第37讲：数列的求和一、课程标准1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式及倒序相加求和、错位相减求和法．2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决与前n 项和相关的问题.二、基础知识回顾 1．公式法(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d2. 推导方法：倒序相加法．(2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n)1－q ，q ≠1.推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法(1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．(2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．(4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 3、常见的裂项技巧①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ②1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2.③1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1. ④1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .⑤1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).三、自主热身、归纳总结1、数列112，314，518，7116，…的前n 项和为(C )A . 2n －1＋12nB . n 2＋1－12n C . n 2＋1－12n D . n 2＋1－12n －1【答案】C【解析】 S n ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋12＋14＋18＋…＋12n ＝n 2＋1－12n .故选C .2、数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n －1，若该数列的前k 项之和等于9，则k ＝( )A ．80B ．81C ．79D ．82【答案】B【解析】 a n ＝1n ＋n －1＝n －n －1， 故S n ＝n ，令S k ＝k ＝9，解得k ＝81，故选B.3、若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15 B.12 C ．－12 D ．－15【答案】A【解析】a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28 ＝5×3＝15，故选A.4、数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 020＝________. 【答案】1 010【解析】因为数列a n ＝n cos n π2呈周期性变化，观察此数列规律如下：a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4.故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2. a 5＝0，a 6＝－6，a 7＝0，a 8＝8， 故a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝2，∴周期T ＝4. ∴S 2 020＝2 0204×2＝1 010.5、(一题两空)(2020·安徽太和模拟)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，a n ＋1＋S n S n ＋1＝0，则S n ＝________，数列{}S n S n ＋1的前n 项和为________． 【答案】1n n n ＋1【解析】∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＋S n S n ＋1＝0，∴S n ＋1－S n ＋S n S n ＋1＝0，∴1S n ＋1－1S n ＝1.又∵1S 1＝1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴1S n ＝n ，∴S n ＝1n .∴S n S n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.6、(2020·郑州模拟)数列{a n }满足：a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 018＝( )A.2 0172 018 B.2 0182 019 C.4 0342 018 D.4 0362 019【答案】D【解析】因为a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，所以a n ＋1＝a n ＋n ＋1，即a n ＋1－a n ＝n ＋1， 用累加法可得a n ＝a 1＋(n －1)(n ＋2)2＝n (n ＋1)2， 所以1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， 所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 018＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫12 018－12 019＝4 0362 019. 四、例题选讲 题型一 公式法例1、(2019通州、海门、启东期末）设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4，则它的前5项和S 5＝________． 【答案】62【解析】设公比为q ，因为a 1＝2，a 3＝a 2＋4，所以2q 2＝2q ＋4，解得q ＝2或q ＝－1，因为{a n }为正项数列，所以q ＝2，所以S 5＝2（1－25）1－2＝62.变式1、(2019镇江期末） 设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和，若a 6a 3＝－12，则S 6S 3＝________． 【答案】 12【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，则q 3＝a 6a 3＝－12.易得S 6＝S 3(1＋q 3)，所以S 6S 3＝1＋q 3＝1－12＝12.变式2、(2019苏锡常镇调研）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若622a a =，则128S S ＝ ． 【答案】.37【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为622a a =，所以2422a q a =，故24=q ．由于1≠q ，故.372121)(1)(1111)1(1)1(23243481281121812=--=--=--=----=q q q q qq a q q a S S 方法总结：若一个数列为等差数列或者等比数列则运用求和公式：①等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .②等比数列的前n 项和公式(Ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(Ⅰ)当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q . 考点二 利用“分组求和法”求和例2、求和S n ＝1＋⎣⎡⎦⎤1＋12＋⎣⎡⎦⎤1＋12＋14＋…＋⎣⎡⎦⎤1＋12＋14＋…＋12n －1.【解析】 原式中通项为a n ＝⎣⎡⎦⎤1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝2⎝⎛⎭⎫1－12n∴S n＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－122＋…⎝⎛⎭⎫1－12n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －12⎝⎛⎭⎫1－12n1－12＝12n －1＋2n －2.变式1、数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于________． 【答案】n 2＋1－12n .【解析】：S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝⎛⎭⎫12＋14＋18＋…＋12n ＝n 2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝n 2＋1－12n .变式2、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 【解析】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n . a 1＝1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ， 则A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n . 故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.变式3、设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *满足2S n ＝a n (a n ＋1)，且a n ≠0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，3×2a n －1＋1，n 为偶数，求数列{c n }的前2n 项和T 2n . 【解析】 (1)∵2S n ＝a n ()a n ＋1，当n ≥2时，2S n －1＝a n －1(a n －1＋1)，以上两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，即a n ＋a n －1＝()a n ＋a n －1()a n －a n －1，又当n ＝1时，由2S 1＝a 1()a 1＋1及a 1≠0得a 1＝1， ∵a n ≠0，∴当n ≥2时，有a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝0.