2015湖南中考复习
二次函数的综合题及应用
考点一：确定二次函数关系式
例1 （1）如图，已知二次函数y=x 2
+bx+c 过点A （1，0），C （0，-3） （1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上存在一点P 使△ABP 的面积为10，请直接写出点P 的坐标．
思路分析：（1）利用待定系数法把A （1，0），C （0，-3）代入）二次函数y=x 2
+bx+c 中，即可算出b 、c
的值，进而得到函数解析式是y=x 2
+2x-3；
（2）首先求出A 、B 两点坐标，再算出AB 的长，再设P （m ，n ），根据△ABP 的面积为10可以计算出n 的值，然后再利用二次函数解析式计算出m 的值即可得到P 点坐标．
解：（1）∵二次函数y=x 2
+bx+c 过点A （1，0），C （0，-3），
∴103b c c ++=⎧⎨=⎩，解得23
b c =⎧⎨=⎩，∴二次函数的解析式为y=x 2+2x-3； （2）∵当y=0时，x 2
+2x-3=0， 解得：x 1=-3，x 2=1；
∴A （1，0），B （-3，0）， ∴AB=4，
设P （m ，n ），
∵△ABP 的面积为10， ∴
1
2
AB•|n|=10， 解得：n=±5，
当n=5时，m 2
+2m-3=5， 解得：m=-4或2，
∴P （-4，5）（2，5）；
当n=-5时，m 2
+2m-3=-5， 方程无解，
故P （-4，5）（2，5）；
点评：此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．
（2）在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数2
y x bx c =++的图象与x 轴的负半轴相交于点C ，如图3-3，点C 的坐标为（0，－3），且BO ＝CO （1） 求这个二次函数的解析式；
（2） 设这个二次函数的图象的顶点为M ，求AM 的长.
【考点要求】本题考查二次函数解析式的确定。

【思路点拨】由题目条件，可用待定系数法求解析式
（1）(0,3),|3|3,3C OC c -=-=∴=-Q ，
OC BO =Q 又，
，
9330,630,2b b b +-=+==-。

223y x x ∴=--。

（
2
）
21,(1)1234,(1,0),(1,4)22
b f A M a --
=-==--=---， 222425AM ∴=+=
【答案】（1）223y x x =--；（2）25AM =。

点二：二次函数与x 轴的交点问题
例2 （1）已知二次函数y=x 2
-3x+m （m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一元
二次方程x 2
-3x+m=0的两实数根是（ ） A ．x 1=1，x 2=-1 B ．x 1=1，x 2=2 C ．x 1=1，x 2=0 D ．x 1=1，x 2=3
点评：本题考查了抛物线与x 轴的交点．解答该题时，也可以利用代入法求得m 的值，然后来求关于x 的
一元二次方程x 2
-3x+m=0的两实数根． 对应训练
（2）二次函数y=2x 2
+mx+8的图象如图所示，则m 的值是（ ） A ．-8 B ．8 C ．±8 D ．6
（3）若二次函数y=ax 2
+bx+c （a≠0）的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为（x 1，0），（x 2，0），且x 1＜x 2，图象上有一点M （x 0，y 0）在x 轴下方，则下列判断正确的是（ ）
A ．a ＞0
B ．b 2
-4ac≥0 C ．x 1＜x 0＜x 2 D ．a （x 0-x 1）（x 0-x 2）＜0
考点三：二次函数的实际应用
例3 （1）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y （千克）与销售价x （元/千克）有如下关系：y=-2x+80．设这种产品每天的销售利润为w 元． （1）求w 与x 之间的函数关系式．
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
y
C
B A -6
-4-2
8
642
-6-4
-264
2
O
图3-3
（3）某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）．
4．解：已知抽屉底面宽为x cm，则底面长为180÷2-x=（90-x）cm．
由题意得：y=x（90-x）×20=-20（x2-90x）=-20（x-45）2+40500
当x=45时，y有最大值，最大值为40500．
答：当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm3．
考点四：二次函数综合性题目
例4 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC．
（1）求直线CD的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：△CEQ∽△CDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，△PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
例4．解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D点坐标为（1，0）．设直线CD的解析式为y=kx+b（k≠0），
将C（0，1），D（1，0）代入得：
1
b
k b
=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得：b=1，k=-1，∴直线CD的解析式为：y=-x+1．
（2）设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+3，将C（0，1）代入得：1=a×（-2）2+3，
解得a=-1
2
．∴y=-
1
2
（x-2）2+3=-
1
2
x2+2x+1．
（3）证明：由题意可知，∠ECD=45°，
∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD为等腰直角三角形，∠ODC=45°，∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x轴，则点C、E关于对称轴（直线x=2）对称，∴点E的坐标为（4，1）．
如答图①所示，设对称轴（直线x=2）与CE交于点F，则F（2，1），
∴ME=CM=QM=2，∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形，∴∠QEC=∠QCE=45°．
又∵△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCD=45°，∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°，∴△CEQ∽△CDO．
（4）存在．
如答图②所示，作点C 关于直线QE 的对称点C′，作点C 关于x 轴的对称点C″，连接C′C″，交OD 于点F ，交QE 于点P ，则△PCF 即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，△PCF 的周长等于线段C′C″的长度． （证明如下：不妨在线段OD 上取异于点F 的任一点F′，在线段QE 上取异于点P 的任一点P′，连接F′C″，F′P′，P′C′．
由轴对称的性质可知，△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′； 而F′C″+F′P′+P′C′是点C′，C″之间的折线段，
由两点之间线段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″， 即△P′CF′的周长大于△PCE 的周长．） 如答图③所示，连接C′E，
∵C ，C′关于直线QE 对称，△QCE 为等腰直角三角形， ∴△QC′E 为等腰直角三角形， ∴△CEC′为等腰直角三角形， ∴点C′的坐标为（4，5）；
∵C ，C″关于x 轴对称，∴点C″的坐标为（-1，0）． 过点C′作C′N⊥y 轴于点N ，则NC′=4，NC″=4+1+1=6， 在Rt △C′NC″中，由勾股定理得：
C′C″=222246213NC NC '''+=+=．
综上所述，在P 点和F 点移动过程中，△PCF 的周长存在最小值，最小值为213．。