解：设DE中点为坐标原点，在DE上距原点为x处取线元dx,两长 直导线在dx处的磁场为
B
B1
B2
0I 2
[ r
1 l
x
r
1 l
] x
2
2
d i
vBdx
0 Iv [ 2 r
dx l
x
r
dx l
] x
l
2
2
i
2
d i
l
0 Iv ln
r l r
2
Example 1
设空间有磁场存在的圆柱形区域的半径为R=5cm，磁感应强度 对时间的变化率为dB/dt=0.2T/s，试计算离开轴线的距离r等于2cm、 5cm及10cm处的涡旋电场。
B dl 0 I
i
L
cP d
b
c
d
a
B dl a B dl b B dl c B dl d B dl
b
2a B dl 2BL
又：
0
I 0iL, 所以
B 0i
2
例题：一无限大平行板电容器极板间的电场强度为E，一 均匀磁场B与E垂直，现有一电子(-e,m)从负极出来，初 速度为零。求：电子刚好不能到达正极板的距离d。
求棒AC两端的电势差。
O
D
C
Ｂ A
复习
一、法拉第电磁感应定律 d
dt
二、动生电动势
闭合回路
i
v
B
dl
l
不闭合回路
b
i a v B dl
三、感生电动势
L
Ek
dl
d dt
四、感生电场与静电场
例行3放．置一一长矩直形导线线圈中，通线有圈正平弦面交与流长电直i导线I在m 同si一n w平,t面在内长，直求导任线一旁瞬平
B dl
L
0
I 0
i'
L
L
1
E dS
S
0
(q0 q' )
S
B dl l
0
I 0
M dl
l
B
(
l 0
l
M ) dl
B
I
H M
0
l H dl I
S
E
dS
1
0
q0
S
1
0
S
P
dS
(0E P) dS q0
S
D 0E P
D dS q0
S
例1、长直单芯电缆的芯是一根半径为R 的金属导体，它 与外壁之间充满均匀磁介质，电流从芯流过再沿外壁流回。 求介质中磁场分布。
如图 长直导线过圆电流的中心且垂直圆电流平面 电流强度均为I，求：相互作用力
解：在电流上任取电流元
(在哪个电流上取？)
dF Idl B
dF 0
Idl B 0
l
I I
综合运用
半径为R 的平面圆形线圈中载有自流I，一载流I’
的无限长直导线通过圆形线圈的圆心放置，并和圆 形线圈共面（相互绝缘），如图所示，则圆形线圈 左半圆所受磁力如何？整个圆形线圈所受磁力又如 何？
30o
解：
dF Idl B
dF dF sin 30 0 dF dF cos300
F
dF
1 2
BIdl
方向向上
复习
•带电粒子在磁场中所受的力
Fm qv B
•带电粒子在磁场中的运动
速度方向与磁场方向平行——直线运动 速度方向与磁场方向垂直——圆周运动
速度方向与磁场方向有夹角——螺旋运动
I1
I2
dF1
dF2
B1
dF1 dl1
B2 I1
o I2I1 2 d
d
2、电流强度的单位：
在其空中有两根平行的长直线，它们之间相距1m，两导线上电 流流向相同，大小相等，调节它们的电流，使得两导线每单位 长度上的吸引力为2×10-7N·m-1，我们就规定这个电流为1A。
1、安培力
复习
dF Idl B
动，试求铜棒两端之间产生的感应电动势的大小和方向。
解法1：按定义式解 线元dl产生的动生电动势为
di v B dl Bvdl Bwldl
ab
L Bwldl＝1 BwL2
0
2
a
v
L
b
B
解法2：如图构建扇形闭合回路，穿过其磁通量为：
BS B L2
2
应用法拉第电磁感应定律
i ab bb ab
解：线元dx产生的动生电动势为
di
vB
dl
Bvdx
0I
vdx
2x
负号说明与x方向相反
I
AB产生的动生电动势为
i
d i
al a
0I vdx 2x
0 I v ln( a l )
2
a
方向:从B到A
B
v
A dx B
