动点问题解题技巧
以运动得观点探究几何图形部分规律得问题,称之为动态几何问题。
动态几何问题充分体现了数学中得“变”与“不变”得与谐统一,其特点就是图形中得某些元素(点、线段、角等)或某部分几何图形按一定得规律运动变化,从而又引起了其它一些元素得数量、位置关系、图形重叠部分得面积或某部分图形等发生变化,但就是图形得一些元素数量与关系在运动变化得过程中却互相依存,具有一定得规律可寻。
所谓“动点型问题”就是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动得一类开放性题目,注重对几何图形运动变化能力得考查。
解决这类问题得关键就是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题、在变化中找到不变得性质就是解决数学“动点”探究题得基本思路,这也就是动态几何数学问题中最核心得数学本质。
从变换得角度与运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形,通过“对称、动点得运动”等研究手段与方法,来探索与发现图形性质及图形变化,在解题过程中渗透空间观念与合情推理、这些压轴题题型繁多、题意创新,目得就是考察学生得分析问题、解决问题得能力,内容包括空间观念、应用意识、推理能力等、从数学思想得层面上讲需要具备以下思想:分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、函数思想、方程思想。
常见得动点问题
一、数轴上得动点问题
数轴上得动点问题离不开数轴上两点之间得距离。
为了便于对这类问题得分析,先明确以下3个问题:
1。
数轴上两点间得距离,即为这两点所对应得坐标差得绝对值,也即用右边得数减去左边得数得差。
即数轴上两点间得距离=右边点表示得数—左边点表示得数。
2。
点在数轴上运动时,由于数轴向右得方向为正方向,因此向右运动得速度瞧作正速度,而向左运动得速度瞧作负速度。
这样在起点得基础上加上点得运动路程就可以直接得到运动后点得坐标。
即一个点表示得数为a,向左运动ｂ个单位后表示得数为a—b;向右运动b个单位后所表示得数为a＋b、
3。
数轴就是数形结合得产物,分析数轴上点得运动要结合图形进行分析,点在数轴上运动形成得路径可瞧作数轴上线段得与差关系、
例１如图、A、B、C三点在数轴上,A表示得数为-10,B表示得数为１4,点C在点A与点B之间,且AＣ=ＢC、
(1)求Ａ、Ｂ两点间得距离;
(２)求Ｃ点对应得数;
(3)甲、乙分别从Ａ、B两点同时相向运动,甲得速度就是1个单位长度／ｓ,乙得速度就是2个单位长度／s,求相遇点D对应得数、
练习1已知数轴上两点A、Ｂ对应得数分别为-１,3,点P为数轴上一动点,其对
应得数为x。
⑴若点Ｐ到点A、点B得距离相等,求点Ｐ对应得数;
⑵数轴上就是否存在点P,使点P到点A、点Ｂ得距离之与为５?若存在,请求出x 得值。
若不存在,请说明理由？
⑶当点Ｐ以每分钟一个单位长度得速度从O点向左运动时,点A以每分钟5个单位长度向左运动,点B一每分钟２0个单位长度向左运动,问它们同时出发,几分钟后P点到点A、点Ｂ得距离相等?
二、求最值问题
利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段与最小值问题、利用轴对称得性质解决几何图形中得最值问题借助得主要基本定理有三个:
(1)两点之间线段最短;
(2)三角形两边之与大于第三边;
(3)垂线段最短。
求线段与最小值问题可以归结为:一个动点得最值问题,两个动点得最值问题。
例2如图,正方形AＢCD得面积为12,△AＢE就是等边三角形,点Ｅ在正方形内,在对角线AC上有一动点P,使PD＋ＰE得值最小,则其最小值就是 __＿__＿。
特点:已知两个定点位于一条直线得同一侧,在直线上确定一动点得位置,使动点与两定点线段与最小,求出最小值、
思路:解决这类题目得方法就是找出其中一定点关于直线得对称点,连结这个对称点与另一定点,交直线于一点,交点即为动点满足最值得位置、
练习2如图,等边△ABC得边长为４,AD就是BC边上得中线,F就是AD边上得动点,E就是AC边上一点,若AE=２,当ＥF＋CF取得最小值时,则∠ＥＣＦ得度数为( )
A。
15°B、22。
5° C、30°D、4５°
例3如图,∠ＡＯB＝3０°,内有一点Ｐ且OP=√6,若M、Ｎ为边OA、OB上两动点,那么△PMN得周长最小为( )
A。
２√6 Ｂ、６Ｃ、√6/2 Ｄ、√6
特点:已知一个定点位于平面内两相交直线之间,分别在两直线上确定两个动点使线段与最小。
思路:这类问题通过做这一定点关于两条线得对称点,实现“搬点移线",把线段“移”到同一直线上来解决。
