概率与数理统计期末复习题一一、填空题1．设随机变量X的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,0,31)(31xxexfx，则数学期=+-)(XeXE。

2．设随机变量X，Y相互独立，且服从正态分布N（-1，1），则Z=2X-Y的概率密度。

3．进行三次独立试验，在每次试验中事件A出现的概率相等，已知A至少出现一次的概率等于6437，则事件A在一次试验中出现的概率P(A)= .4.设X,Y是随机变量,D(X)=9,D(Y)=16,相关系数21=XYρ,则D(X+Y)= .5. 口袋中装有2个白球,3个红球,从中随机地一次取出3个球，则取出的3个球中至多有2个红球的概率为 .6. 已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且21}0{==XP,=<}2{XP.二、已知随机变量X的概率密度为⎩⎨⎧<<=其他,01,2)(xxxf.求Y= 3lnX的分布函数.三、玻璃杯成箱出售,每箱装有10只玻璃杯.假设各箱含0只,1只和2只次品的概率分别为0.9,0.06,0.04.一顾客要买一箱玻璃杯,售货员随意取出一箱,顾客开箱随机取出3只,若这3只都不是次品,则买下该箱杯子,否则退回.求(1)该顾客买下该箱玻璃杯的概率;(2)在顾客已买下的一箱中,确实没有次品的概率.四、设随机变量(X,Y)的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤≤≤=其他,0660,1,31),(xyxyxf,求 ( 1)边缘密度)(),(yfxfYX; (2)协方差cov(X,Y),并问X 与Y 是否不相关?五、已知一批产品的某一数量指标X服从正态分布)6.0,(2μN,问样本容量n为多少,才能使样本均值与总体均值的差的绝对值小于0.1的概率达到0.95. [96.1)975.0(Φ=，6456.1)95.0(Φ=，29.1)90.0(Φ=]。

六、使用归工艺生产的机械零件,从中抽查25个,测量其直径,计算得直径的样本方差为6.27.现改用新工艺生产, 从中抽查25个零件,测量其直径,计算得直径的样本方差为 4.40. 设两种工艺条件下生产的零件直径都服从正态分布,问新工艺生产的零件直径的方差是否比旧工艺生产的零件直径的方差显著地小(05.0=α)?七、设总体X的的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<-=--其它,010,11);(12xxxfθθθθ其中1>θ,是未知参数,),,,(21nxxx是总体X的样本观察值.求(1)θ的矩估计量;(2) θ的极大似然估计量Lθ,并问Lθ是θ的无偏估计吗?八、设随机向量(X,Y)的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其它,010,1,8);(yxyxyyxf求 (1)条件概率密度)|(yxfX;(2) Z=X+Y的概率密度.;概率与数理统计期末复习题二一、一、选择题1.设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为X 1 2 Y 1 21/3 2/3 1/3 2/3则下列命题正确的是。

(A)P(X=Y)=1/3 (B)P(X=Y)=2/3 (C)P(X=Y)=1 (D)P(X=Y)=5/9.2．设P(AB)=0,则下列命题正确的是.(A)A与B不相容(B)A与B独立(C)P(A)=0或P(B)=0 (D)P(A-B)=P(A).3.在假设检验中,记H1为备择检验,称为犯第一类错误.(A) H1为真,接受H1(B) H1不真,接受H1(C) H1为真,拒绝H1(D) H1不真,拒绝H1.二、二、填空题1．设两两相互独立的三事件A，B，C满足ABC=φ，P(A)=P(B)=P(C)<1/2,且已知P(AUBUC)=12/25.则P(A)= .2. 随机变量X的概率密度为.,21)(∞<<-∞=-xexf x则X的分布函数F(x)= .3．设随机变量X与Y均服从正态分布N(-1,1),且相互独立，则Z=X-2Y的概率密度。

