第2讲 数列的求和及综合应用
一、选择题
1．已知数列112，314，518，71
16，…，则其前n 项和S n 为( )(导学号 55410114)
A ．n 2
＋1－12n
B ．n 2
＋2－12n
C ．n 2
＋1－
12
n －1
D ．n 2
＋2－12
n －1
解析：a n ＝(2n －1)＋1
2
n ，
所以S n ＝n （1＋2n －1）2＋12⎝ ⎛
⎭⎪
⎫1－12n 1－12＝n 2＋1－1
2
n .
答案：A
2．(2017·浙江卷)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4＋
S 6>2S 5”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：由S 4＋S 6－2S 5＝S 6－S 5－(S 5－S 4)＝a 6－a 5＝d ， 当d ＞0时，则S 4＋S 6－2S 5＞0，即S 4＋S 6＞2S 5. 反之，S 4＋S 6＞2S 5，可得d ＞0.
所以“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的充要条件． 答案：C
3．(2017·东北三省四市二模)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )
A ．9
B ．15
C ．18
D ．30
解析：因为a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，所以数列{a n }是公差为2的等差数列．所以a n ＝－5＋2(n －1)＝2n －7.
数列{a n }的前n 项和S n ＝
n （－5＋2n －7）
2
＝n 2
－6n .
令a n ＝2n －7≥0，解得n ≥7
2
.
所以n ≤3时，|a n |＝－a n ；n ≥4时，|a n |＝a n . 则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋a 5＋a 6，
S 6－2S 3＝62－6×6－2(32－6×3)＝18.
答案：C
4．满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *
)，它的前n 项和为S n ，则满足S n ＞1 025的最小n 值是( )(导学号 55410115)
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
解析：因为a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *)， 所以a n ＋1＝2a n ，a n ＝2
n －1
，S n ＝2n
－1.
则满足S n ＞1 025的最小n 值是11. 答案：C
5．(2017·长沙一中月考)数列a n ＝
1n （n ＋1），其前n 项之和为9
10
，则在平面直角坐
标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )
A ．－10
B ．－9
C ．10
D ．9
解析：由于a n ＝
1n （n ＋1）＝1n －1
n ＋1
，
所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 因此1－
1n ＋1＝9
10
，所以n ＝9， 所以直线方程为10x ＋y ＋9＝0.
令x ＝0，得y ＝－9，所以在y 轴上的截距为－9. 答案：B 二、填空题
6．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”．若a 1＝1，{a n }的“差数列”的通项公式为a n ＋1－a n ＝2n
，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．
解析：因为a n ＋1－a n ＝2n ，应用累加法可得a n ＝2n
－1，
所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2＋22
＋23
＋ (2)
－n ＝2（1－2n
）1－2
－n ＝2n ＋1
－n －2.
答案：2
n ＋1
－n －2
7．(2017·潮州二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2·3n －1
(n ∈N *
)，若b n ＝
a n ＋1
S n S n ＋1
，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________．
解析：易知数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列， 所以S n ＝2（1－3n
）1－3＝3n －1，
又b n ＝
a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1
S n ＋1
， 则b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪
⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝12－13n ＋1－1
.
答案：12－1
3n ＋1－1
8．已知向量a ＝(2，－n )，b ＝(S n ，n ＋1)，n ∈N *
，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，若
a ⊥
b ，则数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
a n a n ＋1a n ＋4的最大项的值为________． 解析：因为a ⊥
b ，所以a ·b ＝2S n －n (n ＋1)＝0， 所以S n ＝n （n ＋1）
2
，所以a n ＝n ，
所以
a n a n ＋1a n ＋4＝n （n ＋1）（n ＋4）＝1
n ＋4
n
＋5，
当n ＝2时，n ＋4
n
取最小值4，此时a n a n ＋1a n ＋4取到最大值1
9
.
答案：19
三、解答题
9．(2016·全国卷Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋
a 7＝6.
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3.解得a 1＝1，d ＝2
5.
所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋3
5
. (2)由(1)知，b n ＝⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2n ＋35.
当n ＝1，2，3时，1≤2n ＋3
5＜2，b n ＝1；
当n ＝4，5时，2≤2n ＋3
5＜3，b n ＝2；
当n ＝6，7，8时，3≤2n ＋3
5＜4，b n ＝3；
当n ＝9，10时，4≤2n ＋3
5
＜5，b n ＝4.
所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.
10．(2017·莆田质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
＋kn ，其中k 为常数，a 6＝13. (1)求k 的值及数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝
2
n （a n ＋1）
，求数列{b n }的前n 项和T n .
解：(1)由已知S n ＝n 2
＋kn ，有a n ＝S n －S n －1＝2n ＋k －1(n ≥2)， 又a 1＝S 1＝k ＋1，所以a n ＝2n ＋k －1.
又因为a 6＝13，所以2×6＋k －1＝13，解得k ＝2， 所以a n ＝2n ＋1. (2)因为b n ＝
2n （a n ＋1）＝2n （2n ＋2）＝1
n （n ＋1）
，
所以b n ＝1n －1
n ＋1
，
所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1，
所以数列{b n }的前n 项和T n ＝
n
n ＋1
.
11．(2016·山东卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2
＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n
＋b n ＋1.(导学号 55410116)
(1)求数列{b n }的通项公式；
(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1
（b n ＋2）n ，求数列{c n }的前n 项和T n .
解：(1)由题意知，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝11，符合上式． 所以a n ＝6n ＋5. 设数列{b n }的公差为d .
由⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3，即⎩⎪⎨⎪⎧11＝2b 1＋d ，17＝2b 1＋3d ， 可解得b 1＝4，d ＝3.所以b n ＝3n ＋1.。