定义：若v1 ∩ v =0，则称v1与v 2 的和空间v1 + v 2 是直和，用记号v1 ⊕ v 2 表示
交
定理：设v1与v 2 是线性空间 v 的两个子空间，则下列命题是等价的
与
和
1) v1 + v 2 是直和
直和
2) dim(v1 + v 2 )= dim v1 + dim v 2
3)
设
α1， αn1
α α α 定理：(1) R(T)=span{T( 1 ),T( 2 ),……T( n )} (2)rank(T)=rank(A)(A 为线性映射在基下的矩阵表示)
值
域
性质:
设 A 是 n 维线性空间V1 到 m 维线性空间V2 的线性映射，α1，α2， αn
是V1
的一组基，β1,
β
2
,
,βm
是V2 的一组基。线性映射 A 在这组基下的矩阵表示是 m*n 矩阵 A=( A1，A2， An
特征子
空间
V 性质：特征子空间 λi 是线性变换 T 的不变子空间。
定义：设v1和v 2 是数域 F 上的两个线性空间，映射 A:v1 → v 2 ,如果对任何两个向量 α1,α2 ∈ v1和任何数λ ∈ F
有 A（ α1 + α2 ）=A（ α1 ）+A（ α2 ），A（ λα1 ）= λ A（ α1 ），便称 映射 A 是由v 1到v 2 的线性映射
α1,α
2
,
αr
生成的子空间为
T
的不变子空间。
0 0 an,r +1 ann
λ α λ λ λ 定义：设 T 是数域 F 上 n 维线性空间 V 的线性变换，如果 V 中存在非零向量α，使得 T(α)= 0 , 0 ∈F.那么称 0 是 T 的一个特征值，称α是 T 的属于 0 的一个特征向量。
是 v1
的一组基，
β1,β2
,
βn2
的一组基，则
α1， αn1
,
β1,
β
2
,
βn2
是v
1
+ v 2 的一组基
定义：设w 1,w 2,w 3 是线性空间 V 的三个子空间，且 w=w 1 ⊕ w 2 。则称 w 有一个直和分解。
补子 空间
特别的，若 w=v=w 1 ⊕ w 2 ,便称w 1和w 2 是线性空间 v 的一对互补子空间。或称w 1是w 2
向
量
计 算 线性变换 A 的特征值和特征向量变成计算矩阵 A（线性变换在某一个基底下的矩阵）的特征值和特征向量。
方法
定理:相似矩阵有相同的特征多项式
推论 1：相似矩阵有相同的谱。
p α p Ap −1
−1
推论 2：设α是 A 的特征值λ对应的特征向量，则
是矩阵 B=
的特征值λ对应的特征向量
λ λ V 定义: n 阶方阵 A 有 n 个特征值，对于每个特征值 i 代入（ i E-A）X=0 可以得到相应的特征向量，这些特征向量加上零向量构成 n 维向量空间的一个子空间，称为特征子空间，记为 λi
a1n
a2n a3n
=(
β1,β2
,
βm
)A,矩阵 A 称为线性映射 A 在基( α1，α2， αn
)与（
β1,β2
,
βm
）下的矩阵表示
am1 am 2 amn
定理
1:设v 1 的基为(α1，α2， αn
),v 2
的基为(
β1,β2
,
βm
)，给定
m*n
矩阵
A=( aij
)
m
*n
)
a12(λ )
a1n(λ
)
A(λ )
=
a21(λ )
a22(λ )
a2n(λ
)
为多项式矩阵或者λ矩阵
am 1(λ )
a m
2(λ
)
amn(λ )
定义：如果λ矩阵 A(λ)中有一个(r≥1)阶子式不为零，而所有的 r+1 阶子式全部为零，则称 A(λ)的秩 r。
λ
逆矩阵：一个 n 阶λ矩阵称为可逆的，如果有一个 n 阶λ矩阵 B(λ)满足 A(λ) B(λ)= B(λ) A(λ)=E，其中 E 为 n
称 W 为线性空间 V 的一个线性子空间．简称子空间. 平凡子空间：零子空间和线性空间本身 定理：线性空间 V 的非空子集 W 构成子空间的充分必要条件是：W 对于 V 中的线性运算封闭．
