k k k k
理想约束→
fkd rk 0
k
→
F kd rk 0
k
虚功方程
（ I）
充分条件：（I）成立→系统平衡
设（I）成立，而系统不平衡→原先静止的系统进入运动→很短时间内的 位移沿合力方向，取这些位移为虚位移→合力在该虚位移上作正功→
第4章 分析动力学基础
4.2 虚位移原理
2 2 2
第4章 分析动力学基础
4.1自由度和广义坐标
例： 两质点铰接成的双摆，刚杆长l1，l2，确定其运动自由度。
解：质点位置： A(xA,yA)，B(xB,yB)， 2 2 yA 不独立： l12 xA
或：q1, q2 • 约束：对系统运动在几何位置上的限制。使系统自由度减少。
l x y
1. 约束反力：约束作用于系统的力。如：铰链约束力。除摩擦力 外，都不作功。 2. 主动力：在系统运动或平衡中处于主导地位。如重力、气动力。
• 理想约束：约束反力在虚位移上不作功的约束。
第4章 分析动力学基础
4.2 虚位移原理
• 虚位移原理/虚功原理：理想约束下，质点系平衡的充要条件是：所有主动 力在虚位移上的微元功之和为零。把静力平衡条件通过功的原理来表达。 证明：必要条件：系统平衡，则主动力在虚位移上的微元功＝0 质点系处于平衡→任一质点上的合力
4.4 拉格朗日方程
• 拉格朗日方程的推导
动力学普遍方程

k
Hale Waihona Puke Fk mk rk d rk 0

（ b）
主动力虚功
惯性力虚功
n rk Fk d rk Fk qi k i 1 k mk rk d rk ?
dW Rk d rk ( Fkd rk f kd rk ) Fkd rk f kd rk 0
k k
理想约束→
fkd rk 0
k
→
F kd rk 0
k
k
k
与假设矛盾
→ 充分条件成立
• 虚功方程用广义坐标和广义力表示 若系统有n个自由度→任一点坐标矢量 广义坐标 n r 与时间无关 d rk k d qi i 1 qi n n n r rk k d W Fkd rk Fk d qi Fk d qi Qid qi qi qi k k i 1 i 1 k i 1 qi＝可以任意选择
第4章 分析动力学基础
4.4 拉格朗日方程
• 达朗贝尔（D‘Alembert）原理
质量为mk的质点，在合力 Rk 作用下，和惯性力 mk rk 构成平衡
Rk mk rk 0
（ a）
• 用平衡方程来表示质点k的动力学方程。 • 虚位移原理建立在静平衡基础上，达朗贝尔原理将其推广到动
1 T [ K ] 正定 U q [ K ]q 正定二次型 2 • 平衡位置U取极值，U正定，偏离平衡位置U>0→平衡位置U有 极小值。势能具有极小值的平衡位置叫做稳定平衡位置。
第4章 分析动力学基础
4.3 动能与势能
注意 • 如果系统中的qi包含刚体位移时，U除了在qi全为零的情况等 于零外，还存在某些不为零的qi，使得U＝0→U为半正定二次
0
2U kij q q i j
刚度系数
kij k ji
• kij是U对广义坐标的二阶偏导数在平衡位置的值，为常数。 • 引入广义刚度阵
k11 k12 k22 [K ] 对称 ... k1n ... k2 n knn
4.3 动能与势能
• 广义力表示的平衡条件 Qi 0 • 如果仅有势力作主动力
Qi U 0 qi
• 系统处于平衡位置时，势能取极值。 • 假设微振动，将U在平衡位置（qi）附近泰勒展开
U 1 n n 2U U U0 qi 2 i1 j 1 i 1 qi 0 qi q j
2 2 2 B 2 B
2DOF
• 约束方程：表示约束的方程。 • 定常约束：约束方程只含坐标及常数项，与时间无关的约束。
• 非定常约束：约束方程显含时间的约束。
第4章 分析动力学基础
4.2虚位移原理
• 虚位移：约束许可的坐标的微小改变量。它不一定是实际运动 的真实位移，所以与时间t 的变化无关。 • 虚位移是假想坐标的瞬时改变量，只要求符合约束，用d 表示， 与区分dt 时间内物体真实位移增量d区分。假设d 无限小。 • 虚功：力在虚位移上作的功。 • 分析力学中，力的分类：
第4章
4.1 4.2
分析动力学基础
自由度和广义坐标 虚位移原理
4.3 动能和势能
4.4
4.5
拉格朗日方程
汉密尔顿原理
第4章 分析动力学基础
牛顿法
• 按照各质点/刚体的运动来建立方程。
• 复杂系统，力/力矩与速度/加速度间的矢量关系复杂， 且引入了不必知道的未知的约束反力。
分析动力学方法
• 从能量的观点来建立方程。 • 建立系统动能T、势能U、功W之间的标量关系。 • 是研究静、动力学问题的普遍的、简单而统一的方法。
（ b）
T 是广义速度的零次、一次、二次函数 rk rk (q1 , q2 ,....., qn )
第4章 分析动力学基础
4.3 动能与势能
rk rk i q j r rk q i 1 j 1 qi q j n n n n rk rk rk rk 1 1 T mk qi q j mk 2 k 2 i1 j 1 k qi q j i 1 j 1 qi q j rk rk mij m ji m m 广义质量系数 •令 ij k qi q j k
n n rk dqi rk rk rk drk r q k i dt q dt t q t i 1 i 1 i i
速度矢量 全导数 广义速度
（ a）
• 系统总动能T • （a）代入（b） • 定常约束
1 r T mk r k k 2 k
力学问题。 • 将（a）左边看成新合力，计算所有质点虚功

