高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015年安庆市高三模拟考试（三模）数学试题（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.1.复数z 满足()11i z z +=+，其中i 是虚数单位，则z =A. 1i +或2i -+B. i 或1i +C. i 或1i -+D. 1i --或2i -+ 2. 在ABC ∆中，角C B A 、、的对边为c b a 、、，则“B A =”成立的必要不充分条件为 A ．B A cos cos = B ．B A sin sin = C ．B a A b cos cos = D ．B b A a cos cos =3.若以A 、B 为焦点的双曲线经过点C ，且AC AB =，31cos =∠ABC ，则该双曲线的离心率为 A ．23 B ．2 C ．3 D ．25 4.某高二学生练习篮球，每次投篮命中率约%30，现采用随机模拟的方法估计该生投篮命中的概率；先用计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0,1,2表示命中，4,5,6,7,8,9表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表3次投篮的结果.经随机模拟产生了如下随机数： 807 956 191 925 271 932 813 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 527 989据此估计该生3次投篮恰有2次命中的概率约为A.0.15B.0.25C.0.2D.0.18 5.某篮球架的底座三视图如图所示，则其体积为A.33010470+B.175C.180D.210295+6.已知不等式)2(022>>-+-a a ax x 的解集为),(),(21+∞-∞x x ，则21211x x x x ++的最小值为 A.21 B.2 C.25D.4 7.在极坐标系中，曲线C ：θρsin 2=，A 、B 为曲线C 的两点，以极点为原点，极轴为x 轴非负半轴的直角坐标中，曲线E ：⎩⎨⎧--=+=3324t y t x 上一点P ，则APB ∠的最大值为A ．4π B ．3π C ．2π D ．32π8.已知(1)f x +是周期为2的奇函数，当10x -≤≤时，()()21f x x x =-+，则32f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为 A.12 B.14 C.14- D.21-9.已知圆上有均匀分布的8个点，从中任取三个，能构成锐角三角形的个数为 A.8 B. 24 C.36 D.1210.已知函数①1)(+=x x f ；②22)(-=xx f ；③xx f 1)(=；④x x f ln )(=；⑤x x f cos )(=；其中对于)(x f 定义域内的任意1x ，都存在2x ，使得2121)()(x x x f x f -=成立的函数是 A. ①③ B. ②⑤ C. ③⑤ D. ②④第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上).11. 设实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥≥100y x y x ，则不等式222y x +λ≤有解的实数λ的最小值为 . 12.已知8822108)1()1()1(1+++++++=+x a x a x a a x ，则=+++8642a a a a .13. 已知n S 是等比数列}{n a 的前n 项和，若12=S ，34=S ，则=8S .14.如图所示的程序框图中，若函数)20()()(<<-=m m x f x F 总有四个零点，则a 的取值范围是15. 给出下列命题：①若0<⋅b a ，则a 、b 的夹角为钝角；②若),(11y x a =,),(22y x b =,则2121//y y x x b a =⇔；③若{}c b a ,,为空间的一组基底，则对于实数x 、y 、z 满足0=++c z b y a x 时，0222=++z y x ；④||||||22q p q p q p -=-⋅+；⑤p 在基底{}k j i ,,下的坐标为)3,2,1(，则在基底{}i k k j j i +++,,下的坐标为)1,2,0(.其中正确的是 （把你认为正确的命题序号都填上）.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤). 16．（本题满分12分）如图所示，射线OA 与单位圆交于A ，与圆422=+y x 交于点B ，过A 平行于 x 轴的直线与过B 与x轴垂直的直线交于P 点，OA 与x 轴的夹角为x ，若)sin 32(cos cos )(x x x OP OA x f ++⋅=(Ⅰ)求)(x f 的最值；(Ⅱ)求)(x f 的单调区间和图象的对称中心。

