2010年六年级奥数题：定义新运算（A）
一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）规定a☉b=，则2☉（5☉3）之值为_________．
2．（3分）（2012•成都）规定“※”为一种运算，对任意两数a，b，有a※b=，若6※x=，则x=_________．
3．（3分）设a，b，c，d是自然数，定义＜a，b，c，d＞=ad+bc．则＜＜1，2，3，4＞，＜4，1，2，3＞，＜3，4，1，2＞，＜2，3，4，1＞＞=_________．
4．（3分）[A]表示自然数A的约数的个数．例如，4有1，2，4三个约数，可以表示成[4]=3．计算：（[18]+[22]）÷[7]= _________．
5．（3分）规定新运算※：a※b=3a﹣2b．若x※（4※1）=7，则x=_________．
6．（3分）两个整数a和b，a除以b的余数记为a☆b．例如，13☆5=3，5☆13=5，12☆4=0．根据这样定义的运算，（26☆9）☆4=_________．
7．（3分）对于数a，b，c，d规定＜a，b，c，d＞=2ab﹣c+d．如果＜1，3，5，x＞=7，那么x=_________．8．（3分）（2012•武汉模拟）规定：6※2=6+66=72，2※3=2+22+222=246，1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=_________．
9．（3分）规定：符号“△”为选择两数中较大数，“☉”为选择两数中较小数．例如：3△5=5，3☉5=3．那么，[（7☉3）△5]×[5☉（3△7）]=_________．
10．（3分）假设式子a#a×b表示经过计算后，a的值变为原来a与b的值的积，而式子b#a﹣b表示经过计算后，b 的值为原来a与b的值的差．设开始时a=2，b=2，依次进行计算a#a×b，b#a﹣b，a#a×b，b#a﹣b，则计算结束时，a 与b的和是_________．
二、解答题（共4小题，满分0分）
11．设a，b，c，d是自然数，对每两个数组（a，b），（c，d），我们定义运算※如下：（a，b）※（c，d）=（a+c，b+d）；又定义运算△如下：（a，b）△（c，d）=（ac+bd，ad+bc）．试计算（（1，2）※（3，6））△（（5，4）※（1，3））．
12．羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼．运算意思是羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了．
小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示为羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼．运算意思是羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了．
对羊或狼，可用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号内先算．运算的结果是羊，或是狼．求下式的结果：
羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）．
13．64=2×2×2×2×2×2表示成f（64）=6；243=3×3×3×3×3表示成g（243）=5．
试求下列的值：
（1）f（128）=_________；
（2）f（16）=g_________；
（3）f_________+g（27）=6；
（4）如果x，y分别表示若干个2的数的乘积，试证明：f（x•y）=f（x）+f（y）．
14．两个不等的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a☉b，比如5☉2=1，7☉25=4，6☉8=2．（1）求1991☉2000，（5☉19）☉19，（19☉5）☉5；
（2）已知11☉x=2，而x小于20，求x；
（3）已知（19☉x）☉19=5，而x小于50，求x．
2010年六年级奥数题：定义新运算（A）
参考答案与试题解析
一、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）规定a☉b=，则2☉（5☉3）之值为1．
3=
☉
故答案为：
2．（3分）（2012•成都）规定“※”为一种运算，对任意两数a，b，有a※b=，若6※x=，则x=8．
3．（3分）设a，b，c，d是自然数，定义＜a，b，c，d＞=ad+bc．则＜＜1，2，3，4＞，＜4，1，2，3＞，＜3，4，1，2＞，＜2，3，4，1＞＞=280．
4．（3分）[A]表示自然数A的约数的个数．例如，4有1，2，4三个约数，可以表示成[4]=3．计算：（[18]+[22]）÷[7]= 5．
5．（3分）规定新运算※：a※b=3a﹣2b．若x※（4※1）=7，则x=9．
6．（3分）两个整数a和b，a除以b的余数记为a☆b．例如，13☆5=3，5☆13=5，12☆4=0．根据这样定义的运算，（26☆9）☆4=0．
7．（3分）对于数a，b，c，d规定＜a，b，c，d＞=2ab﹣c+d．如果＜1，3，5，x＞=7，那么x=6．
8．（3分）（2012•武汉模拟）规定：6※2=6+66=72，2※3=2+22+222=246，1※4=1+11+111+1111=1234.7※5=86415．
9．（3分）规定：符号“△”为选择两数中较大数，“☉”为选择两数中较小数．例如：3△5=5，3☉5=3．那么，[（7☉3）△5]×[5☉（3△7）]=25．
10．（3分）假设式子a#a×b表示经过计算后，a的值变为原来a与b的值的积，而式子b#a﹣b表示经过计算后，b 的值为原来a与b的值的差．设开始时a=2，b=2，依次进行计算a#a×b，b#a﹣b，a#a×b，b#a﹣b，则计算结束时，a 与b的和是14．
二、解答题（共4小题，满分0分）
11．设a，b，c，d是自然数，对每两个数组（a，b），（c，d），我们定义运算※如下：（a，b）※（c，d）=（a+c，b+d）；又定义运算△如下：（a，b）△（c，d）=（ac+bd，ad+bc）．试计算（（1，2）※（3，6））△（（5，4）※（1，3））．
12．羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼．运算意思是羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了．
小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示为羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼．运算意思是羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它便被羊赶走而只剩下羊了．
对羊或狼，可用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号内先算．运算的结果是羊，或是狼．求下式的结果：
羊△（狼☆羊）☆羊△（狼△狼）．
13．64=2×2×2×2×2×2表示成f（64）=6；243=3×3×3×3×3表示成g（243）=5．
试求下列的值：
（1）f（128）=7；
（2）f（16）=g81；
（3）f（8）+g（27）=6；
（4）如果x，y分别表示若干个2的数的乘积，试证明：f（x•y）=f（x）+f（y）．
14．两个不等的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a☉b，比如5☉2=1，7☉25=4，6☉8=2．（1）求1991☉2000，（5☉19）☉19，（19☉5）☉5；
（2）已知11☉x=2，而x小于20，求x；
（3）已知（19☉x）☉19=5，而x小于50，求x．。