青岛西海岸新区高中4月模拟试题数 学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}）（）（2x -x22log x f |==x M ，集合}13{x>=x N ，则M N I =( )A ． (2,+∞)B ．)2,0(C ．[)∞+，2 D ．(3,+∞) 2. 已知复数i iiz 311+-+=，则复数z 的虚部是（ ） A. 4i B. 2i C. 2 D. 43．已知向量a r 、b r 均为非零向量，()2a b a -⊥r r r ，a b =r r ，则a r 、b r的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 4．中国当代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为；“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第一天走了（ ） A ．24里B ．48里C ．96里D ．192里5．在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,若b A B c C B a 23cos sin cos sin =+，且a>b,则=∠B ( ) A ．3π B ．6πC ．23π D ．56π6．过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 作倾斜角为ο60的直线l 交抛物线于A,B 两点，且BF AF >,则=BFAF ( )A. 2 B ．3 C ．34 D ．23 7.考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为1428572285714⨯=，1428573428571⨯=，…所以这组数字又叫走马灯数.该组数字还有如下规律：142857999+=，571428999+=，…若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数x ，则999x -的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为（ ）A.45B.35C.25D.3108．如图所示的三棱柱111ABC A B C -，其中AC BC ⊥，若12AA AB ==，当四棱锥11B A ACC -体积最大时，三棱柱111ABC A B C -外接球的体积为（ ）A ．163π B ．23C ．823D ．43π 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9.习总书记讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献,无怨无悔,让我感到千千万万普通人最伟大,同时让我感到幸福都是奋斗出来的”.某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下：已知：利润=收入-支出,根据该折线图,下列说法正确的是（ ）A. 该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润B. 该企业2019年第一季度的利润约是60万元C. 该企业2019年4月至7月的月利润持续增长D. 该企业2019年11月份的月利润最大 10.声音是由物体振动产生的声波,其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sin y A t ω=,我们听到的声音是由纯音合成的,称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数()1sin sin 22f x x x =+,则下列结论正确的是（ ） A. 2π是()f x 的一个周期B. ()f x 在[]0,2π上有3个零点C. ()f x 的最大值为334D. ()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 11.在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D 恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =的判断正确的是( )A. 函数()y f x =是奇函数B. 对任意的x ∈R ，都有()()44f x f x +=-C. 函数()y f x =的值域为0,22⎡⎤⎣⎦D. 函数()y f x =在区间[]6,8上单调递增12．如图,正方形ABCD 中,E F 、分别是AB BC 、的中点将,,ADE CDF BEF ∆V V 分别沿DE DF EF 、、折起,使、、A B C 重合于点P .则下列结论正确的是（ ）A ．PD EF ⊥B ．平面PDE PDF ⊥平面C ．二面角P EFD --的余弦值为13D ．点P 在平面DEF 上的投影是DEF ∆的外心 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设f(x)是定义在R 上的奇函数，且满足()()2f x f x +=-，则()2f -=_______14．已知6(21)()x x a -+的展开式中5x 的系数为24，则a =__________．15．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过点1F 2的直线与y 轴及双曲线的右支分别交于,A B 两点，若1F A AB =u u u r u u u r，则双曲线的离心率为 ．16．已知函数2()cos2x f x x π=，数列{}n a 中，()*()(1)n a f n f n n N =++∈，则数列{}n a 的前100项之和100S =____．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在各项均不相等的等差数列{}n a 中，11a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和122n n S +=-．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）设22log n an n c b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．18.在①222b a c =+,②cos sin a B b A =,③sin cos B B +=选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.已知ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ______________,3A π=,b =求ABC ∆的面积.19.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变。

近年来，移动支付已成为主要支付方式之一。

为了解某校学生上个月A,B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A,B 两种支付方式都不使用的有5人，样本仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额(元)支付方式(0,1000] (1000,2000] 大于2000仅使用A 18人9人3人仅使用B 10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两个支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额大于2000元。