17．（本题满分12分）在市高三第一次模拟考试数学学科考试后，某同学对老师说：第（Ⅰ）卷为十道选择题，每题5分，前六道没错，第7、8、9三题均有两个选项能排除，第10题只有一个选项能排除. (Ⅰ)求该同学选择题得40分的概率；(Ⅱ)若(Ⅱ)卷能拿65分，该同学数学得分的期望和得分不低于100分的概率.18.（本小题满分12分）在如图所示的几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 是边长为4的正方形， ⊥DE 平面ABCD ， DE //AF //BG ，H 是DE 的中点，AC 与BD 相交于N ， 422===BG AF DE (Ⅰ)在FH 上求一点P ，使NP //平面EFC ； (Ⅱ)求二面角G FC E --的余弦值；19．（本题满分13分）椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的经过中心的弦称为椭圆的一条直径，平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条直线段，称为该直径的共轭直径.已知椭圆的方程为141622=+y x .(Ⅰ)若一条直径的斜率为21，求该直径的共轭直径所在的直线方程； (Ⅱ)若椭圆的两条共轭直径为AB 和CD ，它们的斜率分别为1k 、2k ，证明：四边形ACBD 的面积为定值.20．（本题满分13分）已知正项数列{}n a 满足：12a =，2(1)(2)n n n S a a =-+，*N n ∈，其中n S 为其前n 项和.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设数列{}n b 满足：11b =，1n n n b b a +=，*N n ∈. 试证明：)11(222111121-+=->++++n b b b b b n n n（*N n ∈）.21.（本题满分13分）设函数1()2ln f x x x a=++，其中0a ≠，R a ∈. (Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性；(Ⅱ)设21()xx x g x m e +-=+，求证：当1a =-，()1x ∈+∞，时，对任意的85m <，总有()()f x g x >.2015年安庆市高三模拟考试（三模）数学试题（理科）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CDCCBDBDAB1.C 【解析】设i z a b =+（a ，R b ∈），由()11i z z +=+得22i 1i a b a b +++=+，所以1b =，211a a ++=，所以0a =或1a =-.选C.2.D 【解析】B A =等价于B A cos cos =，等价于B A sin sin =，排除A 、B ；由B a A b co s co s =及正弦定理可得0)sin(=-B A ，ππ<-<-B A ,得B A =，排除C ；选D.3.C 【解析】不妨设A 、B 为左、右焦点，实半轴长为a ，半焦距为c ，若点C 在双曲线的左支上，设BC 中点为D ，则由定义知|BD|=21|BC|=21(2c+2a)=c+a ，在Rt △ABD 中，由31cos =∠ABC ，故,3,312-==+e c a c 不可能。

故C 在双曲线的右支上，设BC 中点为D ，则由双曲线定义知a c a c BC BD -=-==)22(2121，在ABD Rt ∆中，31cos =∠ABD ,故312=-c a c ，得3==ac e .选C.4.C 【解析】随机数共有20组，其中表示3次投篮恰有2次的有：191，271，027，113，共4组，所以估计概率为2.0204=.选C. 5.B 【解析】1751025101)21(211106=⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=V .选B.6.D 【解析】2>a 时，0)2(42>--=∆a a ，由韦达定理a x x =+21，221-=a x x ，则21211x x x x ++4221221≥+-+-=-+=a a a a 当且仅当3=a 时取等号.选D.7.B 【解析】曲线C 的直角坐标方程为1)1(22=-+y x ，曲线E 的普通方程为0643=++y x ，则APB ∠取最大值时，PA 、PB 与圆C 相切，且PC 最短，此时在PAC Rt ∆中，21sin =∠APC ，故6π=∠APC ，APB ∠为3π.选B. 8.D 【解析】由已知)(x f 为周期为2的函数，由(1)f x +是奇函数，有)1()1(+-=+-x f x f ，数学试题（理科）参考答案（共7页）第1页即)2()(x f x f --=，故)21()23()21()23(--=-==-f f f f ，而10x -≤≤时，()()21f x x x =-+，所以21)121)(21(2)21(=+---=-f ，21)23(-=-f9.A 【解析】能构成三角形5638=C 个，其中直角三角形2464=⨯个，钝角三角形2483=⨯个，故锐角三角形为8个.选A.10.B 【解析】由0)()(2121=+x x x f x f 知，对函数)(x f 图象上任意一点))(,(11x f x A ，都存在一点))(,(22x f x B ,使OB OA ⊥,由图象可知，符合条件的有②⑤；选B.