电磁感应中“杆+导轨”模型问题例1、相距L=1.5m的足够长金属导轨竖直放置，质量m1=1kg的金属棒ab和质量m2=0.27kg 的金属棒cd，均通过棒两端的套环水平地套在金属导轨上，如图1所示，虚线上方磁场的方向垂直纸面向里，虚线下方磁场的方向竖直向下，两处磁场磁感应强度大小相同。
ab棒光滑，cd棒与导轨间动摩擦因数μ=0.75，两棒总电阻为1.8Ω，导轨电阻不计。
ab棒在方向竖直向上、大小按图2所示规律变化的外力F作用下，从静止开始沿导轨匀加速运动，同时cd棒也由静止释放。
（g=10m/s2）（1）求ab棒加速度的大小和磁感应强度B的大小；（2）已知在2s内外力F做了26.8J的功，求这一过程中两金属棒产生的总焦耳热；（3）求出cd棒达到最大速度所需的时间t0，并在图3中定性画出cd棒所受摩擦力fcd随时间变化的图线。
解：（1），所以， 33.1（2分）由图2的截距可知，，，33.2（2分）由图2的斜率可知，，， 33.3（2分）（2）， 33.4（2分）， 33.5（2分）（3），，所以有，，，33.6（2分）33.7（2分）例2、如图所示，两条光滑的金属导轨相距L =1m，其中MN段平行于PQ段，位于同一水平面内，NN0段与QQ0段平行，位于与水平面成倾角37°的斜面内，且MNN0与PQQ0均在竖直平面内。
在水平导轨区域和倾斜导轨区域内分别有垂直于水平面和斜面的匀强磁场B1和B2，且B1=B2=0.5T。
ab和cd是质量均为m=0.1kg、电阻均为R=4Ω的两根金属棒，ab置于水平导轨上，cd置于倾斜导轨上，均与导轨垂直且接触良好。
从t=0时刻起，ab棒在外力作用下由静止开始沿水平方向向右运动（ab棒始终在水平导轨上运动，且垂直于水平导轨），cd棒受到F＝0.6-0.25t（N）沿斜面向上的力的作用，始终处于静止状态。
不计导轨的电阻。
（sin37°=0.6）（1）求流过cd棒的电流强度Icd随时间t变化的函数关系；（2）求ab棒在水平导轨上运动的速度vab随时间t变化的函数关系；（3）求从t=0时刻起，1.0s内通过ab棒的电荷量q；（4）若t=0时刻起，1.0s内作用在ab棒上的外力做功为W=16J，求这段时间内cd棒产生的焦耳热Qcd。
解析：（1）cd棒平衡，则F＋Fcd＝mgsin37°（2分）Fcd= BIcdL （1分）得Icd＝0.5t（A）（2分）（2）cd棒中电流Icd＝Iab＝0.5t（A），则回路中电源电动势E＝Icd R总（1分）ab棒切割磁感线，产生的感应电动势为E＝BLvab （1分）解得，ab棒的速度 vab＝8 t （m/s）（2分）所以，ab棒做初速为零的匀加速直线运动。
（3）ab棒的加速度为a＝8m/s2，1.0s内的位移为S＝at2＝×8×1.02＝4m （1分）根据，（1分）得q＝t＝＝0.25C （2分）（4）t＝1.0s时，ab棒的速度vab＝8t＝8m/s （1分）根据动能定理W－W安＝mv2－0 （2分）得1.0s内克服安培力做功W安＝16－×0.1×82＝12.8J （1分）回路中产生的焦耳热Q＝W安＝12.8Jcd棒上产生的焦耳热Qcd＝Q/2＝6.4J（1分）对应小练习：1、如图所示，足够长的两根光滑固定导轨相距0.5m竖直放置，导轨电阻不计，下端连接阻值为的电阻，导轨处于磁感应强度为B=0.8T的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里。
两根质量均为0.04kg、电阻均为r=0.5的水平金属棒和都与导轨接触良好。
金属棒用一根细线悬挂，细线允许承受的最大拉力为0.64N，现让棒从静止开始下落，经ls钟细绳刚好被拉断，g取10m／s2。
求：（l）细线刚被拉断时，整个电路消耗的总电功率P；（2）从棒开始下落到细线刚好被拉断的过程中，通过棒的电荷量。
