高等代数(下）期末考试试卷及答案（B 卷）
一．填空题（每小题3分，共21分）
1. 22
3[]-2-31,(-1),(-1)P x x x x x 在中,在基下的坐标为
2. 设n 阶矩阵A 的全体特征值为12,,,n λλλ，()f x 为任一多项式，则()f A 的
全体特征值为 .
3.'=n 在数域P 上的线性空间P[x]中,定义线性变换:(,则的值域())()A A f x f x A
()-n P[x]=
,的核(0)=
1A A A
4．已知3阶λ-矩阵A （λ）的标准形为21 0 00 00 0λλλ⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪+⎝⎭
，则A （λ）的不变
因子________________________； 3阶行列式因子 D 3 =_______________.
5. 若4阶方阵A 的初等因子是（λ-1）2，（λ-2），（λ-3），则A 的若当标准形
J=
6.在n 维欧氏空间V 中，向量ξ在标准正交基12,,
,n ηηη下的坐标是
12(,,
,)n x x x ，那么(,)i ξη＝
7. 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是 ．
二. 选择题( 每小题2分，共10 分)
1.( ) 已知{(,),,,}V a bi c di a b c d R =++∈为R 上的线性空间， 则dim(V)为
(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) 4
2. ( ) 下列哪个条件不是n 阶复系数矩阵A 可对角化的充要条件 (A) A 有n 个线性无关的特征向量； (B) A 的初等因子全是1次的； (C) A 的不变因子都没有重根； (D) A 有n 个不同的特征根； 3．( ) 设三阶方阵A 的特征多项式为322)(23+--=λλλλf ，则=||A
(A) 1; (B) 2; (C) 3; (D) -3 4.( )设2121),2,1,2(),1,1,0(ααβαα+=-=-=k ，若β与2α正交，则 (A) k=1; (B) k=4; (C) k= 3; (D) k=2 5．( )下列子集哪个不是R 3的子空间
(A) }1|),,{(233211=∈=x R x x x w (B) }0|),,{(333212=∈=x R x x x w (C) }|),,{(32133213x x x R x x x w ==∈= (D) }|),,{(32133214x x x R x x x w -=∈=
三.判断题(对的打”√”,错的打”X ”,每小题2分,共12分)
1.( )设n n V P ⨯=，则{,0}n n W A A P A ⨯=∈=是V 的子空间.
2.( ）12,,
,n εεε是n 维欧氏空间的一组基，矩阵()
ij
n n
A a ⨯=，其中
(,)ij i j a εε=，则A 是正定矩阵.
3．( ) 若n 维向量空间P n 含有一个非零向量，则它必含有无穷多个向量． 4．（ ）在线性空间R 2中定义变换σ：(,)(1,)x y x y σ=+，则σ是R 2的一个线性变换. 5.（ ）设V 是一个欧氏空间，,V αβ∈，并且αβ=，则αβ+与αβ- 正交。

6. ( ）λ－矩阵A(λ)可逆的充要条件是()0.A λ≠
四.计算题（3小题，共30分）
1．已知α关于基123,,βββ的坐标为（1，0，2），由基 123,,ααα 到基123,,βββ的
过渡矩阵为⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛012001423, 求α关于基123,,ααα的坐标. (8分)
2. 设V 是数域P 上一个二维线性空间, 12,εε和12,ηη是V 的两组基, V 的线性
变换Α在基12,εε下的矩阵为 2110⎛⎫ ⎪-⎝⎭
,又从基12,εε到基 12,ηη的过渡矩阵为
1112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭
, 求Α在基 12,ηη下的矩阵. (8分) 3. X TY T =用正交线性替换化下列二次型为标准型,并写出相应的正交矩阵:
222
123121323()22448f x x x x x x x x x x =---++ (14分)
五. 证明题 (每题9分，共27分)
1. 设V 为数域P 上的n 维线性空间，12,,
,n ααα为V 的一组基, 证明
V = L(11212,,,n αααααα+++
+) .
2．设n ααα,,,21 为n 维欧氏空间V 的一组基．证明：这组基是标准正交基的充分必要条件是，对V 中任意向量α都有
()n n αααααααααα,),(),(2211+++=
3. 设,στ都是数域P 上线性空间V 的线性变换, 且τσστ=, 证明 )Im(σ和
)(σKer 都是τ的不变子空间.
答案
幻灯片 1
,
,.
n λ全体特征值为幻灯片 2
幻灯片 3
维欧氏空间V 中，向量在标准正交基
ξ12,,(,,,)
n n x x x η下的坐标是(,)i ξη=
i
x 11......i i n n
x x x ηηη++++)()()
(11,...,...,i i i i n n x x x ηηηηηη=++++
幻灯片 4
幻灯片 5
幻灯片6
幻灯片7
,
,n ε是n ij a =，其中维向量空间则它必含有无穷多个向量。

0=⇒A +
幻灯片 8
幻灯片 9
幻灯片 10
1
2-⎝⎭()()()()()121212,,,P P
ηηεεεε==解：()()11212,,AP P AP
εεηη-==()(1
121
12111,1
21012ηηη---⎛⎫
⎛⎫⎛⎫==
⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭
⎝⎭⎝⎭即求 在基下的矩阵为12
,ηη1101⎛⎫
⎪⎝⎭
幻灯片 11
幻灯片12
幻灯片 13
2,,,n
αα()
11212,,
,n L αααααα++++12()0n n k ααα+++++=222...)...)0n n n n k k k k ααα++++++=,,n α是V 的一组基，故线性无关，
122...0 ...0 0
n
n k k k k k ++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪=⎩线性无关，
11212,,,n αααααα++++而此方程组只有零解，
V 的一组基，即()
11212,,,n V L αααααα=++++
幻灯片 14
2,,,n
αα的一组基，证明()
11212,,,n V L αααααα=+++
+12,
,n
ααα+++)()121
10
11,,,,,0
01n n A αααα⎫ ⎪
⎪
⎪ ⎪
⎝⎭
记作也是线性无关的，212,,n αααα++++的一组基，即()
11212,,,n V L αααααα=++++是可逆矩阵，而是线性无关组，12,,
,n ααα
11
幻灯片 15
这组基是标准正交基的充分必要条件是：对V 中任意
(,n αα+
+的一组标准正交基，
1122,n n
x x x ααααα=+++则对V 中任意向量有()()()()1122,,,,i i i n n i i x x x x αααααααα=+++=()(,)(,),n n
αααααααααα∴=+++任一向量
α
()2,n n
ααα++()1122,)(,),i i i n n ααααααααα+++[]()(,)1,i i i i n n αααααα+-++=n α的线性无关性，得(),(,)1
i i i j αα≠=是V 的一组标准正交基。

n α
幻灯片 16。