根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由。

20.已知△ABC的各边长为3，点D，E分别是AB，BC上的点，且满足CEEA＝12，D为AB的三等分点（靠近点A），(如图(1))，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1－DE－B的平面角为90°，连接A1B，A1C(如图(2))．(1)求证：A1D⊥平面BCED；(2)在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．21.如图：在平面直角坐标系中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为21，点)23,3(M 在椭圆C 上，),00y x R （是椭圆C 上的一点，从原点O 向圆712)()(:2020=-+-y y x x R 作两条切线，分别交椭圆于P,Q.(1) 求椭圆C 的方程；(2) 若直线OP,OQ 的斜率存在，并记为21,k k ，求21k k ⋅的值；(3) 试问22OQ OP +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由。

22. 已知函数R a xxa x f ∈+-=,ln 1)( (1) 求)(x f 的极值；(2) 若0ln <-kx x 对任意的0>x 均成立，求K 的取值范围；(3) 已知0,021>>x x 且e x x <+21，求证：2121x x x x >+青岛西海岸新区高中4月模拟试题数学答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A2.D3. B4.D5. A6. B7.C8.C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9. AC 10.ABC 11. BCD 12.ABC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 0 14. 1或45-15.+10200四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解:（1）设数列{}n a 的公差为d ，则21a a d =+，514a a d =+，∵1a ，2a ，5a 成等比数列， 2215a a a ∴=，即()()21114a d a a d +=+，整理得212d a d =，解得0d =（舍去）或122d a ==，()1121n a a n d n ∴=+-=-. ………….........…………3分当1n =时，12b =，当2n ≥时，()112222n n n n n b S S +-=-=---1222222n n n n n +=-=⨯-=．验证：当1n =时，12b =满足上式，∴数列{}n b 的通项公式为2nn b =． ………….........…………6分（2）由（1）得，2122log 2n an n n c b n -==++， ………….........…………7分 ∴()()()3521(21)22232n n T n -=++++++++L()35212222(123)n n -=+++++++++L L ………….........…………8分2(14)(1)142n n n -+=+- 2122232n n n+-+=+. ………….........…………12分 18.解：（1）若选择①222b a c +=+,由余弦定理222cos 222a cb B ac ac +-===,………….........4分 因为(0,)B π∈,所以4B π=;………….........………5分由正弦定理sin sin a bA B=,得sin sin sin 2b A a B π===…………........7分因为3A π=,4B π=,所以53412C ππππ=--=,………….........8分所以5sin sinsin sin cos cos sin 12464646C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭………10分所以11sin 22ABC S ab C ∆===.………….........12分 （2）若选择②cos sin a B b A =,则sin cos sin sin A B B A =,………….........3分 因为sin 0A ≠,所以sin cos B B =,………….........4分因为(0,)B π∈,所以4B π=;………….........5分由正弦定理sin sin a bA B=,得sin sin sin 2b A a B π===………….........7分因为3A π=,4B π=,所以53412C ππππ=--=,………….........8分所以5sin sin sin sin cos cos sin 12464646C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭,.........10分所以113sin 2244ABC S ab C ∆+===.…………........12分 （3）若选择③sin cos B B +=4B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,………….....3分 因为(0,)B π∈,所以5,444B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, 所以42B ππ+=,所以4B π=;………….........5分由正弦定理sin sin a bA B=,得sin sin sin b A a B π===………….........7分因为3A π=,4B π=,所以53412C ππππ=--=,………….........8分 所以5sin sinsin sin cos cos sin 12464646C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭,…….......10分所以11sin 22ABC S ab C ∆===.………….........12分 19. 解：（Ⅰ）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人.………….........2分 所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为400.4100=.………….........4分 （Ⅱ）X 的所有可能值为0，1，2.记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”. 