k
Rk mk rk d rk Fk f k mk rk d rk 0

k


• 理想约束，约束反力虚功为零
第4章 分析动力学基础
4.4 拉格朗日方程
• 动力学普遍方程
dW
Qi 0, (i=1,2,...)
对应广义坐标qi 的广义力
rk rk (q1, q2 ,..., qn , t )
• 虚位移原理：理想约束下，n自由度系统平衡的充要条件是n个广义力Qi＝0 第4章 分析动力学基础
4.2 虚位移原理
例：双摆在A、B处悬P1、P2，B处作用水平力F，求平衡时q1、q2和P1、P2、 F的关系。 解：取 q1 、 q2 为广义坐标，给 q1 虚位移 dq1 ，而 q2 不 动。各力虚功：
第4章 多自由度系统的振动 分析动力学基础
4.1自由度和广义坐标
• 自由度：完全确定系统运动所需的独立坐标数目。 • 广义坐标：若用某一组独立的坐标（参数）就能完全确定系 统的运动，则这组坐标称为广义坐标。 • 通常，广义坐标数＝自由度数。 例：考虑悬线弹性变形，描述质点m的运动 • 悬线弹性→不约束m的位置 直角坐标：x(t),y(t),z(t) 广义坐标 3DOF 球坐标：r(t),y(t),f(t) • 悬线刚性→约束m的位置（球摆） 直角坐标：x(t),y(t),z(t) x y z 常数 2DOF 球坐标：r(t)＝c,y(t),f(t)
第4章 分析动力学基础
正定二次型
[M ]
正定
4.3 动能与势能
• 系统势能U • 系统在空间受到力的作用仅由系统所在的位置唯一地决定，
这种力叫势力，这种力场叫势力场（或保守力场）。
• 在选定的参考（基准）位置，经任意路径到达另一位置时，势 力所作的功即为该位置所具有的势能。 • 势能是位置的单值函数。
k
Fk mk rk d rk 0

（ b）
d W Fk d rk 0
k
虚功方程
• 只比虚功方程增加了惯性力的虚功。 • （b）可以用到动力学问题。 • （b）表明：作用在理想约束的系统上所有的主动力和惯性力 在任意瞬时，在虚位移上的虚功之和为零。
第4章 分析动力学基础
n
（c）
i 为小量 • 微振动→ q
一阶量
高阶量
• 动能表达式中只保留二阶小量项→（c）中只取 mij 0 （常数） • 引入广义质量阵
m11 m12 m22 [M ] 对称 ... ... m1n m2 n mnn
1 T T q [ M ]q 2
n n
i q j q
对称
1 n n i q j 是广义速度的二次齐次函数 T mij q 2 i 1 j 1
• 微振动，广义坐标原点均在平衡位置→qi是偏离平衡位置的小量
第4章 分析动力学基础
4.3 动能与势能
• 将mij在平衡位置附近泰勒展开
mij mij mij qs ...... 0 s 1 qs 0
主动力 约束反力 Rk Fk f k 0
R d rk 0 → 合力在k点虚位移上的功→ k dW Rk d rk ( Fkd rk f kd rk ) Fkd rk f kd rk 0