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上).11.13【解析】令22(0)2y x t t +=>，当椭圆222y x t +=与线段1(0101)x y x y +=≤≤≤≤，相切时，t 最小. 联立2221y x t x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去y 得232120x x t -+-=，由0∆=，得13t =.即31≥λ，所以实数λ的最小值为13. 12. 127【解析】设1+=x t ，则88221081)1(t a t a t a a t ++++=++- ，令0=t ，则20=a ，令1=t ，则18210=++++a a a a ，令1-=t ，则2578210=+-+-a a a a ，1278642=+++a a a a .13.15【解析】设等比数列}{n a 的公比为q ，显然1≠q ，11)1(212=--=q q a S ，31)1(414=--=q q a S ，由324=S S 得22=q ，15)1)(1(1)1(1)1(4221818=++--=--=q q q q a q q a S . 14.2-≤a 【解析】⎪⎩⎪⎨⎧<++≥+=)0(,24)0(,)(2x x x x a x x f ，结合图象可知：2-≤a .15.③⑤【解析】①当a 、b 的夹角为π时，0<⋅b a ，不正确；②当0=b 时不正确；③由空间向量基本定理，正确；④=-⋅+=-)()(||22q p q p q p |,cos |||||>-+<-⋅+q p q p q p q p数学试题（理科）参考答案（共7页）第2页≤||||q p q p -⋅+，当q p +与q p -同向共线时，取等号，不正确；⑤p 在基底{}k j i ,,下的坐标为)3,2,1(，即)(1)(2)(032i k k j j i k j i p +++++=++=，正确.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤). 16．（本题满分12分）【解析】(Ⅰ) 依题意，)sin ,(cos x x A ，)sin ,cos 2(x x P ，x x x OP OA 222cos 1sin cos 2+=+=⋅，因此，=++⋅=)sin 32(cos cos )(x x x OP OA x f x x x x cos sin 32cos cos 122+++ 2)62sin(222cos 2sin 32sin 3cos 212++=++=++=πx x x x x所以，)(x f 的最大值为4，最小值为0； …………6分 (Ⅱ)由)(226222Z k k x k ∈+≤+≤+-πππππ得：)(63Z k k x k ∈+≤≤+-ππππ，因此，)(x f 的单调增区间为)](63[Z k k k ∈++-ππππ，，同理可得：)(x f 的单调减区间为)](326[Z k k k ∈++ππππ，，其图象的对称中心为))(2212(Z k k ∈+-，ππ …………12分 17．（本题满分12分）【解析】(Ⅰ) 第7、8、9三题均有两个选项能排除，因此，第7、8、9三题做对的概率均为21，第10题只有一个选项能排除，因此，第10题做对的概率为31. 所以，该同学选择题得40分的概率P 为：83312112131311211213222=⋅-⋅+-⋅-=）（）（）（）（C C P(Ⅱ)设该同学7、8、9、10题中做对的题数为X ，则随机变量X 的分布列为X 0 1 2 3 4P121 247 83 245 24161124424152418247=+++=）（X E所以，该同学数学得分的期望为6110465611530=+⨯+ 该同学数学得分不低于100分的概率为121124124583247=+++=P …………12分数学试题（理科）参考答案（共7页）第3页18.（本题满分12分）【解析】(1)分别取EF 、FH 、CF 的中点M 、R 、Q ，连接MR 、MQ 、NQ 、NR则MR ∥EH ∥FA ∥NQ 且NQ FA EH MR ===2121 ∴四边形MRNQ 为平行四边形 ∴MQ ∥NR 又⊂MQ 平面EFC ，⊄NR 平面EFC ，NR ∴∥平面EFC ，即P 为FH 的中点R . …………5分(Ⅱ)分别以直线AB 、AD 、AF 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.则)2,0,4(G ，)2,0,0(F ，)0,4,4(C ，)4,4,0(E 设平面GFC 的法向量为),,(1z y x n =由01=⇒⊥x FG n ， 021=-⇒⊥z y CG n ，令2=z 得：)2,1,0(1=n 类似可得平面EFC 的法向量为)2,1,2(2-=n ，cos ⇒<1n ,2n >55533==,所以二面角G FC E --的余弦值为55-.…………12分19．（本题满分13分） 【解析】(Ⅰ) 设斜率为21的直径平行的弦的端点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，该弦中点为),(y x ，则有14162121=+y x ，14162222=+y x ，相减得：04))((16))((21212121=+-++-y y y y x x x x ， 由于221x x x +=，221y y y +=，且212121=--x x y y ，所以得：02=+y x ， 故该直径的共轭直径所在的直线方程为02=+y x . ……………………5分 (Ⅱ) 椭圆的两条共轭直径为AB 和CD ，它们的斜率分别为1k 、2k .