第三章 流体运动学3-1解：质点的运动速度1031014,1024,1011034=-=-==-=w v u 质点的轨迹方程1031,52,103000twt z z t vt y y t ut x x +=+=+=+=+=+= 3-2 解：2/12/12/3222/12/12/3220375.0232501.02501.00375.0232501.02501.00t t t dt d dt y d a t t t dt d dt x d a a y x z =⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯===⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯===由501.01t x +=和10=A x ,得19.1501.011001.015252=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=A x t 故206.00146.0146.00,146.0,014619.150375.0222222/1=++=++=====⨯=zyxz x y x a a a a a a a a3-3解：当t=1s 时，点A （1,2）处的流速()()sm s m yt xt v s m s m y xt u /1/1211/5/2211222-=⨯-⨯=-==⨯+⨯=+=流速偏导数112221121,1,/12,1,/1-----=-=∂∂==∂∂==∂∂=∂∂==∂∂==∂∂s t yvs t x v s m t t v s yu s t x u s m x t u点A(1,2)处的加速度分量()[]()()[]222/11151/3/21151s m y v v x v u t v Dt Dv a s m s m yuv x u u t u Dt Du a y x -⨯-+⨯+=∂∂+∂∂+∂∂===⨯-+⨯+=∂∂+∂∂+∂∂==3-4解：(1)迹线微分方程为dt udy dt u dx ==, 将u,t 代入，得()tdtdy dt y dx =-=1利用初始条件y(t=0)=0,积分该式，得221t y =将该式代入到式（a ）,得dx=(1-t 2/2)dt.利用初始条件x(t=0)=0,积分得361t t x -=联立（c ）和（d ）两式消去t,得过（0,0）点的迹线方程023492223=-+-x y y y (2)流线微分方程为=.将u,v 代入，得()tdx dy y tdyy dx =-=-11或 将t 视为参数，积分得C xt y y +=-221 据条件x(t=1)=0和y(t=1)=0,得C=0.故流线方程为xt y y =-221 3-5 答：()()，满足满足002,0001=+-=∂∂+∂∂+∂∂++=∂∂+∂∂+∂∂k k zw y v x u zw y v x u()()()()，满足，满足000040223222222=++=∂∂+∂∂+∂∂=+-++=∂∂+∂∂+∂∂zw y v x u yxxyyxxyzw yv xu()()()()()()处满足，其他处不满足仅在，不满足，满足，满足满足，满足0,41049000018001760000522==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=++=∂∂++∂∂=++-=∂∂++∂∂=++=∂∂+∂∂+∂∂y y yv x u yv x u u r r u r u rk r k u r r u r u zw yv xu r r r rθθθθ3-6 解：max 02042020max 20320max 2020max 2020214222111000u r r r r u dr r r r r u rdrd r r u r udA r V r rA r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==⎰⎰⎰⎰⎰πππππ3-7 证：设微元体abcd 中心的速度为u r ,u θ。
单位时间内通过微元体各界面的流体体积分别为()dr d u u cd dr d u u ab d dr r dr r u u bc rd dr r u u ad r r rr ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-2,22,2θθθθθθθθθθ面面面面根据质量守恒定律，有()02222=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-++⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-dr d u u dr d u u d dr r dr r u u rd dr r u u r r r r θθθθθθθθθθ略去高阶无穷小项（dr ）2和drd ,且化简，得01=∂∂++∂∂θθu r r u r u r r 3-8 解：送风口流量s m s m Q /2.0/52.02.033=⨯⨯=断面1-1处的流量和断面平均流速sm A Q V s m s m Q Q /5.05.06.0/6.0/2.03311331⨯===⨯==断面2-2处的流量和断面平均流速s m s m A Q V s m s m Q Q /6.1/5.05.04.0,/4.0/2.02222332=⨯===⨯== 断面3-3处的流量和断面平均流速s m s m A Q V s m Q Q /8.0/5.05.02.0,/5.0333=⨯==== 3-9解：分叉前干管的质量流量为Q m0=V 0。
