二次函数
【学习目标】：
知识点、考点：
1.二次函数的定义；
2.二次函数的图像和性质；
3.确定二次函数的解析式。
【学习内容】：
知识网络详解：
一、二次函数
1、二次函数的定义
一般地，形如_________（a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b,c可以为0，二次函数的定义域是全体实数。
2、二次函数的结构特征
（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.
（2）a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
3、二次函数的三种常见形式
①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），对称轴______，顶点坐标______．该形式的优势是能直接根据解析式知道抛物线与y轴的交点坐标是（0，c）；
②顶点式：（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；
③交点式：（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（，0），（，0），对称轴为______．
4、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图像及性质
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0）的图像有以下特征：
（1）二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小
①当a＞0时，开口向______，顶点坐标______，对称轴为______，当x＞______时，
y随x的增大而______；x＜______时，y随x的增大而______；x=______时，y有
最小值为______。
②当a＜0时，开口向______，顶点坐标______，对称轴为______，当x＞______时，
y随x的增大而______；x＜______时，y随x的增大而______；x=______时，y有
最大值为______。
③∣a∣决定开口大小，∣a∣越大开口就越小。
（2）一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：
左同右异：当a,b同号时，对称轴在y轴左侧，当a,b异号时，对称轴在y轴右侧。
（3）常数项c决定抛物线与y轴的交点，抛物线与y轴交于（0，c），
①c＞0,与y轴交于正半轴
②c=0，过原点
③c＜0，与y轴交于负半轴
（4）抛物线与x轴的交点个数：
△=＞0时，抛物线与x轴有______个交点
△==0时，抛物线与x轴有______个交点
△=＜0时，抛物线与x轴有______个交点
5、二次函数的平移
具体步骤：先把二次函数y=ax2+bx+c化成的形式，确定其顶点(h,k)，然后做出二次函数的图像，将抛物线平移，使其顶点平移到(h,k).
平移规律:左加右减,上加下减.
6.确定二次函数的表达式
用待定系数法求二次函数的解析式．
在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
①一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；
②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；
③当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
练习：
一、选择题
1. 下列函数是二次函数的是（）
A. y=2x+1
B. y=ax2+bx+3
C. y=（x+1）（2x﹣1）
D.y=
2.要得到函数y=2x2-1的图象，应将函数y=2x2的图象（）
A. 沿x轴向左平移1个单位
B. 沿x轴向右平移1个单位
C. 沿y轴向上平移1个单位
D. 沿y轴向下平移1个单位
3.抛物线y=﹣3x2+2x﹣1与坐标轴的交点个数为（）
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
4.若A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3）为二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A. y1＜y2＜y3
B. y2＜y1＜y3
C. y3＜y2＜y1
D. y3＜y1＜y2
5．已知（1，a），（﹣2，b），（﹣4，c）是抛物线y＝﹣2x2﹣m上的点，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．c＜a＜b
6．若二次函数y＝x2+2x+1在m≤x≤m+1（m为常数）的范围内有最小值1，则m的值为（）A．﹣3或0 B．﹣2或1 C．﹣2或0 D．﹣3≤m≤﹣2 7.在同一直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+b（a，b都不为0）的图象的相对位置可以是（）
A．B．
C．D．
8.在同一平面直角坐标系中，函数y=ax2+bx与y=-bx+a的图象可能是（）
A．B．
C．D．
9.如图，抛物线y＝x2+3x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC，AC，则△ABC的面积为（）
A．1 B．2 C．4 D．8
10.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（0.5，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac﹣b2=4a；④（a+c）2﹣b2＜0．其中正确的个数是（）
A.1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
11.如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＜0；④当x＞1时，y随x的增大而减小；⑤2a﹣b＝0；⑥b2﹣4ac＞0．下列结论一定成立的是（）
A．①②④⑥B．①②③⑥C．②③④⑤⑥D．①②③④
二、填空题
12.把二次函数y＝（x﹣2）2+1化为y＝x2+bx+c的形式，其中b、c为常数，则b+c＝．
13.若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），P（8，y3）在抛物线y＝﹣+2x上，则y1，y2，y3由小到大的顺序为
14.若二次函数y＝（k+1）x2﹣2x+k的最高点在x轴上，则k＝．
15.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列6个结论：
①abc＜0；
②b＜a﹣c；
③4a+2b+c＞0；
④2c＜3b；
⑤a+b＜m（am+b），（m≠1的实数）
⑥2a+b+c＞0，其中正确的结论的有．
三、解答题
16.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴交于点（0，﹣2），且过点A（﹣1，1）和B （4，6）．
（1）求二次函数的解析式，并写出其图象的顶点坐标；
（2）当2≤x≤5时，求二次函数的函数值y的取值范围．
17．一次函数y＝﹣x的图象如图所示，它与二次函数y＝ax2+2ax+c的图象交于A、B两点（其中点A在点B的左侧），与这个二次函数图象的对称轴交于点C．（1）求点C的坐标；
（2）设二次函数图象的顶点为D．若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于，求此二次函数的关系式．。