§1－5 多元复合函数的导数
一、链式法则
定理1 设 u = u(x), v = v(x) 在点 x 处可导. 而 z = f (u, v)在 x 对应的点(u, v)可微.
则复合函数 z = f ( u(x), v(x))在点 x 处 可导.
且
dzzduzdv dx udx vdx
(公式也称为 链式法则)
u
x
zcovsuuvu1, v
u 1. x
故 z vuln vco vusyuu v 1co vus x y(xy)xylnx(y)coxs(y)xy xy(xy)xy1coxs(y)xy
z x(xy)xylnx(y)coxs(y)xy y
xy(xy)xy1coxs(y)xy
例3.
设 z f(x 2 y 2 ,x)其 y , f C 中 1 ,求 z, z. x y
uf1 (u,v,w )vf2 (u,v,w )w f3 (u,v,w ) k(fu,v,w )
即 x f 1 ( x , y , z ) y f 2 ( x , y , z ) z f 3 ( x , y , z ) k ( x , y , z ) f
例7. 设 z =f (u, v), f C1, 而 u = xcosy, v = x siny.
2 xse 2(x c 2 ln x)1se 2(x c 2 ln x) x
若u, v是 x, y 的二元函数, u = u(x, y), v = v(x, y ), 此时z = f (u, v) = f (u(x, y), v(x, y))是x, y的二元函数. 如何求 z 对x, y 的偏导数?
x
x
左边 z表 的 示在y看 表作 达 ,而 常 式 x求 对 数 中 偏 . x
而右 z 边 z,是 的 x将 yv,xyw 都看, 作 x u
对 u (也就是 x)求偏导. 两者不同.
例. 设 z = f (x, xy) = x + xy, 记 u = x, v = xy,
有 z = u + v . 则z 1y. x
zzuzv y u y v y
(只须将定理1中导数符号改为偏导符号)
2, 公式 1可推广到中间变量多于2个的情形. 如, 设 z = f (u, v, w), u = u(x, y), v = v(x, y), w = w(x, y),
则 zzuzvzw x ux vx wx
zzuzvzw y uy vy wy
注意到当 x 0时, u , v 趋于0. 从而
lim0(
x0
u2v2)lim 0( u2 v2)
x
x 0 u2 v2
u2 v2 x
lx i00 m ( u u 2 2 v v 2 2) u x 2 x v 2 = 0
无穷小乘有界量
故
dzzduzdv dx udx vdx
F1Fdy0. x x dx
3. 若 z = f (u, v) , u = u (x, y), v = v (x, y), 则 z 通过 u, v 成为 x, y 的二元复合函数. f1 fu (u ,v )f2 , fv (u ,v )还 u ,v 的 是 ,函数 从而是 x, y 的二元复合函数.
如 f(xy,x,y ysixn ). 32
2 .本,有 例 z 中 z zy z. x u v w
因 ux,故常可将 z写 右成 边 z. 的 u x
从而
zzzyz x x v w
移项 ,则似可抵 z.消这是否对? 为什么? x
xzu z vzyw z xzvzyw z
左边z的 与右边 z在 的概念上是 . 不同
x y
解: 引进3个中间变量. 记 u = x, v = xy, w = x+y.
则 z = f (u, v, w). 有
x zf1 u xf2 x vf3 w xf1 f2 yf3 yzf1 u yf2 y vf3 w y
f1 0 f2 x f3 1 xf2f3
注
1. 在这一类问题中为何引进中间变量?
注意到求 z 就是将 y固定, x
把z f (u(x, y), v(x, y))作为一元 函数求导.
