第八章 粘性不可压缩流体的运动本章主要介绍：粘性流体层流运动的基本理论和基本分析方法，并简要介绍湍流边界层的求解方法。

§8.1 粘性流体中的应力一.粘性流体中的应力：由于流体中任意一点的应力状态可由通过这一点的三个相互正交的作用面上的应力矢量唯一地确定。

而每一应力矢量都可用三个分量表示。

故共有九个应力分量。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=zz zy zx yz yy yx xz xy xx P στττστττσ P 又称为应力张量（二阶张量）。

应力表示方法：σij (τij ）第一个下标i 表示应力所在平面的法线与i 轴平行。

第二个下标j 表示应力的方向与j 轴平行。

正、负号的规定：如果应力作用面的外法向指向i 轴的正向，则σij (τij ）的正向指向j 轴正向。

如果应力作用面的外法向指向i 轴的负向，则σij (τij ）的正向指向j 轴负向。

应力分量的正方向如图所示。

切应力互等定律：即，P 的九个分量中只有六个是独立的分量。

二.广义牛顿内摩擦定律：在第一章中介绍的牛顿内摩擦定律：采用本章所定义的符号，可表示为： yu xy yx ∂∂==μττ 斯托克斯(Stokes) 1845年研究了如何表达流体中粘性应力的问题。

斯托克斯假设：(1) 粘性应力与变形率之间成线性的正比关系；(2) 流体是各向同性的，即应力与变形率之间的关系与方向无关；(3) 当流体静止时，变形率为零，此时应力--变形率关系给出的正应力就是流体的静压强。

由假设，有:故： b x u xx +∂∂=μσ2 b y v yy +∂∂=μσ2 b zwzz +∂∂=μσ2考虑到假设(3) ，要求： p zz yy xx -===σσσ当流体静止时：在粘性流体流动中一般： σxx ≠ σyy ≠ σzz p zz yy xx 3-=++σσσ在运动的粘性流体中：把a 、b 代入前面的关系式，可得：⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂+-=z w y v x u x u p xx μμσ322 以上六个关系式称为广义牛顿内摩擦定律。

也称为流体的本构方程。

若流体不可压缩，则：0=∂∂+∂∂+∂∂zwy v x u 此时，正应力的关系式简化为：凡满足广义牛顿内摩擦定律的流体称为牛顿流体，如水、空气等；凡不满足广义牛顿内摩擦定律的流体称为非牛顿流体，如聚合物液体、泥浆等。

例1. 已知粘性流体流动的速度为: k xyz j z xy i yz x V 222835-+= 流体动力粘性系数 μ = 0.01N ·s/m2，长度单位为m 。

求: ( 2, 4, 6 ) 点的切应力。

解： ()z x z y y u x v yx xy 2253+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂==μμττ代入 x = 2, y = 4, z = 6, 得到：§8.2 不可压缩粘性流体运动的基本方程一.纳维——斯托克斯方程（N-S 方程）：从不可压缩粘性流体中取出边长分别为dx 、dy 和dz 的微元平行六面体。

设微元体中心点的密度为ρ，现分析其在xoy 平面上的投影。

如图所示：作用在微元平行六面体上x 方向 的表面力的合力为：根据牛顿第二定律，在 x 方向： ma x = F x即：⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=z y x f dt du zx yx xx x ττσρ1 或写成：⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z y x f z u w y u v x u u t u zx yx xx x ττσρ1 同理：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z y x f z v w y v v x v u t v zy yy xy y τστρ1 分析第一式：⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂z y x f z u w y u v x u u t u zx yx xx x ττσρ1 同理： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂2222221z v y v x v y pf z v w y v v x v u t v y νρ 这就是不可压缩粘性流体的运动微分方程，又称为纳维—斯托克斯（Navier-Stokes ）方程，简称为N-S 方程。

二.求解N-S 方程的定解条件：1.流—固交界面上的无滑移条件和无穿透条件：流—固交界面上的流体的切向速度等于固壁的运动速度。

如图： 00==u y 处： 流—固交界面上的流体的法向速度为零。

如图：00==v y 处：2.无穷远处的无扰动条件：即，粘性流体运动的任何变化都不会将影响延伸至无穷远处。

3.流体交界面上的应力连续条件：在不同流体的交界面上，界面两侧的流体的应力相等。

如图，在液体自由面上，有：在两种液体界面上，有：§8.3 纳维－斯托克斯方程的解析解研究 N-S 方程的精确解具有理论和实际意义:在复杂的粘性流动问题中，可以用情况相近的精确解作为初步估算或者摄动法的求解基础； 在发展新的数值计算方法时，可以运用有精确解的算例来判断近似解的精确程度；在研究某些新问题时，也常常从精确解出发，探讨在原有方程或者定解条件中加入描写新现象的项后会引起什么变化；等等。