4. 设X1,X2,…,X6为来自正态总体N(0,1)的简单随机样本,而Y=(X1+X2+X3)2+(X4+X5+X6)2,试确定常数c= 使得随机变量cY服从χ2分布.5. 设X1,X2,…,X n为n个相互独立同分布的随机变量,且E(X i)=μ,D(X i)=8(i=1,2,….,n),对于∑==niiXnX11,用切比雪夫不等式估计P{μ-4<X<μ+4}______≥.6. 设X1,X2,…,X n为来自正态总体N(μ,σ2)的一个样本,其中参数μ,σ>0未知,则μ的置信水平为1-α(0<α<1)的置信区间长度L= ,数学期望E(L2)= .三、某种产品,每一批中都有2/3的合格品.验收每批产品时规定:从中任取一个,若为合格品,则放回,然后再任取一个,如果仍为合格品,则接受这批产品;否则,拒绝接收该批产品.求:(1)每批产品被拒绝接收的概率;(2) 检验三批产品,最多有一批被拒绝接收的概率.四、两台同样的自动记录仪,每台正常工作的时间服从参数为θ=1/3的指数分布。

首先开动其中的一台，当其发生故障时停用，而另一台自动开动。

试求两台记录仪正常工作的总时间T的概率密度f(t)、数学期望和方差。

五、设总体X服从参数为λ的泊松分布，λ>0未知，X1,X2,…,X n为来自总体X的一个样本观察值。

求λ的极大似然估计量λˆ，并求其方差)ˆ(λD。

六、设的联合概率密度为:⎪⎩⎪⎨⎧<<<=其他,0,2,41),(xyxyxf(1)边缘概率密度f X(x), f Y(y)和条件概率密度f Y(y|x);(2)证明X 与Y 不相关,但X 与Y 不独立. 七、有两个相互独立工作的电子装置,其寿命),2,1( =k X k 服从同一指数分布,分布函数为⎩⎨⎧>-=-其它， ,001)(x e x F x λ(1) 若将这两个电子装置串联成整机,求整机的寿命的分布函数和数学期望; (2)若将这两个电子装置并联成整机,求整机的寿命的分布函数和数学期望.八、某种织物的强力指标的均值为μ=21(kg).改进工艺后生产一批织物,今抽取25件,测得55.21=x (kg),2.1=S (kg).强力指标服从正态分布.问在显著水平α=0.01条件下,新生产织物比过去的织物的强力是否要高?附表:.492.2)24(,485.2)25(,064.2)24(,711.1)24(,708.1)25(,96.1,58.201.001.0025.005.005.0025.001.0=======t t t t t u u概率与数理统计期末复习题三三、 填空题1．设A 与B 是相互独立的随机事件，满足P(A)=0.3, P(B A )=0.7 ,则P(B)= .2. 随机变量X )4,1(~N ,随机变量Y 服从参数2=θ的指数分布, 其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0 , 00, 21)(21y y e y f yY 而且X 与Y 的相关系数为21=XY ρ, 则),cov(Y X = .3．设离散型随机变量X 的分布函数为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤--<=x x x F 3 , 13x 2 , 522 , 0)(则随机变量X 的分布律为 。

4. 设随机变量X )1,0(~N , 随机变量Y )(~2n χ, 且X 与Y 是相互独立,令n YXT =，则~2T 分布.5.设总体X 服从参数为λ的泊松分布, 0>λ为未知参数。

