普通高等学校招生全国统一考试 数 学（理工类）（北京卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页,第II 卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束。

将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题共40分）注意事项： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试卷上。

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）在复平面内，复数ii+1对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2）若a 与b －c 都是非零向量，则“a ·b =a ·c ”是“a ⊥（b －c ）”的 （A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（3）在1，2，3，4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位数字之和为偶数的共有 （A ）36个 （B ）24个（C ）18个（D ）6个（4）平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 （A ）一条直线 （B ）一个圆（C ）一个椭圆（D ）双曲线的一支（5）已知),(1,log 1,4)13()(+∞-∞⎩⎨⎧≥<+-=是x x x a x a x f a上的增函数，那么a 的取值范 围是（A ）（0，1）（B ）（0，31） （C ）[71·31) （D ）71[，1）（6）在下列四个函数中，满足性质：“对于区间（1，2）上的任意).(,2121x x x x ≠ |||)()(|1212x x x f x f -<-恒成立”的只有（A ）xx f 1)(=（B ）||)(x x f =（C ）2)(=x f（D ）2)(x x f =（7）设)(),(22222)(11074n f N n n f n 则∈+++++=+Λ等于（A ）)18(72-n（B ）)18(721-+n（C ）)18(721-+n（D ）)18(721-+n（8）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口A 、B 、C 的机动车辆数如图所示，图中1x 、2x 、3x 分别表示该时段单位时间通过路段AB ， BC ，CA 的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出 的车辆数相等），则 （A ）321x x x >> （B ）231x x x >> （C ）132x x x >> （D ）123x x x >>绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文史类）（北京卷）第II 卷（共110分）注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