由上述公式. 有
1,若 z = f (u, v) , u = u(x, y), v = v(x, y))满足定 理条件. 则复合函数 z = f (u(x, y), v(x, y))的偏导数为
zzuzv x ux vx
z = f (u (x, y), v (x, y))
由链式法则, zzuzv, x ux vx
zzuzv, y u y v y 代入, dzzdxzdy中 ,得
x y
d z u z u x v z x v d x u z u y v z y v d y
z z u z v 0 ( u 2 v 2 ) u v
同除以 x 0, 得 z z u z v0 ( u 2 v2) x u x v x x
令 x 0, 得 d z zd u zd v li0 m ( u 2 v 2 ) d x ud x vd x x 0 x
故, z2xF, x u
z 12yF.
y
u
从而 y z x z y(2xF )x(12yF )
x y
u
u
2xyFx2xyF
u
u
=x
例6. 若f (x, y, z) 恒满足关系式 f (tx, ty, tz) = tk f (x, y, z).
则称它为 k 次 齐次函数. 证明 k 次齐次函数满足
dx
解: (1) z = tg (x2 +lnx)
z' = sec2(x2+lnx) (2 x 1 ) x
(2) z sec2(uv), du 2 x.
u
dx
z sec2(uv), dv 1 .
v
dx x
故 dzzduzdv dx udx vdx
2xse2(u cv)1se2(u cv) x
且已 z 知 coy,szxsiyn.求 z,z.
x
y
uv
其x中 0.
解: 这是关于链式公式的逆问题. 链式公式
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
由于
ucoys, x vsiny, x
uxsiny. y vxcoys. y
且已 x zc知 oy, sy zxsiyn . 代入链式公式, 得,
即 xf1 (u,v,w )yf2 (u,v,w )zf3 (u,v,w ) kk t1f(x,y,z)
同乘以 t, 得
(t)x f1 (u ,v ,w ) (t)y f2 (u ,v ,w ) (t)z f3 (u ,v ,w ) ktkf(x ,y ,z)
由 f ( t , t x , t 条 y ) z t k f ( x , y , z ) 件 及 u , t , v x t , w y t , 得 z
zcoy szsiyncoys
u
v
z( xsiy )n z(xcy o ) s xsiyn
u
v
系数行列式
coys siny
D xsiny
xcoys = x 0
从而
z D1 x1 u D x
cosy cosy
z D2 xsiny xsiny 0 0
v D
x
D
注
1.本例说明二元复合函数的链式公式可看作以
x f 1 ( x , y , z ) y f 2 ( x , y , z ) z f 3 ( x , y , z ) k ( x , y , z ) f
证: 等式 f (tx, ty, tz) = tk f (x, y, z). 两边对 t 求偏导.
右边对 t 求偏导
(tk f(x,y,z))kkt1f(x,y,z). t
4.若 z = f (u, v), u = u (x, y), v = v (x, y), x = x
(r, ), y = y (r, ) .
问z, z 的公式如?何
r
易见z 是 r, 的复合函数. 因此 zzuzv r ur vr
又因u, v 都是 r, 的复合函数.
因此
r z u z u x x r u y y r v z x v x r y v y r z u x z u y z v x z v y u x r u y r v x r v y r
证: 只要证
li m z zli m u zli m v, x 0 x u x 0 x v x 0 x
从而 z 只 z u 要 z v 0 ( 证 x )即 . 可 u v
给 x 以改变量x, 因u, v 是x的函数, 可 得u, v 的改变量u, v. 又因 z 是 u, v 的函数, 进而得到z. 因 z = f (u, v)在 (u, v)可微.
二、全微分的形式不变性
设 z = f (u, v)可微, 当 u, v 为自变量时, 有
dzzduzdv u v
若 u, v 不是自变量, 而是中间变量, 是 否仍有这一形式?
设 u = u (x, y), v = v (x, y)均可微, 则
z = f (u (x, y), v (x, y)), dzzdxzdy x y
z u d x u d y z vd x vd y u x y v x y
zduzdv u v
即, 不论u, v是自变量还是中间变量, z = f (u, v) 的全微分的形式不变.
用同样的方法, 可将该公式推广到中间变量 为3个, 4个, …等情形.
比如, 设 z = f (u, v, w), u = u(x), v = v(x), w = w(x), 满足定理条件. 则