证：必要性，设 A 可对角化，则存在可逆矩阵 P， 使得
⎡λ1
⎤
⎢ P −1 AP = ⎢
λ2
⎥ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎣
λn
⎥ ⎦
对于任意常数 k，
⎡λ1
⎢ kI − A = kI − P ⎢
λ2
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥ P −1 ⎥
λn
⎥ ⎦
⎡k − λ1
⎢ = P⎢
⎢ ⎢ ⎣
k − λ2
⎤
⎥
⎥ P −1 ⎥
k
−
λn
⎡⎣ X1,
X2,
X
3
⎤⎦
⎢ ⎢
0
−1
1
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 0 −1⎥⎦
= ⎡⎣− X1, − X 2 , X 2 − X3 ⎤⎦
从而可得
AX1 = − X1, AX2 = − X2 , AX3 = X2 − X3
整理以后可得三个线性方程组
(I + A)X1 = 0 (I + A)X2 = 0 (I + A)X3 = X2
k≥3
⎢ O ０0 ⎥
⎢ ⎣
0⎥⎦
(1) 每个Jordan 块 Ji 对应属于 λi 的一个特征向量； (2) 对于给定的 λi，其对应的Jordan 块的个数 等于λi 的几何重复度； (3) 特征值 λi 所对应的全体Jordan 块的阶数之和 等于 λi 的代数重复度.
根据 rank(kI − A)l = rank(kI − J )l , l = 1,2,
(λ − 1)2(λ − 2)⎥⎦
所以 A 的初等因子为 (λ −1)2 , λ − 2 .
故 A 的标准形为
⎡1 1 0⎤
J = ⎢⎢0 1 0⎥⎥
或
⎢⎣0 0 2⎥⎦
⎡2 0 0⎤ J = ⎢⎢0 1 1⎥⎥
⎢⎣0 0 1⎥⎦
例 求矩阵
⎡1 −1 2⎤
A = ⎢⎢3 −3 6⎥⎥
⎢⎣2 −2 4⎥⎦
1
⎥ ⎥
λ ⎥⎦i ni ×ni
rank(λi I − Ji )ni −1 = 1,
rank(λi I − Ji )h = 0, ( h ≥ ni )
⎡λi 1
⎢ ⎢
λi 1
Ji
=
⎢ ⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥,
1
⎥ ⎥
λ ⎦⎥i n则
rank(λ j I − Ji )l = ni (l = 1, 2, )
初等因子都是一次因式。
例 求矩阵
⎡−1 1 0⎤
A = ⎢⎢−4 3 0⎥⎥
⎢⎣ 1 0 2⎦⎥
的 Jordan 标准形。
解： 先求出 A 的初等因子。对 λI − A 运用初等
变换可以得到
⎡λ + 1 −1 0 ⎤
λ
I
−
A
=
⎢ ⎢
−4
λ−3
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 1
0 λ − 2⎥⎦
⎡1
⎤
⎢ ⎢
1
⎥ ⎥
⎢⎣
的Jordan标准形。
解： 先求出 A 的初等因子。对 λ I − A 运用
初等变换可以得到
⎡λ −1 1 2 ⎤
λI − A=
⎢ ⎢
−3
λ+3
−6
⎥ ⎥
⎢⎣ −2 2 λ − 4⎥⎦
⎡1
⎤
⎢ ⎢
λ
⎥ ⎥
⎢⎣
λ(λ − 2)⎥⎦
所以 A 的初等因子为λ, λ, λ − 2.
故 A 的 Jordan 标准形为 ⎡0 0 0⎤
阶数 ≥ 3 的有 4 − 3 = 1 块;
不再降秩，所以 λ = 2 的
Jordan块中最大阶数 = 3
从而，对应于 λ = 2 的Jordan块分别为：3阶1块，
2阶2块，共3块.
rank(3I − A) = 8, rank(3I − A)2 = 7
对应于 λ = 3 的Jordan块
共有 10 − 8 = 2 块;
J 中主对角元为 3 的Jordan块只有一个且为二阶。
故 A 的标准形为
⎡1 0 0⎤ J = ⎢⎢0 3 1⎥⎥
⎣⎢0 0 3⎦⎥
⎡3 1 0⎤ 或 J = ⎢⎢0 3 0⎥⎥
⎢⎣0 0 1⎥⎦
例：证明 n 阶非零矩阵 A 可对角化的充要条件是 对于任意常数 k, 都有 rank(kI − A) = rank(kI − A)2 .