由题设知，事件C ，D 相互独立，且93141()0.4,()0.63025P C P D ++====. 所以(2)()()()0.24P X P CD P C P D ====，………….........5分(1)()P X P CD CD ==U ()()()()P C P D P C P D =+=0.4×（1−0.6）+（1−0.4）×0.6 =0.52，………….........6分(0)()()()0.24P X P CD P C P D ====.………….........7分所以X 的分布列为故X 的数学期望E （X ）=0×0.24+1×0.52+2×0.24=1.………….........9分（Ⅲ）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”.假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由上个月的样本数据得33011()C 4060P E ==.………….........10分 答案示例1：可以认为有变化.理由如下：P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.………….........12分 答案示例2：无法确定有没有变化.理由如下：事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化.………….........12分20.(1)证明 由图(1)可得：AE ＝2，AD ＝1，A ＝60°.从而DE ＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝ 3 …………………………2分 故得AD 2＋DE 2＝AE 2，∴AD ⊥DE ，BD ⊥DE . ∴A 1D ⊥DE ，BD ⊥DE ，∴∠A 1DB 为二面角A 1－DE －B 的平面角， ………………………4分 又二面角A 1－DE －B 为直二面角，∴∠A 1DB ＝90°，即A 1D ⊥DB ， ∵DE ∩DB ＝D 且DE ，DB ⊂平面BCED ，∴A 1D ⊥平面BCED . …………………6分 (2)存在．由(1)知ED ⊥DB ，A 1D ⊥平面BCED .以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、DA 1分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D －xyz ，如图，过P 作PH ∥DE 交BD 于点H ，设PB ＝2a (0≤2a ≤3)，则BH ＝a ，PH ＝3a ，DH ＝2－a ，易知A 1(0，0，1)，P (2－a ，3a ，0)，E (0，3，0)，所以PA 1→＝(a －2，－3a ，1)． 因为ED ⊥平面A 1BD ，所以平面A 1BD 的一个法向量为DE →＝(0，3，0)．………8分 因为直线PA 1与平面A 1BD 所成的角为60°，所以sin 60°＝|PA 1→·DE →||PA 1→||DE →|＝3a4a 2－4a ＋5×3＝32，解得a ＝54. ∴PB ＝2a ＝52，满足0≤2a ≤3，符合题意．………………………11分所以在线段BC 上存在点P ，使直线PA 1与平面A 1BD 所成的角为60°，此时PB ＝52. ---12分21.解：（1）因为离心率为21，所以4122222=-=a b a a c ，所以2243a b =，…………..1分 椭圆方程可化为1432222=+a y a x ，代入点)23,3(M 得42=a …………......2分 所以椭圆方程为13422=+y x ………….........3分 （2）因为直线x k y OP 1=：和x k y OQ 2=：都与圆R 相切，所以784121001=+-k y x k ，784122002=+-k y x k ，........4分所以21,k k 是方程07122)712(2000202=-+--y y kx x k 的两根........5分所以712712202021--=⋅x y k k -------------------------6分 因为点),00y x R （在椭圆上所以2020433x y -=---------------7分 所以43-712)712(43-7127122020202021=--=--=⋅x x x y k k ----------------8分 （3）①当直线OP 、OQ 不落在坐标轴上时，设),(11y x P ，),(22y x Q联立⎩⎨⎧=+=124322y x kx y 得21214312k x +=，2121214312k k y +=-------------9分 所以2121212143)1(12k k y x ++=+，同理2222222243)1(12k k y x ++=+ 因为43-21=⋅k k所以2121222222224396143)1(12k k k k y x ++=++=+------------10分 所以743)43(721212222212122=++=+++=+k k y x y x OQ OP ------------11分 ②当直线OP 、OQ 落在坐标轴上时，显然有722=+OQ OP综上，722=+OQ OP -----------12分22.解：（1）2ln )(x xa x f -='-----1分 0)(>'x f 得a e x <<0，0)(<'x f 得a e x >-----3分所以)(x f 在()a e ,0单调递增，在()∞+，ae 单调递减所以)(x f 有极大值aa e e f -=)(，无极小值-----4分（2）0ln <-kx x 即x x k ln >即max ln ）（xxk >-----5分由（1）知，1=a 时，)(ln )(x g xxx f ==所以此时)(x g 最大值为ee g 1)(=-----------6分 所以ek 1>--------------7分 （3）因为0,021>>x x 且e x x <+21 所以),0(,21e x x ∈因为)(x g 在),0(e 单调递增所以)()(211x x g x g +<-------------------8分即212111)ln(ln x x x x x x ++<，所以212111)ln(ln x x x x x x ++<-------------------9分 同理)()(212x x g x g +<，所以212122)ln(ln x x x x x x ++<所以)ln()ln()ln(ln ln 21212122121121x x x x x x x x x x x x x x +=+++++<+-------------------10分即)ln()ln(2121x x x x +<-------------------11分 所以2121x x x x +<------------------12分。