华中师范大学 2006–2007 学年第一学期
期末考试试卷（A 卷）参考答案
课程名称 高等代数与解析几何(三) 编号 83410005 任课教师 樊、朱、刘
题型 填空题 判断题 计算题 证明题 总分 分值 15 15 50 20 100 得分
得分 评阅人 一、填空题：（共5题，每题3分，共15分）
1、一个向量α构成的向量组线性无关当且仅当 0≠α .
2、矩阵⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛300130013的初等因子组为3)3(-λ.
3、设A 为向量空间V 到U 的线性映射，则))dim(Im())(Ker dim(A A + = dim(V ) .
4、设A E -λ的初等因子组为22)1(,1,,--λλλλ，则A E -λ的不变因子组是
22)1(),1(,1,1,1,1--λλλλ.
5、设A 是复矩阵，如果A 满足 A A A A ''= , 则称A 是正规矩阵 .
得分 评阅人 二、判断题： （共5题， 每题3分， 共15分，对的请打“ √ ” ，错的请打 ”⨯”）
1、设)(λA 是n 阶λ—矩阵，则)(λA 可逆当且仅当)(λA 是有限个初等λ—矩阵的乘积。
（√ ）
2、正交变换的积还是正交变换. （ √ ）
3、对称变换的积还是对称变换. （ ⨯ ）
4、 若A 为线性空间V 到U 的线性映射，且为单射，则A 为V 到U 的同构映射.（ ⨯ ）
5、向量空间V 的任何子空间W 都有补子空间. （ √ ）
得分 评阅人 三、计算题： （共3题，共50分）
1、 (本题20分) 设⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=4342313A .
（1） 求A 的特征矩阵； （2） 求A 的子式因子组； （3） 求A 的不变因子组； （4） 求A 的初等因子组； （5） 求A 的若当标准形.
解： （1）A 的特征矩阵为： ⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛-------=-4342313λλλλλA E ； （4分）
（2）由于A E -λ存在一个三阶子式
3
4231
-----λλ=6，所以A 的子式因子组为
,1)()()(321=∆=∆=∆λλλ 而224)4()3(4
3
42
31
3)(--=-------=∆λλλλλλλ。
（8分）
（3）由子式因子组和不变因子组之间的关系，得A 的不变因子为： ,1)()(11=∆=λλd
22344233122)4()3()()
()(,1)()()(,1)()()(--=∆∆==∆∆==∆∆=
λλλλλλλλλλλd d d （12分） （4） 由初等因子组和不变因子组之间的关系，得A 的初等因子组为：2
)3(-λ，2
)4(-λ；（16分）
（5） A 的Jordan 标准形为：⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=41
431
3
J 。
（20分）
2、 （本题10分） 设线性变换A 在基底(n εεε,,,21 )下的矩阵为
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01010 A ，而 (n ααα,,,21 )= (n εεε,,,21 )⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛
11
1 , 求线性变换A 在基底(n ααα,,,21 )下的矩阵.
解： A (n ααα,,,21 )=A (n εεε,,,21 )⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 =(n εεε,,,21 )A ⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛
11
1 =(n ααα,,,21 )1
11
1-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛1
11 （5分） 所以线性变换A 在基底(n ααα,,,21 )下的矩阵为
1
11
1-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛010
10 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01010 （10分）
3、 （本题20分） 设A = ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-002002220i i ，
(1) 证明：矩阵A 是正规矩阵；
(2) 求酉矩阵Q ，使得AQ Q 1-为对角形，并写出此对角形.
解：（1） 因为有
'A A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-002002220i i '
002002220⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-i i =⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-002002220i i ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-002002220i
i =A A A '2= 所以矩阵A 是正规矩阵。
（5分） （2） 由
于
λλλλ020222||---=-i i A E =022
102222λλλλi i i ----=λ
λλi i ---22
12)2(2
=)8(2
-λλ，
所以A 的特征根为22,22,0321-===λλλ。
（11分） 当01=λ时， 解线性方程组AX =0,得基础解系为：()'
110
i =η。
（12分）
当222=λ时， 解线性方程组0)22(=-X A E ,得基础解系为：()
'
212i -=
η。
（13分） 当223-=λ时， 解线性方程组0)22(=+X A E ,得基础解系为：(
)
'
312
i --=η。
（14分） 将这三个向量单位化得：
'
111212
10||⎪⎭
⎫ ⎝
⎛
==
i
ηηξ，'
222212
1
2
2||⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-==i ηη
ξ '
333212
122
||⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--==
i ηηξ， 令 ⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---==11222202
1)(321i i i Q ξξξ （17分） 则Q 是酉矩阵，且 AQ Q 1
-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-222
20。
（20分）
得 分 评阅人 四、证明题：（共2题，共20分）
1、 （本题10分） 设A 是酉空间V 的一个对称变换，W 是A 的不变子空间，证明：
⊥W 也是A 不变子空间.
证明： 由A 是酉空间V 的对称变换 ， 故A =A*， 从而对任意的 W W
∈∈⊥βα,,
，有
〉〈=〉〈=〉〈βαβαβαA A A ,*,, （5分）
又因为W 是A 的不变子空间，故对任意的W ∈β，有W A ∈β，从而
0,,=〉〈=〉〈βαβαA A
所以 ⊥
∈W A α,即⊥
W 也是A 不变子空间。
（10分）
2、 （本题10分） 设A 是酉空间V 的正规变换，α是A 的属于特征值0λ的特征向
量，证明：α是A * 的属于特征值0λ的特征向量.
证明：由假设，αλα0=Α，且由A 是酉空间V 的正规变换，从而
〉〈αα**A A ,=〉〈ααA A ,， （3分）
故有
〉--〈αλααλα0*0*,A A =〉〈αα**,A A -〉〈αλα0*,A -〉〈ααλ*0,A +〉〈αλαλ00,
= 〉〈ααA A ,-〉〈αλα0**)(,A -〉〈ααλ,0A +〉〈αλαλ00, = 〉〈ααλλ,00-〉〈αλα0,A -〉〈ααλλ,00+〉〈ααλλ,00
= 〉〈ααλλ,00-〉〈ααλλ,00-〉〈ααλλ,00+〉〈ααλλ,00 = 0 . （8分）
由内积的正定性，有00*
=-αλαA
，因此 αλα0*=A （10分）。