),,,(21n X X X 是总体X 中抽取的一个样本，则参数λ的矩估计量λˆ= . 二 、选择题1． 在某大学任意选出一名学生。

令：A={选出的学生是男生}，B={选出的学生是三年级学生}，C={选出的学生是数学系的学生}，则当 时，ABC=C 成立。

（A ）数学系的学生都是三年级的男生 （B ）三年级的学生都是数学系的男生 （C ）该学校的男生都是数学系三年级的学生 （D ）三年级的男生都是数学系的学生2． 设袋中有a 只黑球，b 只白球，每次从中取出一球，取后不放回，从中取两次，则第二次取出白球的概率为（ ）（A ）22)(b a b +（B ）)1)(()1(-++-b a b a b b （C ）11-+-b a b （D ）b a b+3．设离散型随机变量X 的分布律为),2,1(!}{ ===k k ck X P kλ其中0>λ为常数，则c=（ ）（A ）λe - （B ）λe （C ）11--λe （D ）11-λe4． 设随机变量921,,,X X X 相互独立的且同分布，而且),9,2,1(1,1 ===i DX EX i i 令∑==91i iX X ，则对任意给定的0>ε，由切比雪夫不等式直接可得（ ）（A ）211}1{εε-≥<-X P （B ）211}9{εε-≥<-X P（C ）291}9{εε-≥<-X P （D ）211}191{εε-≥<-X P5．设总体X ),0(~2σN ,),,,(21n X X X 是从中抽取的一个简单随机样本，则2σ的无偏估计量为（ ）（A ）∑=-=n i iX n 12211ˆσ （B ）∑==ni i X n 1221ˆσ （C ）∑=+=n i i X n 12211ˆσ（D ）∑=+=ni iXn n1222)1(ˆσ三 设有两箱同种类零件,第一箱装有50件,其中10件为一等品;第二箱装有30件,其中18件为一等品,今从两箱中随意取出一箱,然从该箱取零件2次,每次任取一只,作不放回抽样.求: (1) 第一次取出的零件为一等品的概率;(2) 在第一次取出的零件为一等品的条件下,第二次取出的也是一等品的概率.四.甲，乙两人进行比赛,规定若某人先赢得4局比赛的胜利得整场比赛的胜利. 设在每局比赛中,甲，乙两人获胜的概率都是21,令X 表示所需比赛的局数,求:(1) X 的可能取值; （2）X 的分布律; （3）E(X). 五.向平面区域}0,40:),{(2≥-≤≤=x x y y x D 内随机地投掷一点,即二维随机变量(X,Y)服从平面区域D 上的均匀分布.(1) 试求二维随机变量(X,Y)的联合密度函数; (2) 点(X,Y)到y 轴距离的概率密度函数;(3) 设(X,Y)∈D,过点(X,Y)作y 轴的平行线,设S 为此平行线与x 轴、y 轴以及曲线24xy -=所围成的曲边梯形的面积,求E(S).六.设随机变量X 与Y 的分布律分别为 X0 1Y0 1p 1-1p 1p p 1-2p 2p其中,101<<p ,102<<p 证明:如果X 与Y 不相关,则X 与Y 相互独立.七.假设一条自动生产线生产的产品的合格率为0.8,试用中心极限定理计算,要使一批产品的合格率在76%与84%之间的概率不小于90%,问这批产品至少要生产多少件? (已知,9015.0)29.1(=Φ,95.0)65.1(Φ=其中)(x Φ是正态分布)1,0(N 的分布函数)八.设总体X 服从区间),0(θ上的均匀分布,其中0>θ为未知参数. ),,,(21n X X X 是从该总体中抽取的一个样本.(1)求未知参数θ的极大似然估计θˆ(2)求θˆ的概率密度函数;(3)判断θˆ是否为未知参数θ的无偏估计.九.某厂在所生产的汽车蓄电池的说明书上写明：使用寿命的标准差不超过0.9年,现随机地抽取了10只蓄电池, 测得样本的标准差为1.2年,假定使用寿命服从正态分布),(2σμN ,取显著性水平05.0=α,试检验81.0::81.0:2120<≥σσH H概率论与数理统计期末复习题四一. 单项选择题1.现有5个灯泡的寿命i ξ. ()5,4,3,2,1=i 独立同分布,且a E i =ξ b D i =ξ ()5,4,3,2,1=i .则5个灯泡的平均寿命η的方差=ηD ( )(A) 5b (B) b (C) 0.2b (D) 0.04b 2.0=ξD 是1}{==C P ξ(C是常数)的( )(A) 充分条件,但不是必要条件 (B) 必要条件,但不是充分条件 (C) 充分条件又是必要条件 (D) 既非充要条件又非必要条件 3. 