半波傅氏算法的改进
——一种新的微机保护交流采样快速算法
丁书文张承学龚庆武肖迎元
摘要提出一种利用半波傅氏算法消除衰减非周期分量对基波分量影响的快速算法，新算法的数据窗是半个周期的采样值加两个采样点，而其滤波效果远远优于半波傅氏算法。
该算法理论上可以完全消除任意衰减时间常数τ的非周期分量对基波分量的影响。
通过大量的仿真试验表明，新算法滤除衰减非周期分量能力强，计算简单，速度快，具有实际应用价值。
关键词微机保护衰减非周期分量半波傅氏算法快速算法
分类号TM 77 O 174.2
0 引言
大多数微机保护算法的计算可视为对交流信号中参数的估算过程，对算法性能的评价也取决于其是否能在较短数据窗中，从信号的若干采样值中获得基波分量或某次谐波分量的精确估计值。
目前广泛采用全波傅氏算法和最小二乘算法作为电力系统微机保护提取基波分量的算法。
全波傅氏算法能滤除所有整次谐波分量，且稳定性好，但其数据窗需要1个周期，若再计及微机保护判断和保护出口的延时，一般快速微机保护的动作时间为1～1.5个周期，所以响应速度较慢；最小二乘算法需已知故障信号的模型和干扰信号的分布特性［1，2］。
为了克服数据窗暂态带来的附加延时，已有半波傅氏算法［3］和卡尔曼滤波算法［4］，但由于半波傅氏算法只用半个周期的采样数据，响应快，但滤波能力相对较弱，故只能用于保护切除出口或近处故障；卡尔曼滤波算法在数据窗暂态条件下能给出基波分量的最优估计，但计算过于复杂，限制了实际应用。
为使保护快速动作，选择数据窗较短的快速算法就成为关键。
本文从衰减非周期分量对半波傅氏算法的影响分析入手，提出新的计算方法，可完全滤除衰减非周期分量及奇次谐波分量，以提高其滤波能力。
1 半波傅氏算法
为了分析衰减非周期分量对半波傅氏算法的影响，设电力系统故障电流有如下形式：
(1)
式中I
m (n),φ
n
分别为n次谐波的幅值和初相角。
因半波傅氏算法不能滤除偶次谐波，所以设式(1)中n 为奇数，则所得的n 次谐波分量的实部模值a n 和虚部模值b n 的时域表达式［5］分别为：
(2)
(3)
式中 T 为基波分量的周期；ω为基波分量的角频率，ω＝2π/T 。
在计算机上实现时，是对离散的采样值进行计算。
用离散采样值表示的半波傅氏算法为：
(4)
(5)
式中 k 表示从故障开始时的采样点序号；N 为每个周期的采样点数。
n 次谐波的幅值I m (n)和初相角φn 为：
(6)
(7)
假设暂不考虑输入信号(如式(1)的形式)中的衰减非周期分量，根据式(4)、式(5)利用半波傅氏算法得到的理论值为：
(8)
(9)
2 半波傅氏算法的误差分析［6，7］
如果输入信号中包含衰减非周期分量，将使半波傅氏算法的计算结果产生误差，具体分析如下：
(10)
(11)
令
(12)
(13)
由式(10)、式(11)可知，当输入信号中包含有衰减非周期分量时，I
≠0，α≠0,
则w
a ≠0,w
b
≠0。
从而看出，n次谐波的实部和虚部与理论值相比，存在误差w
a
和w
b 。
因此，消除w
a
和w
b
是将半波傅氏算法应用于快速保护的关键之一。
3 滤除衰减非周期分量的新算法
为了全部使用故障后的采样值，取k≥N/2，同时，为了使新算法的推导更趋于精确，下面以时域形式介绍新算法的推导过程。
a.取第一个数据窗，使t∈［0，T/2］，利用半波傅氏算法有：
(14) 令
(15) 则式(14)可以简化为：
(16)
，取第2个数据窗，使t∈
b.取延时ΔT为一个采样周期时间T
s
［ΔT,(T/2)+ΔT］,有：
(17) 令
(18)
在理论上，移动的数据窗大小(即ΔT)可任意确定，但为了提高算法的计算
