远辉教育秋季奥数班第四讲
——定义新运算
主讲人：杨老师学生：六年级电话：62379828
一、知识点：
定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些特殊算式的一种运算。
解答定义新运算，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
定义新运算是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、等，这是与四则运算中的“∆、#、*、·”不同的。
新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。
但它在没有转化前，是不适合于各种运算定律的。
二、典例剖析：
例题1：假设a*()+(),求13*5和13*（5*4）。
练习1
1..将新运算“*”定义为：a*()×().求27*9。
2.设a*2+2b，那么求10*6和5*（2*8）。
3.设a*3a－×b，求（25*12）*（10*5）。
例题2：设p、q是两个数，规定：p△4×()÷2。
求3△(4△6).
练习2
1．设p、q是两个数，规定p△q＝4×q－（）÷2，求5△（6△4）。
2．设p、q是两个数，规定p△q＝p2+（p－q）×2。
求30△（5△3）。
3．设M、N是两个数，规定M*N＝，求10*20－。
例题3：如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，4*2=4+44。
那么7*4=？，210*2=？
练习3
1．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，…..那么，4*4=？，18*3=？
2．规定a*……,那么8*5=？
（1）个a
3．如果2*1=，3*2=，4*3=，那么（6*3）÷（2*6）=？。
例题4：规定②=1×2×3，③=2×3×4 ，④=3×4×5，⑤=4×5×6，……如果⑥)－⑦)⑦)×A，那么A是几？
练习4
1. 规定：②=1×2×3，③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，……..如果⑧)－⑨)＝⑨)×A ，那么？。
2. 规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，⑥＝5×6×7，…..如果⑩)＝×□，那么□＝？。
3. 如果1※2＝1+2，2※3＝2+3+4，….5※6＝5+6+7+8+9+10，那么x ※3＝54中，x ＝？
例题5：设a ⊙42,求x ⊙（4⊙1）＝34中的未知数x 。
练习5
1．设a ⊙32b,已知x ⊙（4⊙1）＝7求x 。
2．对两个整数a 和b 定义新运算“▽”：a ▽，求6▽4+9▽8。
3．对任意两个整数x 和y 定于新运算，“*”：x*y ＝（其中m 是一个确定的整数）。
如果1*2＝1，那么3*12＝？
家庭作业
1.规定※()×b,那么(2※3)※5= 。
2.如果a △b 表示b a ⨯-)2(,例如3△444)23(=⨯-=,那么,当a △5=30时, 。
3.定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b.例如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=1
4.根据上面定义的运算,18△12= 。
4.已知是任意有理数,我们规定: a ⊕ 1,2-=⊗ab b a ,那么[]=⊗⊕⊕⊗)53()86(4 。
5为正数,<x>表示不超过x 的质数的个数,如<5.1>=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是 。
6.如果a ⊙b 表示b a 23-,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x ⊙5比5⊙x 大5时, 。
7.如果1※4=1234,2※3=234,7※2=78,那么4※5= 。
8.规定一种新运算“※”: a ※)1()1(++⨯⋅⋅⋅⨯+⨯b a a a .如果(x ※3)※4=421200,那么 。
9.对于任意有理数x, y,定义一种运算“※”，规定※cxy by ax -+,其中的c b a ,,表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4※(m≠0),则m 的数值是 。
10.设为自然数,定义a △b ab b a -+=22。
(1)计算(4△3)+(8△5)的值；
(2)计算(2△3)△4；
(3)计算(2△5)△(3△4)。
11.设a ，b 为自然数，定义a ※b 如下:如果a≥b ，定义a ※，如果a<b ，则定义a ※ 。
(1)计算:(3※4)※9；
(2)这个运算满足交换律吗?满足结合律吗?也是就是说，下面两式是否成立?①a ※ b ※a;②(a ※b)※ a ※(b ※c)。
12.设是两个非零的数,定义a ※b a
b b a +=。
(1)计算(2※3)※4与2※(3※4)。
(2)如果已知a 是一个自然数，且a ※3=2,试求出a 的值。
13.定义运算“⊙”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b。
比如:10和14，最小公倍数为70，最大公约数为2，则10⊙14=70-2=68。
(1)求12⊙21,5⊙15；
(2)说明，如果c整除a和b,则c也整除a⊙b；如果c整除a和a⊙b，则c也整除b；
(3)已知6⊙27,求x的值。