离散型随机变量ξ的概率分布为k b k P λξ==)(),2,1( =k 的充分必要条件是( )(A) 0>b 且10<<λ (B) λ-=1b 且10<<λ(C)11-=λb 且1<λ (D) b+=11λ且0>b 二．填空题1．某柜台有4个服务员,他们是否需用台秤是相互独立的,在1小时每人需用台秤的概率为41,则4人中最多1人需用台秤的概率为 .2. 从1,2,…,10共十个数字中任取一个,然后放回,先后取出5个数字,则所得5个数字全不相同的事件的概率等于3. 设A , B 是两个相互独立的随机事件,且41)(=A P 31)(=B P 则=-)(B A P4. 设A , B 是两个随机事件,且0)(>B P .则由乘法公式知=)(AB P三.设21,ξξ是相互独立的,均服从(0-1)分布,且6.0)1()1(21====ξξP P .求},min{21ξξη=的概率分布.四. 已知随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤-+≥+=其他,012,)2(0,1)(2x x b x x ax f .已知43}1{=≤X P . 求: (1) 常数a ,b 的值. (2) X 的分布函数F (x ). (3)Y =X 3的概率密度函数.五. 对同一目标进行三次射击,第一,二,三次射击的命中概率分别为0.4,0.5,0.7.试求至少有一次击中目标的概率.六. 在次品率为61的一大批产品中,任意抽取300件,试计算在抽取的产品中次品件数在40到60之间的概率.已知标准正态分布函数)(x Φ的值:9394.0)55.1(=Φ 8849.0)2.1(=Φ七 设二维随机变量),(ηξ的概率分布为1-=η 0=η 1=η1-=ξ8181810=ξ81 0 811=ξ8181 81问ξ与η是否相互独立?八. 一种设备使用到2000小时不能正常工作的概率为0.06,使用到3000小时不能正常工作的概率为0.13,求已经工作了2000小时的设备能继续工作到3000小时的概率.九． 设某种电子管的寿命X 具有概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤>=10,10,10)(2x x x x ϕ.问150小时内,上述三只电子管没有一只损坏的概率是多少?三只电子管全损坏的概率又是多少?概率论与数理统计 期末复习题(五)一. 已知21)(=A P , 31)(=B P , 按下列条件,试求)(B A P ⋃的值. (1)0)|(=B A P (2) )()|(A P B A P = (3))()|(B P B A P =二. 设X ~)2,10(2N ,10-=X Y ,2)210(-=X W ,求)(W Y D -三、在20件电子元件中,有一等品10件,二等品6件,三等品4件,已知一、二、三等品的寿命(单位:h)分别服从参数4001=θ ，2002=θ ，1003=θ的指数分布.(1) 从20件电子元件中任取一只元件使用,求寿命超过400小时的概率.(2) 从20件电子元件中有放回地任取4件使用,求至少有一间寿命超过400小时地概率. (37.01=-e,保留小数点后两位小数位)四、设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≤<=+-其他,031,1,)(22x Bx Ae x f xx . 其中A ,B 为大于零的常数,且已知41}2523{=<<X P .求: (1) A ,B 的值.(2)随机变量X 的分布函数)(x F .要求: 所求结果用)(x Φ表示,其中()dtex t x2221-∞-⎰=πΦ五、设二维随机变量(X ,Y)的联合密度为⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他,00,10,),(3x y x ax y x f(1) 求a ;(2) 求X 和Y 的边缘概率密度)(x f X ,)(y f Y .并判断X 与Y 是否相互独立?(3) 求E(X), E(Y), 并判断X 与Y 是否相关？ (4) 求P{Y>X/2}; (5) 求YX Z+=的概率密度)(z f Z六. 设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<≥=+-ax a x bx a b a x f b b ,0,),,()1(.其中参数0>a已知,0>b 未知.n x x x ,,,21 为来自总体X 的样本.求未知参数b 的最大似然估计和矩估计.七. 某厂用填装机将香水装入同一规格的瓶内,每瓶内香水的装量X ~)5,(2μN (单位:ml).