四边形ACBD 显然为平行四边形，设与AB 平行的弦的端点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，数学试题（理科）参考答案（共7页）第4页则21211x x y y k --=，21212x x y y k ++=，而14162121=+y x ，14162222=+y x ， 04))((16))((21212121=+-++-y y y y x x x x ,故412221222121-=--=x x y y k k .由⎪⎩⎪⎨⎧=+=1416221y x xk y 得A 、B 的坐标分别为)414,414(21121k k k ++，)414,414(21121k k k +-+-故AB =21211418k k ++，同理C 、D 的坐标分别为)414,414(22222kk k++，)414,414(22222kk k+-+-所以，点C 到直线AB 的距离2221212122222141141414414kkk k kk k k k d ++-=++-+=设点C 到直线AB 的距离为d ，四边形ACBD 的面积为S ，则AB d S =2221214114k k k k ++-=21211418k k ++⨯222121414132k k k k ++-=1616)(4123222122221212221=+++-+=k k k k k k k k ，为定值. ……………………13分20．（本题满分13分）【解析】(Ⅰ)由2(1)(2)n n n S a a =-+可得1112(1)(2)n n n S a a ---=-+，2n ≥，两式相减得()()221111210n n n n n n n n n a a a a a a a a a ----=-+-⇒+--=.因为0n a >，所以110n n a a ---=，即11n n a a --=（2n ≥）. 所以数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，故1n a n =+. …………5分数学试题（理科）参考答案（共7页）第5页(Ⅱ)因为11b =，1n n n b b a +=即11n n b b n +=+，所以22b =，1n n b b n -=（2n ≥），所以111n n n n b b b b +--=，111n n nb b b +-⇒=-（2n ≥），b n+1≠b n 当1n =时，1112(21)b =>-，所以当1n =时结论正确.当2n ≥时，()()()()31422111211111n n n n n b b b b b b b b b b b b -+-+++=+-+-++-+-()112112n n n n b b b b b b ++=++--=+-.由条件易知0n b >，所以n n b b ++1＞1221+=+n b b n n ,所以nb b b 11121+++ ＞().112221-+=-+n b b n n …………13分21.（本题满分13分）【解析】（Ⅰ）()()2222122(41)2()(0)x a x a f x x x a x x a x x a +-+'=-+=>≠-++，， 22(41)1618a a a ∆=--=-. …………1分① 当18a ≥时，0∆≤，从而0()f x '≥，所以()f x 在(0)+∞，上单调递增；② 当108a <<时，0∆>. 设方程222(41)20x a x a +-+=的两根分别为1x ，2x ，其中1(41)184a a x ----=，2(41)184a a x --+-=. 因为121402a x x -+=>，2120x x a =>，所以10x >，20x >，1()0f x x x '>⇔<或2x x >，所以()f x 在1(0)x ，和2()x +∞，上单调递增，在12()x x ，上单调递减；数学试题（理科）参考答案（共7页）第6页③ 当0a <时，1118()04a x a ----=<，2118()04a x a +---=>，所以 10x a <<-，20x a >->，所以()f x 在1(0)x ，和2()x +∞，上单调递增，在1()x a -，和2()a x -，上单调递减. …………7分(Ⅱ)当1a =-时，1()2ln 1f x x x =+-，由（I ）知()f x 在1(0)2，和(2)+∞，上单调递增，在1(1)2，和(12)，上单调递减.所以在()1+∞，上，min ()(2)12ln 2f x f ==+. …………9分 因为22(1)(2)()x x x x x x g x e e-++-+-'==，所以在()1+∞，上，max 25()(2)g x g m e==+. …………11分 因为43412ln 21ln 41ln 1 2.33e +=+>+=+>， 当85m <时，225582.32.75m e +<+<.所以当1a =-，()1x ∈+∞，时，对任意的85m <，总有()()f x g x >.………… 13分。