an1
f xAx
a12
a1n x1
a22
a2n
x2
an1
ann xn
aij a ji
二次型 f
对称矩阵 A
对称矩阵 A 的秩定义为二次型 f 的秩
设 二 次 型 f 3 x 1 2 6 x 1 x 2 8 x 1 x 3 5 x 2 2 x 2 x 3 x 3 2 求 f的 矩 阵 A ,当 x 1 = 3 , x 2 = 1 , x 3 = - 2时 ， 求 f的 值 。
1 2 1
得特征值
1 10
2 15
可求得的单位特征向量顺次为
0.6
e1
0.8
0 .8
e2
0 .6
P
0.6 0.8
0.8
0.6
经 正 交 变 换 xPy,
f 10y1 215y2 2
1 2 4
A
2
4
2
,
4 2 1
x1
x
x2
x3
试用正交变换化二次型
e2
2 2
( 1 ,0, 2
1 ) 2
e3
3 3
( 2,2 2, 2) 63 6
2
3
1 2
2
6
作正交变换
Pe1
e2
e3
1
3
2
3
0
2
2
(x 1 ,x 2 ,x 3 ) P (y 1 ,y 2 ,y 3 )
设B为n阶方阵, 求证f xBx的矩阵是A 1 (B B)
显然A是对称矩阵，xRn xAx1(xBx2xBx) 2
xBx(xBx) xBx xAx1(xBxxBx)xBx
2
这表明对称矩阵A是二次型 x B x 的矩阵。
求二次型
1
f
x1
,
x2
,
x3
9
6
5 2 x1
4
10
x2
的矩阵A，
任 给 二 次 型 f x A x ,总 有 正 交 变 换 x P y , 使 f化 为 标 准 形
f1y 1 22y 2 2ny n 2
其 中 1 ,2 ,,n 是 f 的 矩 阵 A 的 特 征 值 。
二次型的标准形
定义 如果x的二次型 f(x)xAx经过可逆线性
变换x=Hy变成y的二次型
定理2
任给二次型 f (x) xTAx 总有正交变换x=Py
使 f 化为标准形 f 1y12 nyn 2
其中 1,2, ,n 为A的所有特征值.
f(x)xAx 是任意二次型 其中A是n阶对称矩阵
存在正交矩阵P，使得
Hale Waihona Puke 1PAPn
作正交变换 x P y
f(P y ) y (P A P )y y y1y12 nyn2
f(H y ) d 1 y 1 2 d 2 y 2 2 d n y n 2
就称此二次型为原来二次型的标准形。
定义
定理1
设A,B为 n 阶方阵,如果存在 n 阶可逆矩阵C,使得
BCTAC 则称矩阵A与B是合同的, 称矩阵C为
合同变换矩阵.
对于任意可逆矩阵C, 令 BCTAC如果 A 是对称
矩阵,则B也是对称矩阵, 且R(A)=R(B).
多媒体教学演示
第一章 矩阵与线性方程 第二章 向量与线性方程组 第三章 向量的内积与正交矩真 第四章 矩阵的特征与特征向量 第五章 二次型 第六章 线性空间与线性变换 第七章 Matlab 软件的应用
第五章 二次型
§1 二次型的标准形 §2 二次型的规范形 §3 正定二次型
第一节 二次型的标准形
用正交变换化二次型为标准型
定理: 设A是n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P,使
PAP
1
PAP
2
n
P(e1e2 en)
正交矩阵P 对称矩阵A
P A P
1
2
n
f xAx
P(e1e2 en)
正交变 换
x Py fy P A P yy y
1 y 1 22y 2 2ny n 2
2 4 x3
并求f 的秩。
求二次型 f 3x12 4x1x2 6x22 经过变换
x1 2 y1 y2 x2 y1 2 y2
之后的表达式。
解
x
x1 x2
y
y1 y2
f
x
3 2
2 6
x
x
2 1
1 2
y
f
21
12y3 2
22 61
12y
y1 2
13 22
f xAx 为标准形
解 矩阵A的特征多项式为
1 2 4
2 4
特
4
2
(4)(5)2
征 值
2 1
1 4,
2 3 5
对于1 4, 可 得 特 征 向 量 1 （ 2 ， 1 ， 2 ）
对于235， 得 到 线 性 无 关 的 特 征 向 量 2 （ 1 ， 0 ， 1 ） ， 3 （ 1 ， 2 ， 0 ）
用正交变换化二次型为标准型的具体步骤： 1. 求二次型的矩阵A 2.求矩阵A的特征方程 AE 0
3.求特征方程的根，即特征值 1, , n 4. 对每个特征值 i 解方程组 (AiE)x0
得到n个特征向量
5. 对这个特征向量正交化和单位化，得到 e 1 , e 2 ,e n其 中 e i 是 对 应 于 i 的 单 位 特 征 向 量
二次型和它的矩阵
定义 含 有 n 个 自 变 量 x 1 ， x 2 ， ， x n 的 二 次 齐 次 函 数 f(x1,x2, xn)a11x122a12x1x2 2a1nx1xn a22x22 2a2nx2xn
叫做二次型。
annxn2
（ f x1，x2，，xn） x1,x2,
a11
xn a21
22 61
1
2y
y
10
0
0 35
y
10y12 35y22
只含有平方项的二次型叫做标准形
f xAx x C y C可逆
f yCACy（秩不变）
要 使 二 次 型 f经 可 逆 变 换 x C y 变 成 标 准 形 ， 就 是 要 使 C A C 成 为 对 角 矩 阵 。
对 任 意 实 对 称 矩 阵 A , 总 有 正 交 矩 阵 P , 使 P A P
6. Pe1 e2 en作 正 交 变 换 x P y代 入 f，
便得到标准型 f1 y 1 22y 2 2ny n 2
用正交变换化 f 6x12 24x1x2 x22 为标准形。
6 12
A
1
2
1
6 A E
1 22 5 1 5 0 ( 1 0 ) ( 1 5 ) 0
正交化 2 2，3 3[[32， ，22]]2 （ 0.5,2,0.5)
1 ( 2 , 1 , 2 ) ,2 ( 1 , 0 , 1 ) , 3 ( 0 . 5 , 2 , 0 . 5 )
1 ,2 ,3 是 正 交 特 征 向 量 组 。
单位化
e1
1 1
(2,1, 2) 333