现研制一种新的装速较快的填装机,已知它装入每瓶内的香水量服从正态分布),(2σμN .现从新机器所装的香水中任取20瓶,测得香水量为201,,x x .经计算得75.221)(2201=-∑=x x i i ,其中x 为样本均值.试问用新的机器投入生产,每瓶香水量得标准差较原来得标准差是否有显著得差异(显著水平05.0=α).附表:086.2)20(025.0=t 725.1)20(05.0=t 852.32)19(2025.0=χ170.34)20(2025.0=χ 117.10)19(205.0=χ 907.8)19(2975.0=χ 591.9)20(2975.0=χ 851.10)20(295.0=χ 410.31)20(205.0=χ9909.0)36.2(=Φ八. 设总体X ~)2,0(2N ,1021,,,X X X 为来自总体X 的样本.令∑∑==+=1062512)()(j j i i X X Y试确定常数C ,使CY 服从2χ分布,并指出其自由度.概率论与数理统计期末复习题六一 选择题1. 对于任意的两个随机变量ξ和η,若)()()(ηξξηE E E =,则有( )(A) )()()(ηξξηD D D = (B) )()()()(ηξηξD D D D +=+(C)ξ和η独立 (D) ξ和η不独立2. 对于任意事件A 和B ,若1)(0<<B P ,则有( )(A) 1)|()|(=+B A P B A P (B) 1)|()|(=+B A P B A P (C)1)|()|(=+B A P B A P (D) 1)|()|(=+B A P B A P3. 设a B A P =⋃)( b A P =)( c B P =)( 则)(B A P 等于( )(A)c c a )(+ (B) 1-+c a (C) c b a -+ (D) c b )1(-4. 设随机变量X 的密度函数为)(x f 是连续的偶函数(即)()(x f x f -=),而)(x F 是X 的分布函数,则对任意的实数a 有( ) (A))()(a F a F -= (B) ⎰-=-adx x f a F 0)(1)((C)⎰-=-a dx x f a F 0)(21)( (D) )()(a F a F -=-二. 填空题1. 对目标进行独立射击,每次命中的概率均为25.0=p ,重复进行射击直至命中目标为止,设ξ表示射中的次数,则=ξE2. 设41)()(==B P A P , 21)(=C P , 0)(=AB P , 81)()(==BC P AC P , 则C B A ,,三者都不发生的概率=)(C B A P3. 袋中装有5个白球.3个黑球,4个红球.从中一次取出三个球,则三个球是同色的概率为4. 设随机变量ξ和η相互独立, 且0==ηξE E , 1==ηξD D ,则=+])[(2ηξE三. 一批零件中有9个正品与3个废品,安装机器时,从这批零件中任取一个,如果每次取出的废品不再放回而再另取一个零件,直到取得正品为止,求在取得正品以前已取出废品数X 的分布律.四、 已知二维随机变量(X ,Y )联合密度为⎩⎨⎧>>=+-其他,0,0,),()1(y x cx y x f y x求: (1) c 的值. (2) X ,Y 的边缘密度)(),(y f x f Y X ,并判断X 与Y 是否相互独立?五. 设随机变量X 服从参数为θ的指数分布)0(>θ,求随机变量2313+=X Y 的概率密度. 六. 随机地掷6颗骰子,试用切比雪夫不等式估计:6颗骰子出现的点数总和不小于9点且不超过33点的概率. 七. 甲乙二人独立地投篮,已知甲投中地概率为8.01=p , 乙投中地概率为5.02=p . 现两人各投三次,求两人投中次数相等的概率.八. 3各相互独立的元件串联成一个系统,若3个元件的使用寿命)3,2,1(=k X k 都服从同一参数为)0(>θθ的指数分布. 试求该系统的寿命Y 的分布函数和概率密度函数.九. 保险公司新增一个保险品种:每个被保险人年交纳报费为100元,每个被保险人若出事赔付金额为2万元.根据统计,这类被保险人年出事概率为0.0005.这个新保险品种预计需投入100万元的广告宣传费用.在忽略其他费用的情况下,一年内至少需要多少人参保,才能使保险公司在该年度获利超过100万元的概率大于95%? (901.0)29.1(=Φ 950.0)65.1(=Φ 9990.0)09.3(=Φ 9999.0)72.3(=Φ99999.0)27.4(=Φ )十．已知某厂生产的某种灯泡的寿命(单位:kh)服从正态分布),(2σμN ,并要求灯泡的寿命的标准差1.2≤σ.现从产品中任取5个灯泡进行试验,得结果为。