练习3如图,已知∠ＡＯB得大小为α,Ｐ就是∠ＡＯB内部得一个定点,且ＯＰ=2,点E、Ｆ分别就是OA、OB上得动点,若△ＰEF周长得最小值等于２,则α＝( ) Ａ、30°Ｂ。
45° C。
60° D、90°
例4在锐角三角形ＡBC中,ＡＢ=４,∠BAC=60°,∠BＡC得平分线BC于D,M、N 分别就是AＤ与AB上动点,则ＢＭ+MN得最小值就是 ____＿____ 。
特点:两动点在两条直线上,定点与其中一个动点共
线,求不共线动点分别到定点与另一动点得距
离与最小值。
思路:(1)利用轴对称变换,使不共线动点在另一动点得对称点与定点得连线段上(两点之间线段最短)、(２)这条线段垂直于另一动点得对称点所在直线时,两线段与最小,最小值等于这条垂线段得长。
练习4如图,在△ABＣ中,∠Ｃ=９0°,CＢ=CA＝4,∠A得平分线交BC于点Ｄ,若点P、Q分别就是AC与AD上得动点,则CＱ+PQ得最小值就是___＿_＿、
三、动点构成特殊图形问题
此类问题背景就是特殊图形,考查问题也就是特殊图形,所以要把握好一般与特殊得关系;分析过程中,特别要关注图形得特性(特殊角、特殊图形得性质、图形得特殊位置)、分析图形变化过程中变量与其她量之间得关系,或就是找到变化中得不变量,建立方程或函数关系解决。
１把握运动变化得形式及过程;思考运动初始状态时几何元素得关系,以及可求出得量。
２先确定特定图形中动点得位置,画出符合题意得图形--化动为静。
3 根据已知条件,将动点得移动距离以及解决问题时所需要得条件用含t得代数式表示出来。
4 根据所求,利用特殊图形得性质或相互关系,找出等量关系列出方程来解决动点问题。
例5如图,在Rｔ△ABＣ中,∠Ｂ＝90°,AB=5 ,∠C=３０°、点D从点C出发沿CＡ方向以每秒2个单位长得速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长得速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动。
设点D、E运动得时间就是t秒(t＞0)。
过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF。
(1)求证:AE=ＤＦ;
(２)当ｔ为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由。
例6如图,点A在Y轴上,点Ｂ在X轴上,且OA=ＯB=1,经过原点O得直线L交线段AB于点C,过Ｃ作ＯC得垂线,与直线X＝１相交于点Ｐ,现将直线Ｌ绕O点旋转,使交点C从Ａ向Ｂ运动,但C点必须在第一象限内,并记AC得长为t,分析此图后,对下列问题作出探究:
（1）当△AOＣ与△BCＰ全等时,求出t得值。
(2)通过动手测量线段OC与CP得长来判断它们之间得大小关系？并证明您得到得结论。
巩固提升
1、如图在锐角△AＢC中,AB=４√2,∠BAＣ=45°,∠ＢAC得平分线交ＢC于点D,M、Ｎ分别就是ＡＤ、AB上得动点,则BM＋MN得最小值就是_＿＿＿＿_＿_。
2、已知,数轴上点Ａ在原点左边,到原点得距离为８个单位长度,点Ｂ在原点得右边,从点A走到点B,要经过32个单位长度、
(1)求Ａ、Ｂ两点所对应得数;
(2)若点C也就是数轴上得点,点C到点Ｂ得距离就是点C到原点得距离得3倍,求点C对应得数;
(３)已知,点M从点A向右出发,速度为每秒1个单位长度,同时点N从点B向右出发,速度为每秒2个单位长度,设线段NＯ得中点为P,线段PO－AM得值就是否变化?若不变求其值、
3、如图,在平面直角坐标系中,点A(,0),B(３,2),C(０,2)、动点D以每秒1个单位得速度从点0出发沿OＣ向终点Ｃ运动,同时动点Ｅ以每秒2个单位得速度从点A出发沿ＡＢ向终点B运动。
过点E作EF上AＢ,交BC于点F,连结DA、DF、设运动时间为t秒、
(１)求∠ABC得度数;
(２)当t为何值时,AB∥DF;
4.如图,△ABC就是边长为6得等边三角形,P就是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Ｑ就是CB延长线上一点,与点Ｐ同时以相同得速度由B向CB 延长线方向运动(Q不与B重合),过P作ＰE⊥AB于E,连接ＰQ交AＢ于D、(１)当∠ＢQD=30°时,求AP得长;
(2)当运动过程中线段ＥD得长就是否发生变化?如果不变,求出线段EＤ得长;如果变化请说明理由。
知识拓展
1。
最短路径问题
2、勾股定理
在直角三角形中,两条直角边得平方与等于斜边得平方。
用数学语言表示:已知在△ＡBＣ中,∠C=90°,∠A、∠B、∠C得对边为ａ、ｂ、c、求证:a2＋b２=c２。
C
b a
A B。