各种类型的微分方程及其相应解法
各种类型的微分方程及其相应解法
专业班级：交土01班 姓名：高云 学号：1201110102
微分方程的类型有很多种，解题时先判断微分方程是哪种类型，可以帮助我们更快解题，所以我们有必要归纳整理一下各类型（主要是一阶和二阶）的微分方程及其相应解法。

一、一阶微分方程的解法 1.可分离变量的方程 dx x f dy y g )()(=,或
)()(y g x f dx
dy
= 其特点是可以把变量x 和y 只分别在等式的两边，解法关键是把变量分离后两边积分。

例1.求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 解 先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 11
1
2
-=- 两端积分⎰
⎰
-=-dx x dy y y
111
2得 ||ln |1|ln |1|ln 2
1
12C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 2.齐次方程
（1）
)(x y
f dx dy = （2） )(c by ax f dx dy ++=（a ，b 均不等于0）
例2求解微分方程
.2222xy
y dy
y xy x dx -=+-
解 原方程变形为=+--=22
2
2y xy x xy y dx dy ,122
2
⎪
⎭
⎫
⎝⎛+--⎪⎭⎫
⎝⎛x y x y x y x y
令,x y u =则,dx
du
x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+
分离变量得⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛--112212121u u u u ,x dx
du = 两边积分得
,ln ln ln 21
)2ln(23)1ln(C x u u u +=----
整理得 .)2(1
2
/3Cx u u u =--
所求微分方程的解为 .)2()(32x y Cy x y -=- 3.一阶线性微分方程
⎰+⎰⎰==+-])([),()()()(C dx e x Q e y x Q y x p dx
dy
dx x p dx x p 其通解为 例3. x y dx dy x sin 2=+， π
π1
)(=y ；
解 将方程改写为 x
x
y x dx dy sin 2=+，
这里x x p 2)(=，x
x
x q sin )(=，故由求解公式得
)sin (1sin 22
2⎰⎰+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡
⎰+⎰=-
xdx x C x
dx e x x C e y dx x dx x 22sin cos x
x
x x x C +-=
.
由初值条件π
π1
)(=
y ，得0=C .
所以初值问题的解为 2
cos sin x
x
x x y -=
例4.设非负函数()f x 具有一阶导数，且满足1
20
()()()x
f x f t dt t f t dt =+⎰⎰，求函数()f x ．
解：设1
20
()A t f t dt =⎰，则0
()()x
f x f t dt A =+⎰，两边对x 求导，得
()()()x f x f x f x Ce '=⇒=，由已知(0)()x f A C A f x Ae =⇒=⇒=
又 1
1
2
220
4
()()1
t A t f t dt t Ae dt A e ==⇒=
+⎰⎰，则 2
4()1
x
f x e e =
+
例5.设)()()(x g x f x F ⋅=，其中(),()f x g x 满足下列条件：
)()(x g x f ='，()()g x f x '=，且0
0f ，x
e x g x
f 2)()(=+．
① 求)(x F 满足的一阶方程； ② 求)(x F 的表达式． 解：(1) 由 )()()()()(x g x f x g x f x F '+'='=)()(22x f x g +
=)()(2)]()([2x g x f x g x f -+)(242x F e x -=,
可见，)(x F 所满足的一阶微分方程为
2()2()4(0)0x
F x F x e F '⎧+=⎨
=⎩
． (2) 由通解公式有
]4[)(222C dx e e e x F dx
x dx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x +⎰-22x x e Ce -=+．
将0)0()0()0(==g f F 代入上式，得1-=C .于是
22()x x F x e e -=-
4.伯努利方程。

内适当选定的点的坐标是区域其中
内恒成立，此时通解为在区域要条件是方程的充分的全微分，其为全微分左边恰好是某一个函数全微分方程
即可，其余同再令同除以G ,,),(),(),(G ),(,0),(),(.53,,)()(00100y x C dy y x Q dx y x P y x u x Q y P y x u dy y x Q dx y x p y u y y x Q y x p dx
dy
x
x y
y n n n =+=∂∂=∂∂==+==+⎰⎰-二、二阶线性微分方程的解法 1.可降阶微分方程
次分型，求解方法：连续积n )()1()(x f y n =
（2）''''''',),(p y p y y x f y ===则型，求解方法：令
（3）p dy
dp
dx dp y y y f y ===='''''p y
),(，则型，求解方法：令‘
例6. 方程03='+''y y x 的通解为 ． 解：330y xy y y x
'
'''''+=⇒=-
令,
y p y p ''''==，原方程变为 3p p x
'=-
11333
ln 3ln ln C dp dp dx dx p x C p y p x p x x
'⇒
=-⇒=-⇒=-+⇒==⎰⎰
所以23211
2C dx C y C x x
=-+=⎰
)2).......(()()()1......(0)()(.2'
'
''''x f y x Q y x P y y x Q y x P y =++=++二阶非齐次线性方程二阶齐次线性方程
3.二阶常系数齐次线性方程
)sin cos (,r )3()(r 2(,,10q p ,0212,12121212'''21x C x C e y i e x C C y e C e C y r r q pr r qy py y x rx
x
r x r βββα+=±=+=+==++=++∂则通解为一对共轭复根，则通解为）有两个相等的实根则通解为）有两个不相等的实根（是常数，若特征方程，其中
例7. 解方程022=+'+''y y y ．
解：022=+'+''y y y 的特征方程为21,22201r r r i ++=⇒=-±
则方程的通解为12(cos sin )x y e C x C x -=+ 例8.设0
()sin ()()x f x x x t f t dt =-
-⎰
其中)(x f 为连续函数，求)(x f ．
解：原方程整理得 00
()sin ()()x
x
f x x x f t dt tf t dt =-+⎰⎰，
两边求导 0
()cos ()x f x x f t dt '=-
⎰
，
再两边求导得 ()sin ()f x x f x ''=--， 整理得 ()()sin ,(0)0,(0)1f x f x x f f '''+=-==（初始条件到原方程
中找）
解得
1
()sin cos
22
x
f x x x
=+
有关微分方程的题目有很多，不可能一一列举出来，但我们可以举一反三，开拓思维，这样我们的高数才会得以提高。