三角形中位线性质的应用
三角形中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．三角形中位线性质，兼有位置和大小关系，可以用它判定平行，计算线段的长度．
例1如图1，已知：△ABC 中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM 和CAN ，P 是BC 的中点．求证：PM ＝PN
证明：作ME ⊥AB ，NF ⊥AC ，垂足E ，F
因为△ABM 、△CAN 是等腰直角三角形 所以AE ＝EB ＝ME ，AF ＝FC ＝NF ， 根据三角形中位线性质，可知， PE ＝
2
1AC ＝NF ，PF ＝2
1AB ＝ME
PE ∥AC ，PF ∥AB
所以∠PEB ＝∠BAC ＝∠PFC
所以∠PEB+ ∠MEB ＝∠PFC+ ∠NFC 即∠PEM ＝∠PFN 所以△PEM ≌△PFN 所以PM ＝PN ．
例2如图2，已知：△ABC 中，AD 是角平分线，BE ＝CF ，M 、N 分别是BC 和EF 的中点．求证：MN ∥AD ．
证明：连结EC ，取EC 的中点P ，连结PM 、PN
根据三角形中位线性质，可知， MP ∥AB ，MP ＝
2
1BE ，NP ∥AC ，NP ＝2
1CF
因为BE ＝CF ，所以MP ＝NP ，
所以∠3=∠4=
1802
M PN
-∠
，
∠MPN ＋∠BAC ＝180
（两边分平行的两个角相等或互补）
所以∠1=∠2=1802
M PN
-∠
， 所以∠2=∠3．
因为NP ∥AC ， 所以MN ∥AD ．
练一练：
1．如图3，已知E 、F 、G 、H 是四边形ABCD 各边的中点． 则①四边形EFGH 是 形；
②当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是 形； ③当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是 形； ④当AC 和BD 时，四边形EFGH 是正方形形．
2．如图4，已知△ABC 中，AB ＝10，AC ＝7，AD 是角平分线，CM ⊥AD 于M ，且N 是BC
N
P
图1
C
M
图
2
图3
的中点．求MN的长．（提示：延长CM交AB于E）
1．平行四边形；菱形；矩形；垂直且相等．
2．5.1
D
N
图4。