吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最
短路程是_________
A
20
23
B
一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是5 cm的 长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么
它所行的最短路线的长是____________cm。
B
A
◆在长30cm、宽50 cm、高40 cm的木
箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫，
如图，一个圆柱形纸筒的底面周长是40cm，高 是30cm，一只小蚂蚁在圆筒底的A处，它想吃 到上底与下底面中间与A点相对的B点处的蜜糖， 试问蚂蚁爬行的最短的路程是多少？
.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、
高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶
两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去
∵∠B=90°
∴ AB2+ BF2＝AF2
10
82+ BF2＝102
A
D
∴BF＝6
8
10 X
X ∴CF＝BC－BF＝10－6＝4
E
(8-
X)
∴
∵∠C=90° CE2+CF2＝EF2
B 6 F 4C
(8－ X)2+42=X2
16X=80 X=5
64 －16X+X2+16=X2 80 －16X=0
如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点
. 它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多
远？
B
40
.A
C
50
30 D
. B 40
C
B
.
50
A 30 D
40
A 30 D 50CΒιβλιοθήκη 802 402 8000
图①
.
C 50 B
B
40
50
.C
C
A 30 D
40
302 902 9000 A 30 D 图②
. C 30 B
B
40
.D 5C0
30
利用勾股定理解决实际问题
的一般思路：
B
C
（1）重视对实际问题题意的
正确理解；
（2）建立对应的数学模型，
运用相应的数学知识；
（3）方程思想在本题中的运
用．
A
例3:在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题
这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,
在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦
DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km，
现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D
两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
解：设AE= x km， 则 BE=（25-x）km
根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2
D
15
A xE
C
10
B
25-x
BC2+BE2=CE2 又 ∵ DE=CE
D为垂足，AC=2.1cm,BC=2.8cm.
求① △ABC的面积；
②斜边AB的长；
③斜边AB上的高CD的长。
A D
B
C
活动2
（2）一个门框尺寸如下图所示．
①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？ ②若薄木板长3米，宽1.5米呢？ ③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？
∵木板的宽2.2米大于1米， ∴ 横着不能从门框通过；
C
A
40
502 702 7400 D 50
A
图③
活动3
（3）如图，分别以Rt △ABC三边为边
向外作三个正方形，其面积分别用S1、
S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间
有的关系式为
．
S1 S2 S3
C
S3
A
S2
B
S1
活动3
（3）变式：你还能求出S1、S2、S3之间
的关系式吗？
∵木板的宽2.2米大C于2米，
∴竖着也不能从门框通过．
∴ 只能试试斜着能否2通m过，
对角线AC的长最大，因此需
要求出ACA的1长，m怎样B求呢？
想一想
例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3 m，宽 2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
解：在Rt△ABC中，根据勾股 D
C
定理，得
AC2=AB2+BC2=12+22=5．
C.扩大到原来的9倍 D.减小到原来的1/3
6．做一个长、宽、高分别为50厘米、40厘米、 30厘米的木箱，一根长为70厘米的木棒能否放入， 为什么？试用今天学过的知识说明．
问题解决
例1、如图，某隧道的截面是一个半径为3.6米的 半 圆形，一辆高2.4米、宽3米的卡车能通过隧 道吗？
解：过点A作AB⊥OC于点B，
巩固练习
如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端 3米处，测得折断后长的一截比短的一截长1米，你能计 算树折断前的高度吗？
例4:矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的 点F处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。
解:设DE为X, 则CE为 (8－ X).
由题意可知:EF=DE=X, AF=AD=10
S3
S2
S1
8.一架5长的梯子，斜立靠在一竖直的墙 上，这是梯子下端距离墙的底端3，若梯子
顶端下滑了1,则梯子底端将外移（1 ）
9.如图，要在高3m,斜坡5m的楼梯表面铺
地毯，地毯的长度至少需（7
）米
B
10.把直角三角形两条直角边
同时扩大到原来的3倍，则其 C
A
斜边（B）
A.不变
B.扩大到原来的3倍
AC= 5≈2.24．
2m
因为 5 大于木板的宽2.2 m，所以 木板能从门框内通过．
A
B
1m
（3）有一个边长为50dm 的正方形洞 口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，
圆的直径至少多长？
解：∵在Rt△ ABC中，∠B=90°,
D
C
AC=BC=50,
∴由勾股定理可知：
AC AB2 BC 2
502 502
A
∵∠ABO=90°
∴AB2+OB2=OA2 且OA=3.6，OB=1.5
O BC
∴AB2+1.52=3.62
∴AB≈3.27
D恰好落在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,
则BF=___________。 A
D
E
B
FC
如图，有一个直角三角形纸片，两直直角边
AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的
角平分线AD折叠，使它落在斜边AB上，且
与AE重合，你能求出CD的长吗？
C
D
B
E
A
例2：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，
∴BC＝0.7m 由题意得：DE＝AB＝2.5m
DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m
C
B
E
在Rt△DCE中，
∵∠DCE=90° ∴ DC2+ CE2＝DE2 22+ BC2＝2.52
∴CE＝1.5m
∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m
答；梯子底端B不是外移0.4m
拓展提高 形成技能
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸， 适与岸齐．问水深、葭长各几何？
勾股定理
活动1
勾股定理：直角三角形两直角边的平 方和等于斜边的平方．
如果在Rt△ ABC中，∠C=90°,
那么 a2 b2 c2 .
B
ac
C bA
结论变形
B
c a
C
b
A
c2 = a2 + b2
练习
（1）求出下列直角三角形中未知的边．
B
A
10 6
C
A
8
C
2
30°
思考：
45°
2
①在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？ ②直角三角形哪条边最长？
苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度
和这根芦苇的长度各是多少？
D
解:设水池的深度AC为X尺,
C
B
则芦苇高AD为 (X+1)尺.
根据题意得: BC2+AC2=AB2
∴52+X2 =(X+1)2
25+X2=X2+2X+1
A
X=12
∴X+1=12+1=13
答:水池的深度为12尺,芦苇高为13尺.
∴ AD2+AE2= BC2+BE2 即：152+x2=102+（25-x)2
∴ X=10
答：E站应建在离A站10km处。
例6： 如图，边长为1的正方体中，一只
蚂蚁从顶点A出发沿着正方体的外表面爬
到顶点B的最短距离是（ B ）.
（A）3 （B )√ 5 （C）2 （D）1
B
C
2
B
1
A
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）.
练一练
1 、下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积
15厘米
17厘米
解：设正方形的边长为x厘米 , 则 由勾股定理，得 x2=172-152 x2=64
答：正方形的面积是64平方厘米。
例2 蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多 少厘米？（小方格的边长为1厘米）
A
B
E
G
C F