较合适。
一旦确定了每个周期的采样速度以达到快速计算的目的，ΔT选取为T
s
点数N，ΔT也就随之确定。
同时，若谐波次数n和延时ΔT确定,k
a ,k
b
就成为
两个常数。
则式(17)可化简为：
(19)
c.延时2ΔT,取第3个数据窗，使t∈［2ΔT,(T/2)+2ΔT］，有：
(20)
由式(16)、式(19)、式(20)可以看出，3个方程组中只有5个未知数，而为
了校正衰减非周期分量对半波傅氏算法的影响，只要计算出w
a 和w
b
的值，即可
对半波傅氏算法由于衰减非周期分量引起的误差进行校正，式中的未知数A，B 和e-αΔT只需作为中间变量，没有必要求出。
其计算过程如下：利用式(16)、式(19)、式(20)，先消除A，B两个中间变量。
令：
Q＝a
n ′-k
a
a
n
+k
b
b
n
(21)
R＝b
n ′-k
a
b
n
-k
b
a
n
(22)
X＝a
n ″-2k
a
a
n
′+a
n
(23)
Y＝b
n ″-2k
a
b
n
′+b
n
(24)
这里的Q，R，X，Y值可根据采样值实时计算出。
所以由式(21)～式(24)得：
w a /w
b
＝X/Y
(25)
w b Q-w
a
R＝k
b
(w 2
a+w 2
b)
(26) 由式(25)和式(26)得：
(27)
式(27)是由于衰减非周期分量对半波傅氏算法产生的影响数据。
则由式(10)
和式(11)可得，消除衰减非周期分量对半波傅氏算法影响的校正量a
n c和b
n
c应
为：
已用80C51XA 16位微控制器对其计算时间进行了考证。
80C51XA时钟选为16.00 MHz，此时其执行一次乘、除法时间仅为0.75 μs，是8051芯片乘、除法执行时间的1/50；其加、减法指令的执行时间更短。
仿真中设置一个周期采样点为20点(N＝20)，即每个采样间隔为1 ms。
计算中各个采样点所对应的正
弦、余弦常量及k
a 和k
b
等常量采用查表法获得。
分析新算法的整个计算过程可知，半个周期后第3个采样间隔的计算量较大，但其计算时间仅约80 μs，完全能够满足实时控制的要求。
4 仿真计算
通过设置下列输入信号：
i(t)＝50e-t/τ+50sin(ω
1t+φ
1
)+
15sin(3ω
1t)+10sin(5ω
1
t)
对新算法进行仿真计算，并与半波傅氏算法和全波傅氏算法进行了比较，其结
果见表1。
这里取τ＝30 ms,ω
1＝100 π,φ
1
＝30°，其对n次谐波分量的
计算程序流程图如图1。
图1 计算n次谐波分量框图
Fig Flow chart computing n-th harmonic components
表1 仿真计算结果
Table 1 Results of simulating calculation
从仿真计算的输入信号可以看出，本算例输入信号中含有衰减非周期分量的初值为100%基波幅值，之所以设置这样大的衰减非周期分量初值(在实际中属于比较严重情况)，就是为了人为增大衰减非周期分量对滤波算法的影响，来检验新算法的有效性。
从表1可见，通过与全波傅氏算法和半波傅氏算法的比较，本文提出的新算法具有很高的计算精度。
5 结论
本文在分析衰减非周期分量对半波傅氏算法产生的影响的基础上，介绍了一种新算法，不仅保留了原来半波傅氏算法的功能，又增添了对衰减非周期分量的过滤作用。
新算法所采用的数据窗仅为半个周期的采样值加两个采样点，计算简单，速度快，精度高；同时其滤除衰减非周期分量的能力又不受衰减非周期分量时间常数大小的限制。
特别适合于需要快速动作的继电保护。