( −1)k
k =0
(2k
n!
)!(n −
2k
) cosn−2k
!
ϕ
sin 2 k
ϕ
；
∑ ⎡⎣(n−1)/ 2⎤⎦
( ) sin nϕ =
−1 k
n!
cosn−2k −1 ϕ sin2k +1 ϕ 。
( ) ( ) k=0
2k +1 ! n − 2k −1 !
8
， Im
=
( −1)n
4
2
sin
π 8
；
（8）
1+ i 1−i
=
⎡ ⎢ ⎣
1
2ei(π 4+2nπ ) ⎤ 2
2e−iπ 4
⎥ ⎦
π i
=e
2+2nπ 2
=
ei⎛⎜⎝
π 4
+nπ
⎞ ⎟⎠
，(
n
=
0，1)，Am=1，Arg = π
+ nπ
+ 2kπ
，
4
( −1)n
( −1)n
Re =
， Im =
；
2
（5） Am = ex ， Arg = y + 2kπ ， Re = ex cos y ， Im = ex sin y ；
（6）
4
−1
=
1
⎡⎣ei(π +2nπ ) ⎤⎦ 4
i 2n+1π
=e 4
，( n
= 0，1，2，3)， Am = 1 ， Arg =
2n +1π 4
+ 2kπ
，
Re
=
cos
⎛ ⎜⎝
4．若 z = 1，试证明 az + b = 1， a ， b 为任意复数。 bz + a
( ) az + b 2 = (az + b) az + b = ( ) bz + a bz + a (bz + a)
a 2 + abz + abz + b 2 b 2 + abz + abz + a 2
= 1 ，所以
11．设 z = p + iq 是实系数方程 a0 + a1z + a2 z2 +" + an zn = 0 的根，证明 z = p − iq 也是此
方程的根。
对方程两边取共轭得 a0 + a1z + a2 z 2 +" + an z n = 0 ，即 z 也满足此方程。
12．证明： sin4 ϕ = 1 (cos 4ϕ − 4 cos 2ϕ + 3) 。
2
αα
tan
(
Arg
)
=
sinα 1− cosα
=
2sin cos 2
2sin2 α
2
= cot α 2
，所以 Arg = π
−α 2
+ 2kπ
；
2
（3） Am = 1 ， Arg = sinx + 2kπ ， Re = cos (sin x) ， Im = sin (sin x) ；
（4）z = x + iy ，eiz = e− y+ix ，Am = e− y ，Arg = x + 2kπ ，Re = e− y cos x ，Im = e− y sin x ；
7．用复数运算法则推出：（1）平面直角坐标平移公式；（2）平面直角坐标旋转公式。
（1）设坐标系 x′O′y′ 的原点 O′ 在坐标系 xOy 中的坐标是 ( x0 , y0 ) 。 P 点在 xOy 系中的坐
JJJG
JJJG
JJJJG
标是 ( x, y) ，在 x′O′y′ 系中坐标 ( x′, y′) 。如上面左图，令 OP = z ，O′P = z′ ，OO′ = z0 。
= 8sin4 ϕ + i (sin 4ϕ − 4sin 2ϕ )
取等式两边实部即得证。
13．把 sin nϕ 和 cos nϕ 用 sinϕ 和 cosϕ 表示出来。
∑ cos nϕ
+
i sin
nϕ
=
(cosϕ
+
i sinϕ )n
=
n k =0
k
n!ik
!(n −
k
)!
cosn−k
ϕ
sin k
ϕ
∑ =
2
arg (1+ z) = π ， arg ( z +1− i) = π ；（ 4 ） 0 < arg (1− z) < π ， 0 < arg (1+ z) < π ，
3
2
4
4
π < arg ( z −1− 2i) < π ；（5）α < arg z < β 与 γ < Re z < δ 的公共区域，α ，β ，γ ，δ
把 z 写成 ρeiϕ ，则 iz = ρei(ϕ+π 2) ，即把 z 逆时针旋转 90 度。 −z = ρei(ϕ+π ) ，即把 z 逆时针 旋转 180 度。 z = ρe−iϕ ，即 z 关于实轴的对称点。 1 = 1 eiϕ ，即 z 关于单位圆的对称点。
zρ
1 = 1 e−iϕ ，即 z 关于单位圆的对称点。 zρ
z2 − z3
（2）
如图若四点共圆，则有 ∠ACB = ∠ADB （同弧所对圆周角相等）。反之也成立。写成复数 形式即为 z1 − z3 z1 − z4 = 实数。
z2 − z3 z2 − z4
10．求下列方程的根，并在复平面上画出它们的位置。
（1） z2 +1 = 0 ；（2） z3 + 8 = 0 ；（3） z4 −1 = 0 ；（4） z4 +1 = 0 ；（5） z2n +1 = 0 ，n 为
1．写出下列复数的实部，虚部，模和幅角：
（1）1+ i 3 ；（2）1− cosα + i sinα ， 0 ≤ α < 2π ；（3） eisin x ， x 为实数；（4） eiz ；
（5）ez ；（6） 4 −1 ；（7） 1+ i ；（8） 1+ i ；（9）e1+i ；（10）eiϕ(x) ，ϕ ( x) 是实变数 x
z z
− +
i i
⎞ ⎟⎠
<
π 4
。
（1）
（2）
（3） arg (1− z ) = arg (1− x − iy) = 0 ⇔ 1− x > 0 且 y = 0 ，即 x < 1， y = 0 ；
arg (1+ z) = arg (1+ x + iy) = π ⇔ 1+ x > 0 且 y = 3 (1+ x) ；
3
arg ( z
+1−i)
=
arg
⎡⎣ x
+1+
i(
y
−1)⎤⎦
=
π 2
⇔
x
+1=
0且
y
−1 >
0
。
（4） 0
<
arg (1−
z)
=
arg
⎡⎣(1 −
x)
−
iy ⎤⎦
<
π 4
⇔
0
<
−y
<1−
x；
0
<
arg (1+
z)
=
arg ⎡⎣(1+
x)
+
iy ⎤⎦
<
π 4
⇔
0
<
y
<1+
x

；
π 4
<
arg (
z
z
2
z −1 = z − z + z −1 ≤ z − z + z −1 = z −1 + z z −1 ≤ z −1 + z arg z 。 z
（2）
如图， z1 ， z2 ， z3 在同一圆周上，α
= arg
z3 − z2 z3 − z1
，β
=
arg
z2 z1
。由于同弧所对圆周角是
圆心角的一半，所以α = 1 β ，即 arg z3 − z2 = 1 arg z2 。
则 z′ = z − z0 ，即 x′ + iy′ = x − x0 + i ( y − y0 ) ，由此得 x′ = x − x0 ， y′ = y − y0 。
（2）将坐标系 xOy 绕原点逆时针旋转θ 角得到坐标系 x′O′y′ 。如上面右图，x′O′y′ 系中 z′
只是比 xOy 系中 z 的幅角小θ ，即 z′ = ze−iθ ，由此得 x′ = x cosθ + y sinθ ，
2n + 4
1π
⎞ ⎟⎠
，
Im
=
sin
⎛ ⎜⎝
2n + 4
1π
⎞ ⎟⎠
；
（7）
1+ i
=
4
2ei⎛⎜⎝
π 4
+
2nπ
⎞ ⎟⎠
2
=
4
2ei⎛⎜⎝
π 8
+ nπ
⎞ ⎟⎠
，(
n
=
0，1)， Am
=
4
2
，Arg = π
+ nπ
+ 2kπ