七、空间几何体中的轨迹问题
本内容主要研究空间几何体中的轨迹问题.在知识网络交汇点处设计试题是这几年高考命题改革的一大趋势.而以空间图形为素材的轨迹问题，由于具有其独特的新颖性、综合性与交汇性，所以倍受命题者的亲睐，但由于这类题目涵盖的知识点多，创新能力与数学思想方法要求高，而且这些题目远看象“立几”近看象“解几”.空间几何体中的轨迹问题包括判断轨迹的类型问题以及求轨迹中的长度、面积与体积问题.
例：在正方体ABCD-A1B1C1D1的面AB1内有一点P到直线AB与到直线B1C1的距离相等，则动点P所在曲线的形状为（）.
A. 线段
B. 一段椭圆弧
C. 双曲线的一部分
D. 抛物线的一部分
答案：D
整理：
空间几何体中的轨迹问题：
1.判断轨迹的类型问题
2.求轨迹中的长度、面积与体积问题
再看一个例题，加深印象
例：已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为1，在正方体的侧面BCC B 11上到点A 距离为233
的点的轨迹形成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________.
答案：以B 为圆心，半径为33且圆心角为π2的圆弧，长度为36
π.
解析：因为AB ⊥面BC 1，P 在正方体的侧面BCC B 11上，设AP 3
=AB =1,
由勾股定理得BP 3
=，因此点P 轨迹是以B 为圆心， 半径为
33且圆心角为π2的圆弧，长度为36
π.
总结：
1.空间几何体中的判断轨迹的类型问题，这常常要借助于圆锥曲线的定义来判断，常见的轨迹类型有：线段、圆、圆锥曲线、球面等.在考查学生的空间想象能力的同时，又融合了曲线的轨迹问题.
2.空间几何体中的轨迹问题涉及到求轨迹中的长度、面积与体积问题.
练习：
1.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（ ）.
A. 圆或圆的一部分
B. 抛物线或其一部分
C. 双曲线或其一部分
D. 椭圆或其一部分
2.已知正方体ABCD A B C D -1111的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD 内的动点，且点P 到直线A D 11的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（ ）.
A. 抛物线
B. 双曲线
C. 直线
D. 圆
3.在正方体ABCD A B C D -1111中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP ⊥BD 1，则动点P 的轨迹为__________.
4.若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与∆ABC 组成的图形可能是：（ ）
A A A
B C B C B C B C
A B C D
5.已知棱长为3的正方体ABCD A B C D 1111中，长为2的线段MN 的一个端点在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，求MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积.
6. 如图,AB 是平面α的斜线段,A 为斜足.若点P 在平面α内运动,使得△ABP 的面积为定值,则动点P 的轨迹是( )
A.圆
B.椭圆
C.一条直线
D.两条平行直线
7. 如图,斜线段AB 与平面α所成的角为60°,B 为斜足,平面α上的动点P 满足∠P AB =30°,则点P 的轨迹是( )
A.直线
B.抛物线
C.椭圆
D.双曲线的一支
答案：
1.解：由条件易知：AC是平面BB1D1D的法向量，所以EP与直线AC成等角，得到EP 与平面BB1D1D所成的角都相等，故点P的轨迹有可能是圆或圆的一部分.
3.解：在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面.
易证BD1⊥面ACB1，所以满足BD1⊥AP的所有点P都在一个平面ACB1上.
而已知条件中的点P是在侧面BCC1B1及其边界上运动，
因此，符合条件的点P在平面ACB1与平面BCC1B1交线上，故所求的轨迹为线段B1C.
本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹.
4.解：动点P在侧面ABC内，若点P到AB的距离等于到棱BC的距离，
则点P在∠ABC的内角平分线上.现在P到平面BCD的距离等于到棱AB的距离，
而P到棱BC的距离大于P到底面BCD的距离，
于是，P到棱AB的距离小于P到棱BC的距离，故动点P只能在∠ABC的内角平分线与AB之间的区域内.只能选D.
所以点P的轨迹与正方体的表面所围成的几何体的体积为球的体积的1
8
，
1 8
4
3
1
6
3
⨯⨯=
π
π
即。