dl


h 2
B t

dl
h B L B 1 L R2 L2
2 t
t 2
4
彼此绝缘，b=3c
求: (1)两者的互感系数
(2)若长直导线中通以电流I，线框中的互感电动势
(3)若线框中通以电流I，长直导线中的互感电动势

解: (1)
d
M12 rr B dS

M02I1adxi
I I0 sin t
2 x
b 0Ia dx 0Ia ln b
I Bl
N
螺线管的磁能为： Wm

1 LI 2 2

1 2
B2

V
单位体积内的磁能为：
wm

1 2
B2

1 B B 1 HB
2 2
推广为一般磁场能量密度：
we

1 2
B2


1 2
HB
比较
we

1 2
E 2

1 2
DE
磁场能量密度
电场能量密度
电场能量与磁场能量比较
电场能量
电容器储能




(vr

r B)

r dl
vB cosdl
C
r

d a
d
0Iv cos 2r
dr
sin
方向： ABC i BA CA
0Ivb ln d a 2a d
BC 0
例11 在半径为R的圆柱形体积内，充满磁感应强度为B 的均匀磁场。有一长为L的金属棒放在磁场中，设磁场 在增强，并且变化率已知，求棒中的感生电动势。
➢ 磁介质对磁场的影响
Bo
外加磁场
⊙Bo 等效
等效
Bo
磁介 质加 强了介质内部的磁场！
B B0 B r B0 r —介质的相对磁导率
有介质时：0 0r
：介质的磁导率
Is B
顺磁质： r 1 抗磁质： r 1 铁磁质： r 1

0Nh ln 2
R2 R1
I0 sin t
例10：一无线长直导线中通有稳定电流I，，有一与之 共面的直角三角形ABC，向右平移，当B点与直导线的 距离为d时，求：线圈中的感应电动势
I
B d
v
B
dl
a
CA段：
CA

0 Ivb 2 (a d )

A b

BA段： BA v
r :102 ~ 106
§5 磁场的能量
RL
一.
线圈的磁能 K闭合时有：


L
di dt

iR
dt Ldi iRdt idt Lidi i2Rdt

K
由： t 0 i 0 tt iI
t
idt
I
Lidi
t i2Rdt
0
0
0
t
idt
(A)总磁能将增大
(B)总磁能将减小
(C)总磁能将保持不变
(D)总磁能的变化不能确定
Wm

1 2
LI 2
I
I Φ LI Φ Wm
(A)
例2：一导体棒 ab 在均匀磁场中沿金属导体向右作匀加 速运动，导轨电阻忽略不计，并设铁心磁导率为常数， 则达到稳定后在电容器的 M 极板上
(A)带有一定量的正电荷； (B)带有一定量的负电荷；
(A) 铜盘上有感应电流产生，沿着铜盘转动的相反方向 流动。
(B) 铜盘上有感应电流产生，沿着铜盘转动的方向流动。
(C) 铜盘上产生涡流。
(D) 铜盘上无感应电流产生，铜盘边缘处电势最高。
(E)
铜盘上无感应电流产生，铜盘中心处电势最高。
r
B
o

[D]
例9：螺绕环总匝数N，如图，
(1)求螺绕环的自感系数；
c 2 x
2 c
M 0a ln b 0a ln 3
a
x
-c o c
b
x
2 c 2
(2)
21

M 21
di1 dt


0a ln 3 2
I0 cost
12
例1：两根很长的平行直导线，间隔为a，与电源组成 闭合回路，电流为I，在保持I不变的情况下，若将导线 间的距离增大，则空间的
a

ab
gt
0I dr
a 2 r
I MN
0 r
ab
0gtI ln a b 2 a
i UN UM
UM
UN

0 gtI 2
ln
ab a
或者用右手定则判断
例6（填空）一自感线圈中，电流强度在0.002s内均匀 的有10A增加到12A，此过程中线圈内自感电动势为 400V，则线圈的自感系数L=？
系数。
解： 设无限长直导线中的电流 i
0
M 0
i
M 0
0’
例5 （填空）一段长度为b的直导线MN，水平放置在
通电流I的竖直放置的无限长直导线旁，且与竖直导线
共面。MN从静止由图示位置自由下落，求：ts末导线
两端的电势差UM-UN。
i
ab r r r (v B) dl
解：方法（1）构建三角形
i
r
=ÑL Ei

r dl

S
r B t

r dS


B t
S
dS
B 1 hL t 2
B 1 L R2 L2
t 2
4
R o B
L
方法（2） rr
t i2Rdt 1 LI 2
0
0
2
t
idt ——电源的功 0
自感线圈储存的磁场能：
Wm

1 2
LI
2
t i2Rdt ——电阻消耗的功 0
1 LI 2——消耗在电感上的功
比
电容的电场能： 较
We

1 2
CU
2
2
二. 磁场的能量
对长直螺线管： B nI N I
l
L n2V
Q ÑL Ei dl

S
r B t

r dS

Ei

2
r


B t

r
2
Ei

r
r2
B
tr
i Ei dl Ei cos dl
R o
h E感 r
dl



r 2
B t
h r
μ0=4π×10-7Tm/A）
n 1000, B 0nI n1 100, S a2
NBS
εi


d
dt

N 0na2
dI dt
2 102 sin100t
Im

m
R
2 102
0.987A
例8. 圆铜盘水平放置在均匀磁场中，B 的方向垂直盘面 向上，当铜盘绕通过中心垂直于盘面的轴沿图示方向 转动时，
(C)带有越来越多的正电荷；(D)带有越来越多的负电荷。
M+
B

a
v
N
b
1

(vr
rr B) dl

Blv
i 1 Blv
RR
互感2

M
di dt

M
Bl R
dv dt
Q CU C2 (A)
例3：一导线被弯成图示形状acb为半径是R的四分之三
II
2 R1
R2 R1
dr r
(2) 设长直导线通电流为I，则在
R2
螺绕环中，单匝磁通量
R1

Hale Waihona Puke rr B dS R2 0I h dr
R1 2 r
h
0Ih ln R2
2 R1
M N 0Nh ln R2
I I 2 R1
(3)
12

M
di2 dt
ωo
ob段
ob
(vr

r B)

r dl
5R
rB dr 0
M¼N
MN
0Iv ln a b
2 a b
5 BR2
2
oab ob
方向：bao
电动势方向： N→M
例4（填空）有一根无限长直导线绝缘的紧贴在矩形
线圈的中心轴OO’上，求直导线与矩形线圈间的互感
(2)沿轴线放一根长直导线，求螺绕
环与直导线之间的互感系数;
(3)若螺绕环的电流为 i I0 cost
求直导线中的电动势.
h
解：(1)
单匝
rr B dS
R2 0 NI h dr
R1 2 r
0 NIh ln R2 2 R1
L N 0N 2h ln R2
圆弧，直线段oa长为R，置于均匀磁场B中，导线以角
速度ω在图面内绕o点逆时针匀速转动，
求：此导线中的电动势。
c


B
连接ob，oabo
I
b d 0 oab0 0
dt
a