设分叉后叉管的质量流量分别为Q m1和Q m2,则有21210,m m m m m Q Q Q Q Q =+=故ρπρπρπ222112100200214482V d V d V d Q Q Q m m m =====解得s m s m d v d V /05.18/24.245262.22550212100201=⨯⨯⨯⨯==ρρs m s m d v d V /25.22/3.240262.22550222200202=⨯⨯⨯⨯==ρρ 3-10 解：()()021210,01=+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==∂∂==∂∂=k k y v x u yv xu xyyy xx εεε角变形速率线变形速率()()()()()()22222222222222222222221212,22y x x y y x x y y x x y y u x v y x xyy v y xxyxu yyyy xx +-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=+-=∂∂=+=∂∂=εεε角变形速率线变形速率()()22221210,03xy=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂==∂∂==∂∂=y u x v yv xu yy xx εεε角变形速率线变形速率3-11解：线变形速率4212,42122-=⨯⨯-=∂∂==⨯⨯==∂∂=yv xy x u yy xx εε 角变形速率()()23221212212221212222=⨯++-⨯=++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=y x y x y u x v xy ε 涡量()()7221212222222-=⨯---⨯=+--=∂∂-∂∂=Ωy x y x yux v z 3-12 解：()无旋流,00000001⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=∂∂-∂∂=Ω=-=∂∂-∂∂=Ω=-=∂∂-∂∂=Ωk k y u x v x wz u z v y w z yx ()无旋流,00002⎩⎨⎧=-=Ω=Ω=Ωz y x()()()无旋流,0032222222222⎪⎩⎪⎨⎧=+--+-=Ω=Ω=Ωy x x y y x x y z y x ()有旋流,004⎩⎨⎧-=-=Ω=Ω=Ωααz y x()无旋流,05=Ω=Ω=Ωz y x ()无旋流,06=Ω=Ω=Ωz y x()()()无旋流得,022072222222222⎪⎩⎪⎨⎧=+--+-=∂∂-∂∂=Ω=Ω=Ω⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=y xxyky x xyk y u x v y x ky v y x kx u z y x ()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=+--+-=∂∂-∂∂=Ω=Ω=Ω⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=无旋流得,00822222222222222y x x y k y x x y k y u x v y x kx v y x ky u z y x （9）和（10）不满足连续方程，不代表流场3-13 解：任意半径r 的圆周是一条封闭流线，该流线上 线速度u θ=0r,速度环量2022r ru πωπθ==Γ(2)半径r+dr 的圆周封闭流线的速度环量为()202dr r d +=Γ+Γπω得()()20020202422dr rdr r dr r d d πωπωπωπω+=-+=Γ-Γ+Γ=Γ忽略高阶项20dr 2，得drdr d 04πω≈Γ（3）设涡量为，它在半径r 和r+dr 两条圆周封闭流线之间的圆环域上的积分为d 。
因为在圆环域上可看作均匀分布，得Γ=Ωd dA z将圆环域的面积dA=2rdr 代入该式，得rdr d rdr z 042πωπ=Γ=Ω可解出=2+dr/r 。
忽略无穷小量dr/r ，最后的涡量02ω=Ωz3-14 解：由u r 和u θ=Cr,得0,,,0,,=∂∂=∂∂-=∂∂=∂∂=-=yvC x v C y u x u Cx v Cy u 依据式（3-5a ）和（3-5b ）,有()yC Cx C Cy y v v x v u a x C C Cx y yu v x u ua y x 220..0.-=+-=∂∂+∂∂=-=-+-=∂∂+∂∂=可见，a r =-C 2(x 2+y 2)1/2=- u 2θ/r,a θ=0。
显然，a r 代表向心加速度。
（2）由u r =0和u θ=C/r,得()()()()42424222424222424422422422222,,2,,ry C r Cxy r Cx r y x C r Cy y v v x v u a r xCr xy C r Cx r Cxy r Cx y u v x u ua r Cxyy v r y x C x v r x y C y u r Cxy x u r Cx v r Cy u y x =+--=∂∂+∂∂=-=-+-=∂∂+∂∂==∂∂-=∂∂-=∂∂=∂∂=-=可见，a r =-C 2(x 2+y 2)1/2=- u 2θ/r,a θ=0。
显然，a r 代表向心加速度。
3-15 解：当矩形abcd 绕过O 点的z 向轴逆时针旋转时，在亥姆霍兹分解式（3-36）中，只有转动，没有平移，也没有变形。
故有dx v v dy u u z d z d ωω+=-=,其中，称是z 向角速率。
据题意，=/4rad/s.（2）因为矩形abdc 的各边边长都保持不变，故没有线变性；ab 边和ac 边绕过O 点的Z 轴转动，表明没有平移运动；对角线倾角不变，表明没有旋转运动。