线
定义：非空子集 span( α1，α2，α3， αs )是由向量 α1，α2，α3， ，αs 生成的生成子空间，
)，
其中
Ai
是
m
行列矩阵。于是
A( α1，α 2，
αn
)=(
β1,β2
,
,βm
)A,故
A( αi
)=(
β1
,β2
,
,βm
)
Ai
。A
的值域和
A
的值域是一样的。
v v 定义：使 T(α)=0 的α的全体 N(T)={ α|α∈ 1 ,T(α)=0,}是 1 的子空间, N(T)称为线性映射 T 的核子空间。Dim(N(T))称为 T 的零度。
性质：（1）线性变换 T 的和与交仍然是 T 的不变子空间
（2）设
W=span（
α1,α
2
,
αn
），则
W
是线性变换
T
的不变子空间的充分必要条件是
T（ αi
）∈W
（3）V 的任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间
不
定理：设
W
是
T
的
不
变
子
空
间
，
α1,α
2
,
αr
是
W
的
一
组
基
，
α1,α2
,
α
r
，
αr
+1
线矩 性阵 映表 射示
m
∑ 定义:设α1，α2， αn
是v
1
的一组基，
β1,
β
2
,
βm
v 是 2 的一组基，A
是v1到v 2
的一个线性映射则
A（ αj
）
=
αij
βi
α (j=1,2,3,…n)=(A( 1
),A( α2
), A( αn
))=(
β1,β2
,
βm
)
i =1
a11 a21
a12 a22
(1)A（0）=0；A（-a）=-A(a)
s
s
∑ ∑ 性 (2) A( kiαi )= ki A(αi )
质
i =1
i =1
(3)设
α1,α
2
,
αs
∈
V1,线性相关，则
A(α1 ),A(α 2
),
A(αs
)也线性相关。注意若
α1,α
2
,
αs
线性无关，则
A(α1
),A(α2
),
A(αs
)不一定线性无关
,则存在唯一的线性映射，它在这俩个基下的矩阵表示为
A.(In
another
word,在给定基以后，A
与矩阵表示是
一一对应的。)
定理
2：设
A
是v
1到v
2
的一个现行映射，α1，α2，
αn
和
α1',α2',
α
' n
是v
1
的两组基，从
αi
到 αi'
的过度矩阵是
P。
β1,β2
,
βm
和
β1',β2',
βm'
是v
2
的两组基，从
βi
到
βi'
的过度矩阵是
Q，线性映射
A
在基 α1，α 2，
αn
和基
β1,β2
,
βm
下的矩阵表示为
A，在基 α1',α2',
α
' n
和
β1',β2',
β
' m
下的矩阵表示为
B,则
B= Q
−1
AP
y1 a11
向量坐标变换公式：
y
2
= a21
a12 a22
a1n a2n
x1
等 定理：对一个 m*n 的λ矩阵 A(λ)的行作初等行变换，相当于用相应 m 阶初等矩阵左乘 A(λ)。对 A(λ)作初等
变
列变换，相当于用相应的 n 阶初等矩阵右乘 A(λ)
定义 :给定数域 P 上的线性空间 V 到线性空间 V 的线性映射，称线性变换
a11
定义：设
T
是线性空间
V
的线性变换，
α1,α2
,
αn
是
V
的一组基，若
T(
α1,α2
,
αn
)=(
α1,α
2
,
αn
)
a21
a12 a21
a1n
a2n
=(
α1,α2
,
αn
)A
an1 an2 ann
子
空
定理 1:设v1 = span(a1，a2，a3， as ),v 2 = span(β1,β2,β3 βt ),则v1 + v 2 =span(
间
α1，α2，α3， αs , β1,β2,β3 βt )