x
al
一题多变:
若金属棒与水平方向成θ角，其它条件不变，金属棒AB中的动生
解:如图沿半径方向作辅助线构成三角形闭合回路(为什么？是
否可以其 他闭合回路？ )，则 有
i
E dl E dl E dl E dl
oa
ab
bo
因为OLA、OB与感应电场的方向处处垂直
所以 L
Ek
oa
dl
AB
ob
－
0
d dt
1L 2
R2
L2
4
dB dt
O
A
B
一题多变
在左半圆上任取一电流元 Idl ,I’在电流元处产生的磁场为
B 0I 0I
方向向外
2r 2R cos
dF
电流元受力方向如图，大小为
dF IBdlsin 900 I 0 I Rd
2R cos
竖直分量抵消，水平分量方向受力为
dF水平
dF
cos
0 II 2
d
左半圆受力为
F左
dF水平
/2 / 2
B
I0
I0
lH nlI0
H nI 0
b
a
B 0r H 0r nI 0
B
c
d
Example 3
如图所示，一个有矩形截面的环形铁芯，其上均匀地绕
有N匝线圈．线圈中通有电流I时，铁芯的磁导率为 ．求
铁芯内与环中心线的轴相距r处磁化强度M的数值．
磁场强度
H NI
2r
磁化强度
M B H H H 0 NI
解：法拉弟电磁感应定律求解，如图选取坐标
d B L2 w 1 BwL2
dt 2 2
ab′bb′不切割磁力线,所以
ab
1 2
BwL2
法拉第电机可视为无数铜棒并联
R
U0 Ua o Bwl dl
U0
Ua
1 2
BR2w
w
B
o a
Example 2
长直导线中通电流 I ，距长直导线a处长 l的垂直共面金属棒 AB以速度 v 平行导线匀速运动，求金属棒AB中的动生电动势。
解：磁场柱对称分布，取如图所示安培 回路
l H dl I
H I
2 r
B
0r H
0r I 2 r
方向沿圆பைடு நூலகம்切线方向
II
r
B
R
Example 2
长直螺旋管内充满均匀磁介质(μr)，设导线中电流I0，单 位长度上的匝数为n。求管内的磁感应强度。
解：因管外磁场为零，取如图所
示安培回路
l H dl I
综合运用
例4：如图，真空中一长直导线通有电流 I (t) I 0e，t 有一带滑动
边的矩形导线框与长直导线平行共面，两者相距a，矩形线框的滑 动边与长直导线垂直，它的长度为b，并且以匀速v滑动。若忽略
线框中的自感电动势，并设开始时滑动边与对边重合，试求任意 时刻t在矩形线框内的感应电动势并讨论其方向。
时线圈中的感应电动势。
解：如图穿过微小面积的磁通量为 d BdS 0I Ldx 2x
穿过矩形线圈的磁通量为
d
b
d
d b
0I
Ldx
d 2x
I
0IL ln d b
L
2 d
根据法拉第电磁感应定律，任意时刻 线圈的感应电动势为
d 0 I0wL ln d b coswt
x
dx
dt
2
d
电动势大小为多少？
，
dl dx
解1：
c os
di v B dl vBdlcos vBdx
v
I
dl
B
A l
i
d i
al cos a
0 Iv 2
dx x
0 Iv ln a l cos
2
a
a
解2：构造三角形回路，场纵向均匀，纵移三角形回
路中磁通量不变，
i AB BC CA 0
电磁学（二）
Example 6
无穷大平行平面上有均匀分布的面电流，面电流密度为 i ， i的方向为电流流动的方向（ i为垂直于电流方向上单位长度
的电流强度），求此平面外的磁感应强度B的大小。
解：由于平板无穷大，所以平板外任一点的
磁感应强度B都与平板平行。在垂直于i 垂直 b
a
于平板面上一环路abcd，由安培环路定理：
•磁力作功的一般表示
A 2 Id I 1
•磁介质的分类 •磁化强度定义
M
Pm
Pm
V
束缚电流与磁化强度之间的关系
M s
•磁介质中的安培环路定律