二、判断下列广义积分的敛散性（每小题3分，共6分）
2.
三、求由所围平面图形公共部分的面积。

（6分）
四、求解下列各微分方程（共28分）
1.
的解。

求此微分方程的通解。

（4分）
2.满足的特解。

（8分）
3.的通解。

（8分）
4.设f为连续函数，求。

（8分）
五、设，曲线与三条直线x轴旋转而成旋
转体的体积为，问t为何值时最大？
六、设对一切实数，函数为连续正函数，且
求证：曲线上是凹的。

（8分）
七、已知为连续函数，证明：（10分）
八、（10分）设连续函数满足
解：
令，则。

此时
解：
二、判断下列广义积分的敛散性（每小题3分，共6分）
解：为瑕点，且。

则
因此，原积分收敛。

2.
解：。

中，。

其中，故发散。

而收敛，故收敛
三、求由与所围平面图形公共部分的面积。

（6分）
解：如右图所示，易得交点为和。

则
四、求解下列各微分方程（共28分）
1.已知都是微分方程
的解。

求此微分方程的通解。

（4分）
解：注意到满足对应的齐次方程，不是常数，以及，故可得通解
2.求微分方程满足的特解。

（8分）
解：因为，若令，则，故。

因此，即。

解之可得，故。

又，故。

因此特解为。

3.求微分方程的通解。

（8分）
解：，故，故
4.设，其中f为连续函数，求。

（8分）
解：，则有
因此，。

利用初始值，可得。

因此
五、设，曲线与三条直线所围部分绕x轴旋转而成旋
转体的体积为，问t为何值时最大？
解：
令，解得（舍去）。

当时，；
时，。

故为最大值点。

六、设对一切实数，函数为连续正函数，且
求证：曲线在区间上是凹的。

（8分）
证：
故
因此曲线在区间上是凹的。

七、已知为连续函数，证明：（10分）
证：令，则。

因此
因此
八、（10分）设连续函数满足
证：令，得。

令，则，所以
，则
令，则
故。