解：⑴细线刚被拉断时，ab棒所受各力满足：F=IabLB+mg 得：Iab==0.6A 电阻R 中的电流：IR ==0.3A cd棒中的电流 Icd= Iab+ IR=0.6 A +0.3A=0.9A cd棒中产生的感应电动势 E= Icd0.75V 整个电路消耗的总电功率 P=Pab+ Pcd+ PR= Iab2r+ Icd2r+ IR2R=0.675W （或P= E Icd=0.675W）⑵设线断时cd棒的速度为V，则E=BLV，故 V==1.875m/s 对cd棒由动量定理可得： mgt―qLB=mV 得 q= =0.8125C2、(20分)如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ竖直放置，一个磁感应强度为B ＝0.5T的匀强磁场垂直穿过导轨平面，导轨的上端M与P间连接阻值为R=0．3 的电阻，长为L=0.40 m，电阻为r=0．2的金属棒ab紧贴在导轨上。
现使金属棒ab由静止开始下滑，通过传感器记录金属棒ab下滑的距离，其下滑的距离与时间的关系如下表所示，导轨的电阻不计。
()时间t(s) 0 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 下滑距离s(m) 0 0.10 0.30 0.70 1.20 1.70 2.20 2.70求：(1)在前0.4s的时间内，金属棒ab电动势的平均值。
(2)在0.7s时，金属棒ab两端的电压值。
（3）在前0.7s的时间内，电阻R上产生的热量Q。
解：(1)（4分）(2)从表格中数据可知，0.3s后棒做匀速运动（2分）速度（2分）（4分）解得m=0.04 Kg∴ab棒两端的电压，u=E-Ir=0.6V （3分）(3)棒在下滑过程中；有重力和安培力做功；克服安培力做的功等于回路的焦耳热。
则：（2分）（2分）解得 Q=0.348J （1分）3、如图甲所示，两条足够长的光滑平行金属导轨竖直放置，导轨间距L=1m，两导轨的上端间接有电阻，阻值R=2Ω，虚线OO'下方是垂直于导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度B=2T。
现将质量为m=0.1Kg，电阻不计的金属杆ab，从OO'上方某处由静止释放，金属杆在下落过程中与导轨保持良好接触，且始终保持水平，不计导轨电阻，已知金属杆下落0.4m 的过程中加速度a与下落距离h的关系如图乙所示，g=10m/s2，求：（1）金属杆刚进入磁场时的速度多大？（2）金属杆下落0.4m的过程中，电阻R上产生了多少热量？4、如图所示，在磁感应强度为B=2T，方向垂直纸面向里的匀强磁场中，有一个由两条曲线状的金属导线及两电阻（图中黑点表示）组成的固定导轨，两电阻的阻值分别为R1=3Ω、R2=6Ω，两电阻的体积大小可忽略不计，两条导线的电阻忽略不计且中间用绝缘材料隔开，导轨平面与磁场垂直（位于纸面内），导轨与磁场边界（图中虚线）相切，切点为A，现有一根电阻不计、足够长的金属棒MN与磁场边界重叠，在A点对金属棒MN施加一个方向与磁场垂直、位于导轨平面内的并与磁场边界垂直的拉力F，将金属棒MN以速度v=5m／s 匀速向右拉，金属棒MN与导轨接触良好，以切点为坐标原点，以F的方向为正方向建立x轴，两条导线的形状符合曲线方程m，求：（1）推导出感应电动势e的大小与金属棒的位移x的关系式．（2）整个过程中力F所做的功．（3）从A到导轨中央的过程中通过R1的电荷量．解：（1），所以：（4分）（2）因为ｘ＝ｖｔ，所以由于导体做匀速运动，力F所做的功等于电路中电流所做的功。
有效值（２分）导体切割磁感线的时间，电路中总电阻（２分）拉力F所做的功（２分）（3）由，可知Emax=BSω=Φmω ，所以：Wb，（2分）通过电阻R1的电量为（2分）课后练习1、如图所示，两足够长平行光滑的金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面夹角α＝30°，导轨上端跨接一定值电阻R，导轨电阻不计．整个装置处于方向竖直向上的匀强磁场中，长为L的金属棒cd垂直于MN、PQ放置在导轨上，且与导轨保持电接触良好，金属棒的质量为m、电阻为r，重力加速度为g，现将金属棒由静止释放，当金属棒沿导轨下滑距离为s时，速度达到最大值vm．