、浓度场 都不均匀，钢液中还有气泡，因此要使模型中的介质与实物 完全一致是很难的。一般采用常温液体（如水）做介质来模 化，这称为“冷态模化法”。 背景二： 不同物理量如能组成物理方程,不论其在形式上 如何变化,各项的量纲必须一致 ,这就是量纲和谐原理。量纲 和谐原理是量纲分析的基础。在推导出新的物理关系后，首 先要考虑量纲是否和谐。 π 定理或白金汉定理：π 定理是更 为普遍的量纲分析方法，是美国物理学家白金汉 1941 年提
数学实验大作业
日期：2013 年 01 月 02 日
目录 一、题目 ...................................................... - 2 1、背景 ................................................... - 2 2、题目 ................................................... - 3 二、建立数学模型 .............................................. - 5 1、量纲分析法 .............................................. - 5 三、MATLAB 数字计算 ............................................ - 8 1、量纲分析中的矩阵运算 .................................... - 8 2、绘制雷诺数 Re 与管径 d,流速 v，密度 ρ 等的曲面图 .......... - 8 3、绘制阻力系数 λ （Rx）与压差 P,流速 v 的曲面图 ............. - 9 4、对水在钢管流动中实验数据进行拟合 ....................... - 10 5、对于层流流动时实验数据拟合 ............................. - 12 四、数值计算结果 ............................................. - 14 1、量纲分析............................................... - 14 2、绘制雷诺数 Re 与管径 d,流速 v 的曲面图 ................... - 15 3、绘制阻力系数 λ （Rx）与压差 P,流速 v 的曲面图 ............ - 15 4、对水在钢管流动中实验数据进行拟合 ....................... - 17 5、对于层流流动时实验数据拟合 ............................. - 18 6、对于层流流动时实验数据的处理 ........................... - 19 五、分析数据处理后的结果 ..................................... - 20 六、原题的求解结果 ........................................... - 21 1、题中数据............................................... - 21 2、求解 .................................................. - 21 七、总结体会 ................................................. - 22 -
π = π ψ π2 由 1 3
为了得到型如（1）的关系取特殊形式
1 υdρ Δpρ-1υ-2l d-1 = ψ , 2 μ
9
1 l υdρ Δp=ρ υ2 ψ , 2 d μ
10
在流体力学中 Re 为雷诺数，λ 为ψ(Re) μ
ΔP=φ υ, d,μ, ρ, l
记作更一般的形式:
1
f υ,d,μ,ρ,ΔP,l = 0
函数关系
2
其中有 6 个物理量,接下来的任务是用量纲分析法确定这个
取 3 个基本量纲：长度 L 质量 M 和时间 T
f υ,d,μ,ρ,ΔP,l = 0
2
中各个物理量的量纲分别是:
d = L, υ = LT-1, μ = L-1MT-1,
clc clf clear V=1.0;
- 9 -
l=1.5; p=998.6; u=0.001104; x=[ 1000 :10: 2000 ]; y=[0.5:0.1:5]; [P,d]=meshgrid(y,x); Rx=2.*d/(l*p)./(V.^2) .*P; mesh(P,d,Rx); title('阻力系数Rx与P、d的图');
- 4 3
流速 υ/(m/s) 0.342989493 0.507640088 0.581273633 0.633910794 0.682540739 0.747761108