1 0 1
2
1 0
,
3
0 1
,
2
11,
0
1
1
3．将特征向量正交化单位化
1 2
0
1 2
单位化即得
p2
1
0 0
2
,
p3
1 1
0
2 2
,
p4
1 2 12 1 2
于是正交变换为
x1 1 2
x2
x3 x4
1 2 1 2 12
12 12
0 0
x1( x1 x2 ) x2 ( x1 x2 )
x1
x1
x2
x1 x1
x2 x2
x
2
1 1
11
x1 x2
令
x
x1 x2
则 f x1 , x2 xT Ax
其中 A 11 11
f x1, x2 , x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3
f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵;
f 叫做对称矩阵A的二次型;
对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
例１ 写出二次型
f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3 的矩阵.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.
1 1 1 1 1 1 1 1
(
A
E
)
1 1 1
1 1 1
1 1 1
1 11
0 0 0
00 00 00
0
0 0
1 1 1 1 1 1 1 1
0 0 0
00 00 00
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0
00
x1 x2 x3 x4 0
可得正交的基础解系
一、正交变换法
定理2
任给二次型 f
n
aij xi x j aij a ji
, 总有
i , j1
正交变换x Py,使 f 化为标准形
f 1 y12 2 y22 n yn2 ,
其中1,2 , , n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax,求出A;
1 2 0 A 2 2 3.
0 3 3
四、化二次型为标准形
f x1 , x2 x12 2 x1 x2 2 x2 2
( x1 x2 )2 x22
令y1 x1 x2 , y2 x2
则(1)式变为y12 y22。所作的变量替换为
x1
x2
y1
y2 y2
即
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn
a21 x2 x1 a22 x22 a2n x2 xn
an1 xn x1 an2 xn x2
ann
x
2 n
n
aij xi x j .
i , j1
2．用矩阵表示
f a11 x12 a12 x1 x2 a1n x1 xn
曲面.
思考题解答
5 1 3
解
二次型的矩阵为A
1
5
3,
3 3 3
可求得 det( A E) ( 4)( 9),
于是A的特征值为 1 0, 2 4, 3 9,
对应特征向量为
1 1 1
p1 1 , p2 1, p3 1.
2
0
1
将其单位化得
2. 实二次型的化简，并不局限于使用正交 矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运 算更快的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种 方法——拉格朗日配方法．
思考题
求一正交变换，将二次型
f x1 , x2 , x3
5 x12
5
x
2 2
3 x32
2x1 x2
6x1 x3
6x2 x3
化为标准型，并指出 f x1, x2, x3 1 表示何种二次
x1 x2
1 0
11
y1 y2
记为x Cy
f x1 , x2
xT Ax
yTCT
ACy
y
T
1 0
0 1
y
x Cy
称
为
由
变
量y1
,
y
到
2
变
量x1
,
x
的
2
一
个
线
性
替
换
，
矩阵形式为x Cy。
若C 0,则称线性变换为可逆的线性变换， 或称非退化的线性变换。
若C为正交矩阵时，则称为正交变换。
对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形．
i 1,2,3,
1 3
2 5
2 45
得 1 2 3, 2 1 5 , 3 4 45 .
2 30Leabharlann 545所以
1 3
P 2 3
2
3
2 5 15
0
2 45
4 45 .
5
45
于是所求正交变换为
x1 1 3 x2 2 3 x3 2 3
a11 a12 a1n
x1
记
A
a21
a22
a2n
,
x
x2 ,
an1 an2 ann
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
三、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
1 6
q1
p1 p1
1 2
6 ,
6
1 2
q2
p2 p2
1 2,
0
q3
p3 p3
1
1
1
3
3 .
3
故正交变换为
1
x1 x2 x3
6 1
6 2
6
1 1
2 1 2
0
3 1
3 1
y1 y2 y3
,
3
化二次型为
f
4
y
2 2
2. 求出A的所有特征值1,2 , ,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 , ,n;
4.
将特征向量1 ,
2
,
,
正
n
交化,
单位化,
得
1 ,2 , ,n ,记C 1 ,2 , ,n ;
5. 作正交变换x Cy,则得f的标准形
f
1 y12
n
y
2 n
.
例2 求一个正交变换x Py,把二次型
.
1 1 1
1 1 1
计算特征多项式 : 把二,三,四列都加到第一列上,有
1 1 1 1
1 1 1
A E ( 1)
,
1 1 1
1 1 1
把二,三,四行分别减去第一行,有
11
1
1
0 1 2
2
A E ( 1)
0 2 1 2
00
0
( 1)2 1 2 2 1
1
( 1)2(2 2 3) ( 3)( 1)3.
2 (2,1,0)T , 3 (2,0,1)T .
3．将特征向量正交化
取 1 1, 2 2, 3 3
得正交向量组
2 ,3 2 , 2
2
,
1 (1 2,1,1)T , 2 (2,1,0)T , 3 (2 5,4 5,1)T .
4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 P
令
i
i i
,
一、二次型及其标准形的概念
定义1 含有n个变量x1 , x2 , , xn的二次齐次函数
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn 称为二次型.
当aij是复数时, f称为复二次型 ;
都为二次型；
f x1, x2 , x3 x12 4x22 4x32
为二次型的标准形.
二、二次型的表示方法
和号表示 f x1 , x2 x12 2 x1 x2 x22
x12 x1 x2 x2 x1 x22
矩阵表示
22
aij xi x j
i1 j1
f x1 , x2 x12 x1 x2 x2 x1 x2 2
一般地
1．用和号表示 对二次型
f x1 , x2 , , xn a11 x12 a22 x22 ann xn2
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
取a ji aij , 则2aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是
当aij是实数时, f称为实二次型 .
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称为二次型的标准形（或法式）． 例如
f x1, x2 , x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4
化 为 标 准 形.
解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值
0 1 1 1
二次型的矩阵为
A
1 1
0 1 1 0
1 1