A−
3I
=
⎢ ⎢
1
5
2
⎥ ⎥
→
⎢ ⎢
0
8 4⎥⎥
⎢⎣−2 −14 −6⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0⎥⎦
所以 rank( A − 3I ) = 2, 从而 λ2 的几何重数为
qλ2 = n − 2 = 3 − 2 = 1
特征值 λ2 = 3 是 f (λ) 的两重根，从而 λ2 在 A
的Jordan标准形 J 的主对角线上出现两次，因此
解： 首先用初等变换法求其 Jordan 标准形：
⎡λ − 3
λ
I
−
A
=
⎢ ⎢
3
⎢⎣ 2
0 8⎤
λ +1
−6
⎥ ⎥
0 λ + 5⎥⎦
⎡1 0
0⎤
⎢⎢0 λ + 1
0
⎥ ⎥
⎢⎣0 0 (λ + 1)2 ⎥⎦
故 A 的初等因子为
λ + 1,(λ + 1)2
从而 A 的 Jordan 标准形为
⎡−1 0 0 ⎤
则对于 A 的特征根 λ = λi ，共有 n − s1 个Jordan
块，其中阶数最高为 l 阶，阶数 ≥ 2 的Jordan块 有 s1 − s2 个，阶数 ≥ 3 的有 s2 − s3 个，阶数 ≥ 4 的有 s3 − s4 个，…, l 阶的有 sl−1 − sl 个。
如何求相似变换矩阵？
J = ⎢⎢0 0 0⎥⎥ ⎢⎣0 0 2⎥⎦
或
⎡0 0 0⎤ J = ⎢⎢0 2 0⎥⎥
⎢⎣0 0 0⎥⎦
例 用矩阵秩的方法求出矩阵
⎡2 3 2⎤
A
=
⎢ ⎢
1
8
2
⎥ ⎥
⎢⎣−2 −14 −3⎥⎦
的 Jordan 标准形。
解： 先求出 A 的特征多项式及其特征值
λ − 2 −3 −2 f (λ ) = λ I − A = −1 λ − 8 −2 = (λ − 1)(λ − 3)2
0 −1
⎥ ⎥
ai I − Ji = ⎢
⎥
⎢ ⎢
−1⎥⎥
⎢⎣
0 ⎥⎦
⎡0 0 1
⎤
⎢ ⎢
00
⎥ ⎥
(ai I
−
Ji
)2
=
⎢ ⎢
⎢
1⎥ 0⎥⎥
⎢⎣
0⎥⎦
由此可见，rank(ai I − Ji ) > rank(ai I − Ji )2 . 从而
rank(ai I − A) > rank(ai I − A)2 , 这与已知条件矛盾，
矩阵的Jordan标准形
定义： 称 ni 阶矩阵
⎡ai 1
⎢ ⎢
ai 1
Ji
=
⎢ ⎢
⎢
⎢⎣
⎤
⎥
⎥
⎥
1
⎥ ⎥
ai ⎥⎦ ni ×ni
为 Jordan 块。设 J1, J 2, , J s 为 Jordan 块，
称准对角形矩阵
⎡ J1
⎤
⎢
J
=
⎢ ⎢
J2
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎢⎣
Js ⎥⎦⎥
为 Jordan 标准形。
J
=
⎢ ⎢
0
−1
1
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 0 −1⎥⎦
再求相似变换矩阵：
设所求矩阵为 P ，则 P −1 AP = J， P 按列分块记为
P = ⎡⎣ X1 , X2 , X3 ⎤⎦
于是有
AP = A⎡⎣ X1, X2 , X3 ⎦⎤ = ⎣⎡ AX1, AX2 , AX3 ⎦⎤
⎡−1 0 0 ⎤
=
PJ
=
所以应该取 X 2 = k1α1 + k2α2
使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增 广矩阵有相同的秩，容易计算出其系数矩阵的秩 为 1，从而应该使得增广矩阵
⎡⎣I + A, X2 ⎤⎦
的秩也为 1。即
⎡4 0 8
⎡⎣I + A,
X2 ⎤⎦ =
⎢ ⎢
3
0
6
⎢⎣−2 0 −4
−2k2 k1
⎤ ⎥ ⎥
rank(2I − A) = 7, rank(2I − A)2 = 4
对应于 λ = 2 的Jordan块
共有 10 − 7 = 3 块;
对应于 λ = 2 的Jordan块中，
阶数 ≥ 2 的有 7 − 4 = 3 块;
rank(2I − A)3 = 3 rank(2I − A)4 = 3
对应于 λ = 2 的Jordan块中，
所以每个Jordan块的阶数都为1，即 A 相似于对 角形。
求Jordan标准形的另一种方法
(计算 rank(λi I－A)，k 得出对应于 λi 的Jordan 块的
个数，阶数)
⎡λi 1
⎢ ⎢
λi 1
Ji
=
⎢ ⎢
⎢
⎢⎣
⎤ ⎥
rank(λi I－Ji ) = ni − 1,
⎥ ⎥
, rank(λi I − Ji )2 = ni − 2,