求：（1）金属棒开始运动时的加速度大小；（2）匀强磁场的磁感应强度大小；（3）金属棒沿导轨下滑距离为s的过程中，电阻R上产生的电热．解：（1）金属棒开始运动时的加速度大小为a，由牛顿第二定律有①（2分）解得（2分）（2）设匀强磁场的磁感应强度大小为B，则金属棒达到最大速度时产生的电动势②（1分）回路中产生的感应电流③（1分）金属棒棒所受安培力④（1分）cd棒所受合外力为零时，下滑的速度达到最大，则⑤（1分）由②③④⑤式解得（1分）（3）设电阻R上产生的电热为Q，整个电路产生的电热为Q总，则⑥（3分）⑦（1分）由⑥⑦式解得（1分）2、如图甲，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ = 30°角固定，M、P之间接电阻箱R，导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B = 0.5T。
质量为m的金属杆a b水平放置在轨道上，其接入电路的电阻值为r。
现从静止释放杆a b，测得最大速度为vm。
改变电阻箱的阻值R，得到vm与R的关系如图乙所示。
已知轨距为L = 2m，重力加速度g取l0m/s2，轨道足够长且电阻不计。
⑴当R = 0时，求杆a b匀速下滑过程中产生感生电动势E的大小及杆中的电流方向；⑵求金属杆的质量m和阻值r；⑶当R = 4Ω时，求回路瞬时电功率每增加1W的过程中合外力对杆做的功W。
甲乙解：解法一：⑴由图可知，当R = 0 时，杆最终以v = 2 m/s匀速运动，产生电动势E = BLv ………………………………………………………………………1分E = 2V ……………………………………………………………………… 1分杆中电流方向从b → a ………………………………………………………1分⑵设最大速度为v，杆切割磁感线产生的感应电动势 E = BLv由闭合电路的欧姆定律：…………………………………………1分杆达到最大速度时满足………………………………1分解得：v = …………………………………………1分由图像可知：斜率为，纵截距为v0=2m/s，得到：= v0 ……………………………………………1分k ………………………………………………1分解得：m = 0.2kg ……………………………………………………………1分r = 2Ω……………………………………………………………1分⑶由题意：E = BLv ………………………………1分得……………………………………………………1分……………………………………………1分由动能定理得W = ………………………………………………………1分…………………………………………………………1分W = 0.6J ………………………………………………………………………1分解法二：设最大速度为v，杆切割磁感线产生的感应电动势 E = BLv由闭合电路的欧姆定律：…………………………………………1分由图可知当R = 0时 v = 2 m/s ……………………2分当R =2Ω时 v′= 4m/s ………………………………2分解得：m = 0.2kg ……………………………………………………………1分r = 2Ω……………………………………………………………1分⑶由题意：………………………………………1分得……………………………………………………1分……………………………………………1分由动能定理得………………………………………………………1分…………………………………………………………1分W = 0.6J……………………………………………………………………… 1分3、如图甲，两光滑的平行导轨MON与PO/Q，其中ON、O/Q部分是水平的，倾斜部分与水平部分用光滑圆弧连接，QN两点间连电阻R, 导轨间距为L．水平导轨处有两个匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ（分别是cdef和hgjk虚线包围区），磁场方向垂直于导轨平面竖直向上，Ⅱ区是磁感强度Ｂ０的恒定的磁场，Ⅰ区磁场的宽度为x0，磁感应强度随时间变化。