①当a n －a n －1＝1时，数列{a n }是等差数列，其通项公式为a n ＝n (n ∈N *)； ②当a n ＋a n －1＝0时，a n ＝(－1)n －1.(n ∈N *)．(2)①当a n ＝n ，得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1，n 为奇数，3×2n －1＋1，n 为偶数， ∴T 2n ＝(2＋4＋…＋2n )＋()21＋23＋…＋22n －1＋n ＝n (n ＋1)＋3×2（22n －1）4－1＋n ＝n 2＋2n －2＋22n ＋1； ②当a n ＝(－1)n －1时，得到c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n 为奇数，7，n 为偶数，∴T 2n ＝n (－1＋7)＝6n .方法总结：数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前n 项和的数列求和． 考点三 裂项相消法求和例3、(2018南通、扬州、泰州、淮安三调） 设数列{}a n 满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1(n ∈N *)，则(a k a k ＋1)的值为________． 【答案】. 100101【解析】因为(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1，所以a n －a n ＋1－a n a n ＋1＝0，从而1a n ＋1－1a n ＝1，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋n －1＝n ，所以a n ＝1n ，故a n ＋1a n ＝1(n ＋1)n ＝1n －1n ＋1，因此 (a k a k ＋1)＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1100－1101＝1－1101＝100101.变式1、(2019·湖南省湘东六校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝S n －1＋1(n ≥2，n ∈N )，且a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)记b n ＝1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】 (1)由已知有S n －S n －1＝1(n ≥2，n ∈N )，∴数列{S n }为等差数列，又S 1＝a 1＝1，∴S n ＝n ，即S n ＝n 2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又a 1＝1也满足上式，∴a n ＝2n －1. (2)由(1)知，b n ＝1(2n －1)(2n ＋1) ＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 变式2、已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足4S n ＝(a n ＋1)2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n .a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n 及T n 的最小值．【解析】 (1)∵(a n ＋1)2＝4S n ，∴S n ＝（a n ＋1）24，S n ＋1＝（a n ＋1＋1）24， ∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝（a n ＋1＋1）2－（a n ＋1）24， 即4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，∴2(a n ＋1＋a n )＝(a n ＋1＋a n )·(a n ＋1－a n )．∵a n ＋1＋a n ≠0，∴a n ＋1－a n ＝2，即{a n }是公差为2的等差数列，由(a 1＋1)2＝4a 1，解得a 1＝1，∴a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝1（2n －1）（2n ＋1）＝ 12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝ 12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝ 12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝12－12（2n ＋1）＝n 2n ＋1.∵T n ＋1－T n ＝12－12（2n ＋3）－⎣⎡⎦⎤12－12（2n ＋1）＝ 12（2n ＋1）－12（2n ＋3）＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＞0， ∴T n ＋1>T n ，∴数列{}T n 为递增数列， ∴T n 的最小值为T 1＝13.变式3、已知函数f (x )＝x α的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2020＝()A. 2 019－1B. 2 020－1C. 2 021－1D. 2 021＋1【答案】 C【解析】 由f (4)＝2，可得4α＝2，解得α＝12，则f (x )＝x .所以a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n ＝n ＋1－n ，所以S 2 020＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 020＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 021－ 2 020)＝2 021－1.方法总结：常见题型有（1）数列的通项公式形如a n ＝1n n ＋k 时，可转化为a n ＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k ，此类数列适合使用裂项相消法求和．（2）数列的通项公式形如a n ＝1n ＋k ＋n 时，可转化为a n ＝1k (n ＋k －n )，此类数列适合使用裂项相消法求和．考点四 错位相减法求和例4、(2019南京调研）已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30.(1) 求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2) 记c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．【解析】(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .(3分)由条件a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋3d ＋2q 3＝21，8＋6d ＋2q 3＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.所以a n ＝n ＋1，b n ＝2n ，n ∈N *.(7分) (2) 由题意知c n ＝(n ＋1)×2n . 记T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n .则T n ＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n ×2n －1＋ (n ＋1)×2n ，2T n ＝2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ＋(n ＋1)2n ＋1，所以－T n ＝2×2＋(22＋23＋…＋2n )－(n ＋1)×2n ＋1，(11分) 即T n ＝n ·2n ＋1，n ∈N *.(14分)变式1、(2019·郑州市第二次质量检测)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n >0，前n 项和为S n ，若a n ＝S n ＋S n －1(n ∈N *，且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记c n ＝a n ·2a n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 【解析】(1)在数列{a n }中，a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，①∵a n ＝S n ＋S n －1 ②，且a n >0， ∴①÷②得S n －S n －1＝1(n ≥2)，∴数列{}S n 是以S 1＝a 1＝1为首项，公差为1的等差数列， ∴S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，∴S n ＝n 2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 当n ＝1时，a 1＝1，也满足上式， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)知，a n ＝2n －1，∴c n ＝(2n －1)×22n －1， 则T n ＝1×2＋3×23＋5×25＋…＋(2n －1)×22n －1，4T n ＝1×23＋3×25＋5×27＋…＋(2n －3)×22n －1＋(2n －1)×22n ＋1，两式相减得，－3T n ＝2＋2(23＋25＋…＋22n －1)－(2n －1)×22n ＋1＝2＋2×8(1－22n －2)1－4－(2n －1)22n ＋1 ＝－103＋⎝⎛⎭⎫53－2n 22n ＋1，∴T n ＝(6n －5)22n ＋1＋109. 变式2、设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d ＞1时，记c n ＝a nb n ，求数列{c n }的前n 项和T n .解析：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n＝19(2n ＋79)，b n＝9·⎝⎛⎭⎫29n －1.(2)由d ＞1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1， ① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n . ②①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1.方法总结：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.。