2017中考第22题类比探索题专题（一）例1.（1）问题发现如图1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE填空：（1）∠AEB的度数为；（2）线段BE 之间的数量关系是 。

（2）拓展探究如图2，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为△DCE 中DE 边上的高，连接BE 。

请判断∠AEB 的度数及线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系，并说明理由。

（3）解决问题如图3，在正方形ABCD 中，CD=2。

若点P 满足PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A 到BP 的距离。

例2.如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90°，∠B =∠E =30°. （1）操作发现如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是_________；②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是_________________. （2）猜想论证当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜想.（3）拓展探究已知∠ABC =60°，点D 是其角平分线上一点，BD =CD =4，DE //AB 交BC 于点E （如图4）.A (D )B (E )C图1ACBDE 图2M 图3AB CDN E DB A图4专题训练1.等腰△PAB中, ∠PAB=900,点C是AB上一点(与A、B不重合),连接PC,将线段PC绕点C顺时针旋转900,得到线段DC,连接P D、BD.探究∠PBD的度数,以及线段AB及B D、BC的数量关系.⑴尝试探究：如图点C在线段AB上,可通过证明△PAC∽△PBD,得出结论：∠PBD= ；AB= (不需要证明)⑵类比探索：点C在直线AB上,且在点B右侧,还能得出与⑴相同的结论吗?请写出你得出的结论并证明;⑶拓展迁移: 点C在直线AB上,且在点A左侧,请补充完成图形,并直接写出得到的结论.2.如图①,正方形AEFG的边长为1,正方形ABCD的边长为3,且点F在AD上.⑴求△DBF的面积;⑵把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转450,得到图②,求图②中的△DBF的面积;⑶把正方形AEFG绕点A旋转一周,在旋转过程中, △DBF存在最大值与最小值,请直接写出最大值,最小值3.【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．4.某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图1，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合．三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．（1）求证：DP=DQ；（2）如图2，小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；（3）如图3，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小明算出△DEP的面积．5.已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．（第25题图）图3图2图1FEPCBDAFEPDCBAFEPDCBA6.有一副直角三角板，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF 中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B 与点F 重合，直角边BA 与FD 在同一条直线上．现固定三角板ABC ，将三角板DEF 沿射线BA 方向平行移动，当点F 运动到点A 时停止运动．（1）如图2，当三角板DEF 运动到点D 到点A 重合时，设EF 与BC 交于点M ，则∠EMC= 度； （2）如图3，当三角板DEF 运动过程中，当EF 经过点C 时，求FC 的长；（3）在三角板DEF 运动过程中，设BF=x ，两块三角板重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数解析式，并求出对应的x 取值范围．7.已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点G ． （1）如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证CDADCF DE =； （2）如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，使得CDADCF DE =成立？并证明你的结论；（3）如图③，若BA =BC =6，DA =DC =8，∠BAD ＝90°，DE ⊥CF ，请直接写出CFDE的值．8.如图，矩形ABCD 中，∠ACB =o30，将一块直角三角板的直角顶点P 放在两对角线AC ,BD 的交点处，以点P 为旋转中心转动三角板，三角板的两直角边分别于边AB ,BC 所在的直线交于E ,F . (1)当PE ⊥AB ,PF ⊥BC 时，如图1，则PEPF的值为 . (2)现将三角板绕点P 逆时针旋转α（oo060α<<）角，如图2，求PEPF的值； (3)在（2）的基础上继续旋转，当oo6090α<<，且使AP :PC =1：2时，如图3，PEPF的值是否变化？证明你的结论.E F GABCD第24题图①第24题图②ABCDF GE第24题图③ABCDF GE【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形．第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PB C．（1）说明△PBC是等边三角形．【数学思考】（2）如图④．小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PB C．他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形．请描述图形变化的过程．（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为acm．对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形．请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．【问题解决】（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为cm．如图1，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上，AE ＝DG ，求证：2S 四边形EFGH ＝S 矩形ABCD ．（S 表示面积）实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AH ≠BF ，点G 在CD 上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E 、G 作BC 边的平行线，再分别过点F 、H 作AB 边的平行线，四条平行线分别相交于点A 1、B 1、C 1、D 1，得到矩形A 1B 1C 1D 1．如图2，当AH ＞BF 时，若将点G 向点C 靠近（DG ＞AE ），经过探索，发现：2S 四边形EFGH ＝S 矩形ABCD ＋1111A B C D S 矩形． 如图3，当AH ＞BF 时，若将点G 向点D 靠近（DG ＜AE ），请探索S 四边形EFGH 、S 矩形ABCD 与1111A B C D S 矩形之间的数量关系，并说明理由． 迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：（1）如图4，点E 、F 、G 、H 分别是面积为25的正方形ABCD 各边上的点，已知AH ＞BF ，AE ＞DG ，S 四边形EFGH＝11，HF ＝29，求EG 的长．（2）如图5，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，点E 、H 分别在边AB 、AD 上，BE ＝1，DH ＝2，点F 、G 分别是边BC 、CD 上的动点，且FG ＝10，连接EF 、HG ，请直接写出四边形EFGH 面积的最大值．如图，在矩形纸片ABCD中，已知AB＝1，BC＝3，点E在边CD上移动，连接AE，将多边形ABCE沿直线AE翻折，得到多边形AB′C′E，点B、C的对应点分别为点B′、C′．(1)当B′C′恰好经过点D时(如图1)，求线段CE的长；(2)若B′C′分别交边AD，CD于点F，G，且∠DAE＝22.5°(如图2)，求△DFG的面积；(3)在点E从点C移动到点D的过程中，求点C′运动的路径长．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．(1)若AP=1，则AE=；(2)①求证：点O一定在△APE的外接圆上；②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；(3)在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．如图1，△ABC中，∠B=30°，AB=3，BC=4，则△ABC的面积等于．【探究】图2是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a；另一个含有45°的角，直角边长为b，小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD（如图3），用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin75°=62+，小丽用两副这样的三角尺拼成了一个矩形EFGH（如图4），也推出sin75°=62+，请你写出小明或小丽推出sin75°=62+的具体说理过程．【应用】在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=75°，BC=6，CD=5，AD=10（如图5）（1）点E在AD上，设t=BE+CE，求t2的最小值；（2）点F在AB上，将△BCF沿CF翻折，点B落在AD上的点G处，点G是AD的中点吗？说明理由．。