定理12 实二次型f 正定的充分必要条件是：它的标 准形的 n 个系数全为正.
第十五讲：配方法与正定二次型
2.特征值判定方法
推论 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特
征值全为正 分析：由于二次型可合同为标准型，标准型的系数即组成 了对角矩阵，主对角线的元素是由特征值构成的，所以特 征值即标准型系数，由以上定理即可得出结论。 3.主子式判定方法：
特征值相同，为：A ,i 1, ,n.
i
A正定,i 0, A 0,
A 0,i 1, ,n. A*的特征值均为正，即正定。
i 25（2）证：设f1 xT Ax, f2 xT Bx,, 则; f ( x) xT ( A B)x xT Ax xT Bx,
xTU TUx (Ux)T (Ux)， Unn xn1 qn1 q1 , q2 , qn
f
(
x
)
qT
q
q2 1
q2 2
q2 n
0
x 0, U可逆Ux 0,即q 0, f 0
即f xT Ax为正定二次型
第十五讲：配方法与正定二次型
4.负定判定方法：
对称矩阵 A 为负定的充分必要条件是：A 的奇数阶主子式
二、正定二次型的概念 1.惯性定理： 定理11 设有实二次型
, 它的秩为 r ，有两个实可逆
变换
及
使
及
则
中正数的个数与
中正数的个数相等.
这个定理称为惯性定理.
标准化后正系数的个数称为正惯性指数，记为p
负（含零）系数的个数称为负惯性指数
第十五讲：配方法与正定二次型 该定理说明了：
（1）二次型的标准形不是唯一的，但标准形中所
为负，而偶数阶主子式为正，即
这个定理称为霍尔维茨定理. 例5 判别二次型
解
的正定性.
所以f 为负定的.
第十五讲：配方法与正定二次型
例6 设二次型 f 2x12 x22 x32 2x1 x2 tx2 x3
是正定的,则 t ( ).
2
解: A 1
1 1
0 t
A1 2 2 0
x1
x2
2x3
2
[
2 x2
2 2(2x2 )x3
x2 3
]
9
x2 3
x1 x2 2x3 2
2 x2
x3
2
9
x2 3
第十五讲：配方法与正定二次型
y1 x1 x2 2 x3
令
y2
2 x2
x3
y3 x3
15
即
x1
x2
y1 2 y2
1 2
y2
1 2
y3
2
y3
x3 y3
解: f x12 5x22 4x32 2x1 x2 4x1 x3
x12 2x1( x2 2x3 ) 5x22 4x32
[
x2 1
2x1( x2
2x3 )
x2 2x3 2 ]
x2
2x3
2
5
x2 2
4
x2 3
x1
x2 2x3
2
4
x2 2
4 x2
x3
8
x2 3
是否正定
解:
6 2 2
6 A 2
2
2 5 0
2
0
a11 6 0
7
6 2
2 34 0
5
2 5 0 162 0
所以正定
2 07
第十五讲：配方法与正定二次型
必 要 性 ： 设A对 称 且 正 定 ， 则 存 在 正交 矩 阵P， 与 对 角
矩阵 diag(1,2 , ,n )，i 0, i 1,2, , n.使得：
0
t 2
2
1
2 A2 1
1 1 0
1
21 0
A3 1
1
t
t2
1 0
2
2
2 t
2
0t 1
2
第十五讲：配方法与正定二次型
证：（1) A正定， A的特征值全为正。且存在P正交，
使得：P 1 AP .即：
(P 1 AP)1 1.P 1 A1P 1.设 diag(1, ,n ),
则：－1 diag( 1 , , 1 )。
第十五讲：配方法与正定二次型
2.正定二次型的定义：
定义9 设有实二次型
, 如果对任何 ，
都有 f >0 （显然 f (0) = 0）， 则称 f 为正定二次型，
并称对称矩阵 A 是正定的； 如果对任何 ， 都有
则称为负定二次型, 并称对称矩阵 A 是负定的.
三、正定二次型的判定方法：
1.标准型系数法：
第十五讲：配方法与正定二次型
本次课讲完大纲规定全部内容， 下次课进行全书总结并讲授一套模拟 训练题 本次上课交作业P49—P50,T20可暂不 做，课堂上讲
第十五讲：配方法与正定二次型
一、配方法化标准型
例1 化二次型 f x12 5x22 4x32 2x1 x2 4x1 x3
成标准型，并所用的变换矩阵.
P 1 AP PT AP .即 : A PP 1 PPT
1
A PPT P
PT
n
1
P
1
n
PT
n
1
P
第十五讲：配方法与正定二次型
1
PT
n
n
1
令U
PT ,则：A U TU .结论成立。
n
充分性：设U为可逆矩阵，A U TU，f ( x) xT Ax
含的项数是确定的（即是二次型的秩）。
（2）在限定变换为实变换时，标准形中正系数的个 数（即正惯性指数）是不变的，同理，负惯性指数也 不变
（3）在二次型标准化的各类变换中，通过练习已知， 一种典型的变换是正交变换，变换后标准型的系数恰好 是特征值。根据惯性定理，所有特征值中，正特征值的 个数等于正惯性指数，负（含零）特征值个数等于负惯 性指数
1
n
A1与1相似， A1的特征值与1的相同，
为：1
1
,
,
1
n
。
i
1 0,
i
0,
i 1,2, , n.特征值均为正，即A1正定。
第十五讲：配方法与正定二次型
AA* A E, A* A A1 . P 1 A A1P A 1 即：P 1 A*P A 1，即：A* A A1与 A 1相似。
（1）什么是主子式 沿主对角线，从a11开始，依次计算的1、2、 n阶行列式
a11 a11
分别称为1,2, n阶主子式
第十五讲：配方法与正定二次型
（2）主子式判定定理
定理13 对称矩阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主
子式都为正，即
例4: 判断二次型 f 6x12 5x22 7x32 4x1x2 4x1x3
1 1 5
2 2
P
0
1 2
1 2
0 0 1
( P 0)
标准型为: f y12 y22 9 y32
第十五讲：配方法与正定二次型
例2 化二次型 成标准型，并求所用的变换矩阵.
解
令
即
第十五讲：配方法与正定二次型
就把 f 化成标准形
所用变换矩阵为
（|P|=1≠0）
第十五讲：配方法与正定二次型