求解 N-S 方程的主要困难是：方程是非线性的。

对于某些几何形状简单的流场，当流体沿某一坐标轴单向流动时，刚好使对流项恒等于零，从而有可能求出精确解。

比如：两平行平板之间的定常流动；完全发展的定常管流；同轴旋转的圆柱面间的流动；沿有吮吸作用的平壁面的流动；非定常滑移平板引起的流动；圆管中非定常流动等。

另一类问题中的对流项并不恒等于零，但却能够被化成较简单的形式，这样就使 N-S 方程可简化为常微分方程，并且也能求出精确解。

比如：收缩或者扩张通道中的平面定常流动，驻点附近的流动和旋转圆盘引起的流动等。

一. 平行平板之间的定常流动：如图为两平行平板间的粘性流体的定常流动(忽略重力的影响)。

求流体速度分布。

如图，显然：v = w = 0，∂(·)/∂z = 0。

且为定常运动，故∂(·)/∂t = 0。

不计质量力， f x = 0, f y = 0 由式（3），得： p = p(x)yxu (y)y = h y = 0将(1) ，(3)代入(2) ，得到：的函数的函数常数x y dx dpdy u d ==μ122 (简化成了线性常微分方程) u = u (y ) (与x 无关) ， p = p (x ) (与y 无关) 。

1.在x 方向压强梯度作用下固定平板之间的平行流动：上、下板均不动，流体在x 方向压强梯度dp/dx 的作用下做定常流动。

边界条件为：y=0时，u=0；y=h 时，u=0。

.0,21421=-=C h dxdpC μ），得：代入（这表明：在压强梯度dp/dx 的作用下，液体的速度为抛物线分布。

这种流动也叫泊肃叶流动。

当y=h/2时： dxdph u u μ82max -==壁面切应力： .2,;2,0dxdph h y dxdph y w w ==-==ττ时时 切应力分布如图：2.零压强梯度下，上板匀速运动所带动的平行流动：下板固定不动，上板以速度U 沿x 方向匀速运动，压强梯度dp/dx=0。

边界条件为：y=0时，u=0；y=h 时，u=U 。

.0,21==∴C hU Cy hUu =故： 这表明：在压强梯度dp/dx=0时，平板间的液体速度为线性分布。

这就是第一章中介绍的情况。

如图所示：3.在压强梯度和上板运动共同作用下的平行流动：在压强梯度和上板运动共同作用下的平行流动事实上就是前述两种流动的叠加，这种流动称为库埃特（M.Couette ）流动。

如图所示：*二.环形缝隙流动：由于环形间隙相对于环的半径一般都很小，可以将其展开，当成两平行平板之间的间隙来处理。

例2：圆柱环形轴承中轴的半径R=40mm ，轴与轴承之间的间隙h=0.03mm ，轴长L=30mm ，轴转速n=3600r/min ，间隙中的润滑油的动力粘度μ=0.12 Pa ·s 。

求空载运转时的转矩和功率。

解：由于环形间隙远小于轴的半径，可以把这个环形间隙流动简化成有相对运动的两平行平板之间的间隙流动。

轴承简化为固定的下板，轴简化为运动的上板其速度为：U=R ω。

间隙内液体的压强梯度为零。

作用在轴表面上的切应力为： Pa hRn dy du w 4106602⨯====πμμττ 三.无限大平板启动所带动的流体运动流动：如图，无限大平板以上的半空间充满粘性不可压缩流体。

平板在 t = 0 时刻突然启动，以定常速度 U沿自身平面内正 x 方向运动，并带动流体由静止开始流动。

求 t > 0 时流体的运动。

这里： u = u(y)，v = w = 0，p = const.连续性方程自动满足，运动方程简化为： 22yu t u ∂∂=∂∂ν 初始条件和边界条件为： 000=≥≤u y t ，时：为了求解偏微分方程，引进无量纲变量： )(2ηνηf Uuty ==这样，就有：对方程积分，得到它的通解： 2012)(C d eC f +=⎰-ηηηη方程的解: )(12102ηηπηηerf d e U u -=-=⎰- 相似性解将不同时刻的无量纲速度 u/U 的分布曲线按一定的空间比例放大或者缩小后可以使之完全相同。

§8.4 边界层的基本概念及基本方程一.边界层的概念：1.边界层的定义：很多流动中 Re 都很大。

比如: 模型实验，模型的特征长度 10 cm ，流体速度 100 cm/s ，空气中 Re达到 6.67⨯103，水中 Re 达到 105。

对于大多数的实际流动 ，其 Re 通常会比这两个数值更高。

粘滞力惯性力我们知道：=Re Re 很大，则意味着粘性力相对较小。

完全忽略流体的粘性影响，就把实际流体简化成为理想流体。

然而，采用理想流体模型无法求出物体运动阻力，而物体的运动阻力又恰恰是许多实际工程问题中最关心的参数之一。

普朗特 (Prandtl) 1904 年发现:当流体在大 Re 下流过固体表面时，流体会粘滞在物面上，速度为零；而在相邻的一个流体薄层内流体的速度会迅速增加，速度梯度很大。

不管 Re 大到什么程度，在物面附近的薄层内粘性的影响都很重要。

正是因为在运用理想流体模型时没有考虑到这个薄层内流体粘性的影响，才导致计算阻力失败。

对于高 Re 绕流物面的流动，可以把它划分为两个区域: (1).物面附近的薄层(边界层) ，粘性作用不可忽略。

(2).薄层以外的区域(外流区域) ，可以不考虑粘性的影响。

外流区域内的流动可以用势流理论来求解。

边界层（附面层）：流体绕流物体，当Re 数较大时流体在物体表面附近所形成的速度梯度很大的薄层。