题 号 二三总 分（（（151617181920二、填空题：本大题共6小题，每小 题5分，共30分。

把答案填在题中横线上。

（9）123lim 221-++→x x x n 的值等于 . （10）在7)2(xx -的展开式中，2x 的系数是 .（用数字作答） （11）若三点A （2，2），B （a ，0），C （0，b ）（0≠ab ）共线，则ba 11+的值等于.（12）在△ABC 中，若C B A sin :sin :sin =5:7:8. 则∠B 的大小是 .（13）已知点P （x ，y ）的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+,1,4y x y y x 点O 为坐标原点，那么| PO |的最小值等于 ，最大值等于 .（14）已知A 、B 、C 三点在球心为O ，半径为R 的球面上，AC ⊥BC ，且AB =R ，那么A 、B 两点间的球面距离为 球心到平面ABC 的距离为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（15）（本小题共12分）已知函数xx x f cos )42sin(21)(π--=.（Ⅰ）求)(x f 的定义域；（Ⅱ）设α的第四象限的角，且34tan -=α，求)(αf 的值. （16）（本小题共13分）得分评卷人得分评卷人得分评卷人已知函数cx bx ax x f ++=23)(在点x 0处取得极大值5，其导函数)(x f y '=的图象经过点（1，0），（2，0），如图所示，求： （Ⅰ）x 0的值； （Ⅱ）a ，b ，c 的值. （17）（本小题共14分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P —ABCD 中，AB ⊥AC ，P A ⊥平面ABCD ，且P A =PB ，点E 是PD 的中点. （Ⅰ）求证：AC ⊥PB ； （Ⅱ）求证：PB //平面AEC ； （Ⅲ）求二面角E —AC —B 的大小. （18）（本小题共13分） 某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是a ，b ，c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响. 求：（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）得分评卷人得分评卷人（19）（本小题共14分）已知点M （－2，0），N （2，0），动点P 满足条件| PM |－| PN |=22，记动点P 的轨迹为W .（Ⅰ）求W 的方程；（Ⅱ）若A ，B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA 、OB 的最小值. （20）（本小题共14分）在数列||n a 中，若a 1，a 2是正整数，且=-=--n a a a n n n |,|213，4，5，…，则称||n a 为“绝对差数列”.（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）；（Ⅱ）若“绝对差数列” ||n a 中，0,32120==a a ，数列||n b 满足,21++++=n n n n a a a bn=1，2，3，…，分虽判断当∞→n 时，n n b a 与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值； （Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.绝密★启用前2006年普通高等学校招生统一考试 数学（理工类）（北京卷）参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）得分评卷人得分评卷人（1）D （2）C （3）B （4）A （5）C （6）A （7）D （8）C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）－21（10）－14 （11）21 （12）3π（13）210 （14）R R2331π 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共12分）解：（Ⅰ）由)(20cos Z k k x x ∈+≠≠ππ得，故)(x f 在定义域为},2|{Z k k x x ∈+≠ππ，（Ⅱ）因为34tan -=α，且α是第四象限的角， 所以53cos ,54sin =-=αα，故απααcos )42sin(21)(--=f αααcos )2cos 222sin 22(21--=αααcos 2cos 2sin 1+-=)sin (cos 2cos cos sin 2cos 22αααααα-=-= .514=（16）（共13分）解法一：（Ⅰ）由图象可知，在（－∞，1）上0)(>'x f ，在（1，2）上0)(<'x f ，在（2，+∞）上0)(>'x f ，故)(x f 在（－∞，1），（2，+∞）上递增，在（1，2）上递减， 因此)(x f 在x =1处取得极大值，所以x 0=1.（Ⅱ）c bx ax x f ++='23)(2，由,5)1(,0)2(,0)1(=='='f f f得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,5,0412,023c b a c b a c b a 解得.12,9,2=-==c b a解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）设,23)2)(1()(2m mx mx x x m x f +-=--=' 又c bx ax x f ++='23)(2，所以,2,23,3m c m b m a =-== .2233)(23mx mx x m x f +-=由5)1(=f ， 即,52233=+-m m m 得6=m ，所以.12,9,2=-==c b a （17）（共17分） 解法一：（Ⅰ）∵PA ⊥平面ABCD ，∴AB 是PB 在平面ABCD 上的射影. 又∵AB ⊥AC ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥PB.（Ⅱ）连接BD ，与AC 相交于O ，连接EO. ∵A BCD 是平行四边形， ∴O 是BD 的中点又E 是PD 的中点 ∴EO ∥PB.又PB ∉平面AEC ，EO ⊂平面AEC ，∴PB ∥平面AEC.（Ⅲ）取BC 中点G ，连接OG ，则点G 的坐标为（2a ,2b ,0），OG =（0，2b ,0）. 又).0,0,(),2,2,0(a AC bb OE =-= .0,0=⋅=⋅∴AC OC AC OE ∴OE ⊥AC ，OG ⊥AC ，∴∠EOG 是二面角E —AC —B 的平面角 ∵.22||||,cos cos -=⋅>=<=OG OE OG OE OG OE EOG ∴∠EOG=135°.∴二面角E —AC —B 的大小为135°. （18）（共13分）解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B ，C ，则P （A ）=a ，P （B ）=b ，P （C ）=c . （Ⅰ）应聘者用方案一考试通过的概率)()()()(1C B A P C B A P C B A P C B A P p ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= =abc b ac a bc c ab +-+-+-)1()1()1( =abc ca bc ab 2-++;应聘者用方案二考试通过的概率)(31)(31)(312C A P C B P B A P p ⋅+⋅+⋅==).(31ca bc ab ++（Ⅱ）因为]1,0[,,∈c b a ，所以abc ca bc ab p p 2)(3221-++=- =0)]1()1()1([32≥-+-+-b ca a bc c ab ，故21p p ≥，即采用第一种方案，该应聘者考试通过的概率较大. （19）（共14分） 解法一：（Ⅰ）由|PM|－|PN|=22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，实 半轴长.2=a又半焦距c =2，故虚半轴长222=-=a cb .所以W 的方程为2,12222≥=-x y x . （Ⅱ）设A ，B 的坐标分别为（).,(),,2211y x y x当AB ⊥x 轴时，2121,y y x x -==，从而.221212121=-=+=⋅y x y y x x OB OA当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为m kx y +=，与W 的方程联立，消 去y 得.022)1(222=----m kmx x k故12,122221221-+=-=+k m x x k km x x ， 所以 2121y y x x OB OA +=⋅=))((2121m kx m kx x x +++=221212)()1(m x x km x x k ++++=2222222121)2)(1(m k m k k m k +-+-++ =142122222-+=-+k k k .又因为021>x x ，所以012>-k ，从而.2>⋅OB OA综上，当AB ⊥x 轴时，OB OA ⋅取得最小值2. 解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）设A ，B 的坐标分别为（),(),,2211y x y x ，则).2,1(2))((22==-+=-i y x y x y x i i i i i i令i i i i i i y x t y x s -=+=,，则,2=i i t s 且=>>i t s i i (0,01，2）所以 2121y y x x OB OA +=⋅=))((41))((4122112211t s t s t s t s --+++ 2212121212121=≥+=t t s s t t s s ，当且仅当2121t t s s =，即⎩⎨⎧-==2121,y y x x 时“=”成立.所以OB OA ⋅的最小值是2. （20）（共14分）（Ⅰ）解：.1,0,1,1,0,1,1,2,1,310987654321==========a a a a a a a a a a （答案不惟一）（Ⅱ）解：因为在绝对差数列.0,3,}{2120==a a a n 中所以自第20项开始，该数列是.,0,3,3,0,3,3,0,3,2726252423222120Λ========a a a a a a a a即自第20项开始。